1.4 数列在日常经济生活中的应用 同步练习-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.4 数列在日常经济生活中的应用 练习 一、单选题 1．一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．某人从银行贷款100万，贷款月利率为年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（    ）(参考数据： A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元 4．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（    ） A． B． C． D． 6．某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（    ）万元． A． B． C． D． 7．如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距（    ）    A．mm B．mm C．mm D．mm 8．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸；十二地支即：子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（    ） A．壬午年 B．癸未年 C．己亥年 D．戊戌年 二、多选题 9．某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 10．设数列满足（且），是数列的前项和，且，，数列的前项和为，且.则下列结论正确的有（    ） A． B．数列的前2024项和为 C．当时，取得最小值 D．当时，取得最小值 11．我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（    ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 12．已知数列是等差数列，是等比数列，.记，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第年年初的存栏数为，则 ．（，，） 14．某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，且每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 万元. 四、解答题 15．甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元. (1)求，，并写出与的关系式； (2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1 200万元？（年数取整数，参考数据：，） 16．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． (1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 参考答案 1．D 【分析】依据应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份进行求解即可. 【详解】应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份， 由题意知贷款金额为，月利率为，月份为10， 所以. 故选：D. 2．C 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 3．B 【分析】设每月需还款万元，由题意，求出第期还款后，还欠银行的款项，再由，得到的递推关系，进而得到数列是等比数列，求出通项，由，解出. 【详解】设每月需还款万元， 第一期还款后，还欠银行万元， 第二期还款后，还欠银行万元， 设第期还款后，还欠银行万元，则，且， 所以是公比为1.005的等比数列，所以. 令，解得，即每月大约需还款7165元. 故选：B. 4．B 【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解. 【详解】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，. 从而有， 整理得， ， ， ，， 由于皆为正整数，所以 （i）当时，， 当时，， （iii）当时，， （iv）当时， 只有符合题意，即的值为2. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定是解决本题的关键. 5．A 【分析】根据题意列式即可得解. 【详解】依题意，，. 故选：A. 6．D 【分析】根据题意，后10年每年的销售额成等比数列，公比为1.1，首项为，进而根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】设今后10年每年的销售额为， 因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加. 所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为， 所以今后10年每年的销售额构成等比数列， 公比为1.1，首项为. 所以今年起10年内这家超市的总销售额为 故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元. 故选：D 7．B 【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处两疵点间面带体积相等，因宽度不变，可得到，由此求出， 进而求出. 【详解】轧辊的周长为， 由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长， 因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终出口处两疵点间面带的体积相等， 又因为宽度不变，有，所以， 而， 所以数列是以为公比的等比数列， 所以，即. 故选：B 8．B 【分析】根据题意，天干和地支的年份分别是以和为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，故100年后地支为未， 综上：100年后的2123年为癸未年. 故选：B. 9．ABC 【分析】对于BC，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可，对于A，等额本息的还款方案分析结合等比数列的判定及求和公式计算判断，对于D，通过比较两种还款方案的优劣进行判断. 【详解】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为， 则，， 则， ， 则， 同理得，，……，， 所以数列是以为公比的递增等比数列， 则有，得， 所以每月还款的本息和为， 所以A正确; 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元， 本息和应为10030元，故B正确； 对于C，利息和为（元）， 故C正确； 对于D， 由A知等额本息还款利息和为 ， 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 故选：ABC. 10．BCD 【分析】 根据等差数列的定义以及前项和的应用，结合裂项相消法与二次函数的单调性进行运算对各个选项判断即可. 【详解】 可化为， 易知为等差数列，设其公差为，则也为等差数列，结合等差数列公式，易知公差为， 由，得，则，，A错； ，则， 故2024项和为，B对； ， 当时，，当时，， 易知时，单调递增，且， ，C对； 当时，单调递增，且，，当时，， 所以或时，， 当时，且，，，D对， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：利用裂项相消法对B选项进行化简以及利用二次函数的单调性讨论数列的最值是解题关键，本题主要考查了等差数列的定义，二次函数讨论单调性求最值以及数列前项和的应用，属于较难题. 11．ABD 【分析】利用数列的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】由，得当时，， 因为，所以，对任意的，， 所以，，则， 此时，在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势，A对； 对于B选项，当时，， 因为，所以，对任意的，， 所以，，则， 故在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，B对； 对于C选项，由B选项可知，在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，C错； 对于D选项，当时，， 故在某一时期内，则这期间人口数不变，D对. 故选：ABD. 12．ABD 【分析】根据给定条件，求出数列、的通项公式，再利用分组求和法求出，即可逐项判断作答. 【详解】设数列的公差为，数列的公比为， 依题意，，解得，则，A，B都正确； 于是，数列的前项和： ， ，C错误，D正确. 故选：ABD 13．1472 【分析】根据条件建立等量关系，构造新数列求通项即可. 【详解】由题意可得，所以， 即， 故. 故答案为：1472. 14．4709 【分析】根据题意借助于等比数列的通项公式以及求和公式分析运算. 【详解】设第个实验室的设备费为，装修费为，则， 由题意可得，则，解得或（舍去）， 故， ∵对任意的均成立， ∴，即， 故该研究所改建这十个实验室投入的总费用， 即该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要4709万元. 故答案为：4709. 15．(1)，， (2)7年 【分析】（1）根据题设条件可得. （2）由（1）中的递推关系可得，结合题设条件可得关于的不等式，从而可得至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 【详解】（1）由题意得，投入生产的启动资金共有万元， ， ， ． （2）由（1）知 ， 而也满足该式，故. 令，所以， 因为：，，即． 所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 16．(1)， (2)乙超市在第7年将被收购 【分析】（1）根据求甲超市第年销售额的表达式，利用累加法求乙超市第年销售额的表达式； （2）利用（1）中得表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 【详解】（1）设甲超市前年总销售额为，第年销售额为， 则， 因为时，， 则时，， 故； 设乙超市第年销售额为，则， 时，， ， 显然时也符合， 所以. （2）当时，，，有； 当时，，，有； 当时，，，故乙超市有可能被收购， 当，令，则， 整理得， 又当时，，故当且时，必有， 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 学科网（北京）股份有限公司 $$