北京市北京工业大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

2024年 10月 9日高一数学测试题 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．设集合 {1,2,3}, {2,3,4}A B  ，则 A B  A． 1 2 3,4，， B． 1 2 3，， C． 2 3 4，， D． 1 3 4，， 2．下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A．0  B．  0,1,2 C．  1 0,1,2 D．   1 0,1,2 3．已知集合 A= | 2x x  ，B= |3 2 0x x  ，则 A． 3 B 2        A x x B． BA  C． 3 B 2        A x x D． BA R 4．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ） A．所有实数的平方都不是正数 B．有的实数的平方是正数 C．至少有一个实数的平方不是正数 D．至少有一个实数的平方是正数 5．已知集合  2 2 1 0A x ax x    ，若集合A 为单元素集，则a 的取值为（ ） A．1 B． 1 C． 0 或 1 D． 1 或 0 或 1 6．已知a b R、 ，则“ 2 2a b ”是“ a b ”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 7．已知 (0, )a  ，则“ 1a  ”是“ 1 2a a   ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 8．设集合 { 3 1, }, { 3 2, }A x x k k Z B x x k k Z       ∣ ∣ ，U为整数集， ( )A B U （ ） A．{ | 3 , }x x k k Z B．{ 3 1, }x x k k Z  ∣ C．{ 3 2, }x x k k Z  ∣ D． 9．已知全集U 和它的两个非空子集A ， B 的关系如图所示，则下 列命题正确的是（ ） A． x A  ， x B B． x A  ， x B C． x B  ， x A D． x B  ， x A 10．设a ，b ，c为实数，记集合 2{ | ( )( ) 0S x x a x bx c     ， }x R ， 2{ | ( 1)( 1) 0T x ax cx bx     ， }x R .若 | |S ， | |T 分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A． | | 1S  且 | | 0T  B． | | 1S  且 | | 1T  C． | | 2S  且 | | 2T  D． | | 2S  且 | | 3T  11．己知集合 A x x2  x  2  0,则 R A __________ 12．函数   1 1 2     f x x x 的定义域是__________ 13．函数   4  f x x x 的值域是__________ 14．设集合 1 Z 3 2 A x x           ，  1,0,1,2B   ，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ） 15．设集合M  x x  2 1，N  x x  2，则M N  __________ 16．集合 A (x, y∣) x  y  4, xN*, yN*的真子集个数为__________ 17．已知不等式ax2 bx 1 0的解集是 | 1 1         x x ，则不等式 2 0x bx a   的解集是 18 若正数 ,x y满足 3 1 5 x y   ，则3x  4y的最小值是________. 19．给定集合S  1,2,3,4,5,6,7,8，对于 xS ，如果 x1S,且x1S ，那么 x是 S的一个“好 元素”，由 S的 3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个． 21．已知集合 2{ | 3 2 0, R, R}A x ax x x a      . (1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ； (3)若A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围 22．已知集合 { | }2A x a x a    ，集合 { | 1B x x   或 5}x  ，全集U  R . (1)若 1a  ，求  U A B ;(2)若 A B B ，求实数a 的取值范围. 23．已知集合 1 0 5        x A x x ，  2 9 18 0    B x x x ，  10 5 3C x a x a    ． (1)求 A B；(2)若 B C C，求实数a 的取值范围． 24．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下： 把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元 素和是 4+6+9=19；交替和是 9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是 5. （1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合  1,2,3,4,5,6M  ，根据 提示解决问题.①求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法 1： x M  ，先求出 x 在集 合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和；方法 2： 如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为 k ，可以用 k 表示出M 的 非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和. ②求集合M 所有 非空子集的交替和的总和. 2024年 10月 9日高一数学测试题 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．设集合 {1,2,3}, {2,3,4}A B  ，则 A B  A． 1 2 3,4，， B． 1 2 3，， C． 2 3 4，， D． 1 3 4，， 【答案】A 【解析】由题意 {1,2,3,4}A B ，故选 A. 2．下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A．0  B．  0,1,2 C．  1 0,1,2 D．   1 0,1,2 【答案】C 【解析】因为是集合, 0 是数字,所以选项 A错误; 因为 0,1,2 是集合,所以  0,1,2 ,故选项 B错误; 因为 1是 0,1,2 中的元素,所以选项 C正确; 因为   1 0,1,2 ,所以选项 D错误. 故选：C 3．已知集合 A= | 2x x  ，B= |3 2 0x x  ，则 A． 3 B 2        A x x B． BA  C． 3 B 2        A x x D． BA R 【答案】A 【解析】由3 2 0x  得 3 2 x  ，所以 3 3 { | 2} { | } { | } 2 2 A B x x x x x x     ， 4．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ） A．所有实数的平方都不是正数 B．有的实数的平方是正数 C．至少有一个实数的平方不是正数 D．至少有一个实数的平方是正数 【答案】 C 5．已知集合  2 2 1 0A x ax x    ，若集合A 为单元素集，则a 的取值为（ ） A．1 B． 1 C． 0 或 1 D． 1 或 0 或 1 【答案】C 【解析】若集合A 为单元素集，则方程 2 2 1 0ax x   只有一个实根. 当 0a  ,可得 1 2 x   ，满足题意； 当 0a  时， 4 4 0a    ,解得 1a  . 故 a 的取值是 0或 1. 故选 C. 6．已知a b R、 ，则“ 2 2a b ”是“ a b ”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】设 2y x ，可知函数对称轴为 0x  由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立 由此可知：当 0 0a b   ，即 a b 时， 2 2a b 当 2 2a b 时，可得 0 0a b   ，即 a b 可知“ 2 2a b ”是“ a b ”的充要条件，本题正确选项：C 7．已知 (0, )a  ，则“ 1a  ”是“ 1 2a a   ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【解析】：已知 (0, )a  ，利用均值不等式可知若 1a  时，则 2 1  a a 成立,故充分条件成立. 当 2 1  a a 时， 1a 不一定成立，可以通过举反列说明，比如 2 1 a .故必要条件不成立. 所以，已知 (0, )a  ，则“ 1a  ”是“ 1 2a a   ”的充分不必要条件. 答案 A 8．设集合 { 3 1, }, { 3 2, }A x x k k Z B x x k k Z       ∣ ∣ ，U为整数集， ( )A B U （ ） A．{ | 3 , }x x k k Z B．{ 3 1, }x x k k Z  ∣ C．{ 3 2, }x x k k Z  ∣ D． 【答案】A 【详解】因为整数集      | 3 , | 3 1, | 3 2,x x k k x x k k x x k k        Z Z Z Z ，U Z ，所 以，    | 3 ,U A B x x k k  Z ． 故选：A． 9．（2023·广东东莞·校考三模）已知全集U 和它的两个非空子集A ， B 的关系如图所示，则下 列命题正确的是（ ） A． x A  ， x B B． x A  ， x B C． x B  ， x A D． x B  ， x A 【答案】B 【详解】由图可知B A ，且A ， B 非空， 则根据子集的定义可得： 对于A ， x A  ， x B 不正确， 对于B ， x A  ， x B 正确， 对于C ， x B  ， x A 不正确， 对于D ， x B  ， x A 不正确， 故选：B ． 10．设a ，b ，c为实数，记集合 2{ | ( )( ) 0S x x a x bx c     ， }x R ， 2{ | ( 1)( 1) 0T x ax cx bx     ， }x R .若 | |S ， | |T 分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A． | | 1S  且 | | 0T  B． | | 1S  且 | | 1T  C． | | 2S  且 | | 2T  D． | | 2S  且 | | 3T  【答案】D 【分析】要发现 0x a  与 1 0ax   ､ 2 0x bx c   与 2 1 0cx bx   的解的关系，同时考虑 0a  ， 0c 以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程 1 0ax   有一个解， 2 1 0cx bx   有两个解，逆推集合S的解的情况即可. 【详解】令   2( ) 0x a x bx c    ，则方程至少有1个实数根 x a  ， 当 2 4 0b c  时，方程还有一个根 2 b x   ， 只要 2b a ，方程就有2个实数根， 2b a ，方程只有1个实数根， 当 2 4 0b c  时，方程只有1个实数根， 当 2 4 0b c  时，方程有2个或3个实数根， 当 0a b c   时， | | 1S  且 | | 0T  ， 当 0, 0, 0a b c   时， | | 1S  且 | | 1T  ， 当 1, 2a c b    时， | | 2S  且 | | 2T  ， 若 | | 3T  时， 1 0ax   有一个解， 2 1 0cx bx   有两个解， 且 1 0ax   的解 1 x a   不是 2 1 0cx bx   的解，  2 1 1 ( ) ( ) 0c b c a a      ，即 2 0a ab c   ， 0x a   的解不是 2 0x bx c   的解， 又 2 1 0cx bx   有两个解，故 2 4 0b c    ， 2 0x bx c   有两个不等的根， 2( )( ) 0x a x bx c     有 3个解，即 3S  ， 故 D不可能成立， 故选：D . 11．己知集合  2 2 0A x x x    ,则 R A __________【答案】 1 2x x   【详解】：集合  2 2 0A x x x    ，  1 2A x x x   或 ，则  1 2   R A x x 12．函数   1 1 2     f x x x 的定义域是__________【答案】 1, 2 13．函数   4  f x x x 的值域是__________【答案】    , 4 4,   14．设集合 1 Z 3 2 A x x           ，  1,0,1,2B   ，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ） 【答案】 1,2 【详解】由题意，集合   1 Z 3 2, 1,0 2 A x x              ， 根据图中阴影部分表示集合 B 中元素除去集合A 中的元素，即为 1,2 . 15．设集合  2 1  M x x ，  2N x x  ，则M N  __________【答案】{ |1 2} x x 【解析】由 | 2 | 1 x 得1 3 x ,故 ={ |1 3} { | 2} { |1 2}     M N x x x x x x , 16．集合  * *( , ) 4, N , N    A x y x y x y∣ 的真子集个数为__________【答案】7 【解析】集合  * *( , ) 4, N , N    A x y x y x y∣ {(1,3),(2,2),(3,1)} ， 所以集合A 的真子集个数为 7 个． 17．已知不等式 2 1 0ax bx   的解集是 1 1 | 2 3          x x ，则不等式 2 0x bx a   的解集是 ________.【答案】{ | 2 3}x x  【解析】依题意， 1 2  ， 1 3  是方程 2 1 0ax bx   的两个根，且 0a  ， 于是得 1 1 ( ) ( ) 2 3 1 1 1 ( ) ( ) 2 3 b a a              ，解得： 6, 5a b   ，因此，不等式 2 0x bx a   为： 2 5 6 0x x   ， 解得2 3x  ，所以不等式 2 0x bx a   的解集是{ | 2 3}x x  .故答案为：{ | 2 3}x x  18 若正数 ,x y满足 3 1 5 x y   ，则3 4x y 的最小值是________.【答案】5 【解析】 1 1 12 3 1 12 3 3 4 (3 4 )( (13 ) 3 1 ) (13 2 ) 5 5 5 y x y x x y x y x yx yy x          5 ， 当且仅当 2x y 时等号成立，∴3 4x y 的最小值是 5.故选：C 19．给定集合  1,2,3,4,5,6,7,8S  ，对于 x S ，如果 1 1   x S x S,且 ，那么 x是 S的一个“好 元素”，由 S的 3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6 【解析】若不含好元素，则集合 S中的 3个元素必须为连续的三个数， 故不含好元素的集合共有       1,2,3 , 2,3,4 3,4,5 4 5,6 , 5,6,7 , 6,7,8{ },{ }, , ，共有 6个.答案为：6． 20．用  C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义    *A B C A C B  .已知集合 2| 1 0A x x ，  2 2( 3 )( 2) 0B x ax x x ax     ，若 * 1A B  ，则实数a 的所有可能取值构成 的集合是_________. 【详解】根据题意，已知 {1A  ，2}，则   2C A  ，又由 * 1A B  ，则   1C B  或 3， 即方程 2 2( 3 )( 2) 0ax x x ax    有 1个根或 3个根； 若 2 2( 3 )( 2) 0ax x x ax    ，则必有 2 3 0ax x  或 2 2 0x ax   ， 若 2 3 0ax x  ，则 0x  或 3 0ax   ， 当 0a  时， {0}B  ，   1C B  ，符合题意；当 0a  时， 2 3 0ax x  对应的根为 0和 3 a  ； 故①需 2 2 0x ax   有两等根且根不为 0和 3 a  ，当△ 0 时， 2 2a   ， 2 2a  ，此时 {0B  ， 2 2 ， 3 2 } 4  ，   3C B  ，符合题意； 2 2a   ，此时 {0B  ，2 2 ， 3 2 } 4 ，   3C B  ，符合题意； ②当 3 a  是 2 2 0x ax   的根时，解得 3a   ； 3a  ，此时 {0B  ， 1 ， 2} ，   3C B  ，符合题 意； 3a   ，此时 {0B  ，1，2}，   3C B  ，符合题意； 综合可得：a 可取的值所构成的集合是 0,3, 3,2 2, 2 2  21．已知集合 2{ | 3 2 0, R, R}A x ax x x a      . (1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ； (3)若A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围 【答案】(1) 9 8       a a ,(2)a 的值为 0 或 9 8 ，当 0a  时 2 3 A        ，当 9 8 a  时 4 3 A        (3) 9 0, 8        a a a或 【详解】（1）A是空集， 0a  且Δ 0 ， 9 8 0a   ，解得 9 8 a  ， a 的取值范围为： 9 8 （ ， ）； （2）当 0a  时，集合 2 { | 3 2 0} 3 A x x            ， 当 0a  时，Δ 0 ， 9 8 0a   ，解得 9 8 a  ，此时集合 4 3 A        ， 综上所求，a 的值为 0或 9 8 ，当 0a  时，集合 2 3 A        ，当 9 8 a  时，集合 4 3 A        ； （3）由 1 2（），（）可知，当A 中至多有一个元素时， 9 8 a  或 0a  ， a 的取值范围为：  9 0 [ 8 ， ）. 22．已知集合 { | }2A x a x a    ，集合 { | 1B x x   或 5}x  ，全集U  R . (1)若 1a  ，求  U A B ;(2)若 A B B ，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)      ,1 3,U A B     ,(2)    , 3 5,   【详解】（1）解：当 =1a 时，  |1 3A x x   ，所以    ,1 3,U A     ， 又 { | 1B x x   或 5}x  ，所以      ,1 3,U A B     . （2）因为 { | }2A x a x a    ， { | 1B x x   或 5}x  ， A B B ，则 A B ， 所以 2 1a    或 5a  ，解得 3a   或 5a  ， 所以实数a 的取值范围是    , 3 5,   . 23．已知集合 1 0 5        x A x x ，  2 9 18 0    B x x x ，  10 5 3C x a x a    ． (1)求 A B；(2)若 B C C，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) 3 5x x  (2) 7 , 5       【详解】（1）因为     1 1 0 0 1 5 0 5 5                      x x A x x x x x x x ，  1 5A x x    ，  3 6B x x   ，所以  3 5  A B x x （2）(i)当C 时， B C C则C B ，此时10 5 3a a a  ，解得 5 4 a  ； (ii)当C   时，要C B ，则 10 5 3 3 6 10 5 3 a a a a        解得 5 7 4 5 a  ， 综上所述：由(i)和(ii)得 7 5 a  . 故a 的取值范围是 7 , 5       . 24．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下： 把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元 素和是 4+6+9=19；交替和是 9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是 5. （1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合  1,2,3,4,5,6M  ，根据 提示解决问题.①求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法 1： x M  ，先求出 x 在集 合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和；方法 2： 如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为 k ，可以用 k 表示出M 的 非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和. ②求集合M 所有 非空子集的交替和的总和. 【答案】（1）12；（2）①672，②192 【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}， 集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为 1，2，3，集合{2，1}的交替和为 2 1 1  ， 集合{3，1}的交替和为3 1 2  ，集合{3，2}的交替和为3 2 1  ，集合{3，2，1}的交替和为 3 2 1 2   ， 所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为 1+2+3+1+2+1+2=12. （2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字 1、2、3各出现 24 2 次， 集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}， {2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，其中数字 1、 2、3、4各出现 38 2 次， 在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含 1的子集的个数为 42 =16，故数字 1在16个子集中出 现即数字 1在所有的非空子集中出现了 16次，同理数字 2、3、4、5各出现 42 =16次， 同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字 1、2、3、4、5、6各出现 52 =32次， 所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32 (1 2 3 4 5 6) 672       . ②设集合{1} {1 2} {1,2,3} {1,2,3,4}、, 、 、 的交替和分别为 1 2 3 4, , ,S S S S ， 集合{1}的所有非空子集的交替和为 1 1S  ,集合{1，2}的所有非空子集的交替和 2 1 2 (2 1) 4S      ， 集合{1，2，3}的非空子集的交替和 3 1 2 3 (2 1) (3 1) (3 2) (3 2 1) 12S              ， 集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和 4 1 2 3 4 (2 1) (3 1) (4 1)S           (3 2) (4 2) (4 3) (3 2 1) (4 2 1) (4 3 1) (4 3 2) (4 3 2 1) 32                       根据前 4项猜测集合{1,2, , }n 的所有非空子集的交替和总和为 12nnS n   ，集合M 所有非空子集 的交替和的总和 5 6 6 2 192S   