精品解析：上海市张江集团中学2024-2025学年上学期八年级数学期中练习卷

张江集团中学2024学年第一学期八年级数学诊断练习（4） 满分：150分 2024.10.28 班级______ 学号______ 姓名______ 成绩______． 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：根据平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线为， 即， 故选C． 【点睛】本题主要考查平移规律“左加右减，上加下减”，熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 2. 已知线段，，，求作线段x，使，则下列作图中（）作法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】选项A中，由可得：，即有，不合题意； 选项B中，由可得：，即有，不合题意； 选项C中，由可得：，即有，不合题意； 选项D中， ∵， ∴， ∴， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3. 在中，，垂足为点，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查三角函数的问题，关键是利用三角函数的定义解答．利用三角函数的定义解答即可． 【详解】解：如图， A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 4. 下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的性质，圆周角定理和三角形的内心和外心，熟悉相关性质是解题的关键．根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据三角形内心的定义对④进行判断． 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误； 同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确； 故选：A． 5. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则 的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出、的长，再根据相似三角形的性质，求出的长，的长即可解决问题； 【详解】解：作轴于，轴于，交于． 在与中， ， ， ， 设， 则， 于是在中，； 解得． ； 轴，轴， ， ， ， ， ； 又， ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形与折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 6. 如图，在正方形中，是等边三角形，和的延长线分别交边于点E和点F，连结交线段于点G，连结，下列结论中错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形和等边三角形的性质可证，从而，再证明可判断A；证明可判断B；由平行线的性质可证，由补角的性质可求，从而可判断C；由可判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴与不相似， ∴不成立，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二．填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 8. 二次函数的图像与轴的交点坐标是_______. 【答案】（0，2） 【解析】 【分析】把x=0代入，即可求出与轴的交点坐标. 【详解】把x=0代入，得 ， ∴图像与轴的交点坐标是（0，2）. 故答案为（0，2）. 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，抛物线与x的交点纵坐标为0，与y轴的交点横坐标为0. 9. 在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i=____． 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：如图所示：AC=5米，BC=3米，先求出水平方向上前进的距离AB=，然后根据山坡的坡度=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解得坡度i=． 10. 已知的半径为，为线段的中点，当时，点与的位置关系是______． 【答案】点A在圆O内． 【解析】 【分析】根据线段中点的性质，可得OA=4.5，根据当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】解：A为线段OB的中点，当OB=9cm时，得OA=OB=4.5（cm）， ∵r=5cm， ∴d＜r， ∴点A与⊙O的位置关系是点A在圆O内， 故答案为：点A在圆O内． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 11. 在中，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，根据题意可设，，利用勾股定理表示出，进而求出结果． 【详解】解：如图， 中，， ， 设，， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在中，，点G是的重心，如果，那么______． 【答案】1 【解析】 【分析】首先延长BG交AC于点E，取AD的中点F，连接EF，由点G是△ABC的重心，易得BG：BE＝2：3，EF是△ABC的中位线，即可求得EF的长，证得△BDG∽△BFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DG的长． 【详解】解：延长BG交AC于点E，取AB的中点F，连接EF， ∵点G是△ABC的重心， ∴AE＝CE，BG：BE＝2：3， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EF＝BC＝， ∵DG∥BC， ∴DG∥EF， ∴△BDG∽△BFE， ∴DG：EF＝BG：BE＝2：3， ∴DG＝EF＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 13. 已知点和在二次函数图象上，则______．（填或） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据，，，距离对称轴越近，函数值越大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向下，对称轴是直线， ∵，， 又∵， ， 故答案为：． 14. 抛物线关于坐标原点对称的抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法可得抛物线的顶点坐标为，先确定点关于原点对称的对应点的坐标，由于关于原点对称的两抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点关于原点对称的对应点的坐标为 ∴抛物线关于坐标原点对称的抛物线的解析式为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，正确的理解题意是解题的关键． 15. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，︰︰，连接、、，且、交于点．若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ABE，△BEF的面积即可； 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DE∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=2：3， ∴DE：AB=2：5，DF：FB=2：5， ∵S△DEF=2， ∴S△ABF=，S△BEF=5， ∴S△ABE=+5=， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高的三角形的面积之比等于底的比，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 16. 定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先证明出，再根据相似比的关系求出的值. 【详解】， ， ， ， 又， ， ， ， . 故答案为. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 17. 如图，在矩形中，点在上，若且，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别以AB、DC为直角边，以A、D为直角顶点作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形DCG构造出一线三等角，此时可以得出，，设AB为x，则，解得，舍去负数的情况，则． 【详解】解：如图所示，分别以AB、DC为直角边，以A、D为直角顶点作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形DCG， ∴, ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设AB长为x，， ， ∴， ∴， 解得，（舍）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构建一线三等角模型． 18. 已知正方形的边长为4，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边分别与边的延长线交于点，连接．当是直角三角形时，______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论：①当时；②当时；得出是等腰直角三角形，利用正方形的性质及全等三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】①当时，如图所示， 即 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴； ②当时，如图所示： 方法如①，同理可得， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当是直角三角形时，或． 故答案为：或． 【点睛】题目主要考查求角的正切值，正方形的性质及全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点进行分类讨论是解题关键． 三．解答题（本大题共7题，第19～22题每题10分；第23、24题12分，第25题14分，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，为边上一点，且．设． （1）填空：用向量的式子表示向量_____； （2）如果点是线段的中点，那么用向量的线性组合表示向量______，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量． 【答案】（1） （2）， 向量在向量和方向上的分向量分别为，，如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—复杂作图，平面向量的三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据三角形法则可得； （2）根据三角形法则以及平行四边形法则进行计算与画图即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，对角线相交于点，点是线段的中点， ， ， ， ， 如图，过作的平行线，过作交与过作的平行线交于点，过作交于， 向量在向量和方向上的分向量分别为，． 21. 如图，是的两条弦，且． （1）求证：平分； （2）若，求半径的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（）连接，由弧弦圆心角的关系可得，进而可得，得到，即可求证； （）延长交于点，由三线合一可得，，利用勾股定理可得，设的半径为，则，，在中再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点， ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了弧弦圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） （1）试求出小岛码头A点到海岸线的距离； （2）有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 【答案】（1）小岛码头点到海岸线的距离约为 （2）点到点的距离约为 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意可得，，，然后由列式计算即可； （2）过C作于N，先求出，再解直角三角形求出，然后根据含直角三角形的性质得出答案． 【小问1详解】 解：过A作于M， 由题意得：，，， ∴，， ∴， 解得：， 经经验，是原方程的解，且符合题意， 答：小岛码头点到海岸线的距离约为； 【小问2详解】 解：如图所示，过C作于N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到点的距离约为． 23. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C． （1）求证：AD2＝AF•AB； （2）求证：AD•BE＝DE•AB． 【答案】  AD平分∠BAC， DF//BE， , 又 ≌ 【解析】 【详解】试题分析：证明,对应边成比例，即可证明. 证明得出再证明≌ 得出即可证明. 试题解析： 略 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． （1）求这条抛物线的表达式和点C的坐标； （2）如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； （3）点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将、代入得，，可求，则，当时，，进而可求； （2）如图1，作于，记与的交点为，设，则，，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解为，则，待定系数法求直线的解析式为，进而可得，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，由，可知点即为所求，由勾股定理得，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，设，由，可求，（舍去），则，待定系数法求直线的解析式为，联立得，，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：将、代入得，， 解得，， ∴， 当时，，即； 【小问2详解】 解：如图1，作于，记与的交点为， 设，则，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点， ∵，， ∴， ∴点即为所求， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立得，， 解得，舍去或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键． 25. 已知矩形中，，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与射线交于点． （1）如图，当点在边上，若时，求的长； （2）若射线交的延长线于点，设，，求与的函数解析式，并写出定义域； （3）①如图，直线与边交于点，若与相似，求的正切值； ②如图，当直线与的延长线交于点，若和面积相等，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）， （3）①；② 【解析】 【分析】（）根据，结合矩形性质可得四边形为平行四边形，根据平行线的性质得到，再由折叠性质可得，，进而得到，即可得，即可求解； （）根据折叠的性质可得垂直平分，从而得到，可证得，进而由相似三角形的性质即可求解； （）①设， 分和两种情况解答即可求解；②连接，分别过作于点，交延长线于点，则，根据，可得，从而得到，进而得到四边形为矩形，则有，可得到，再根据垂直平分线的性质可得，即得，从而得到，利用勾股定理求出即可求解. 【小问1详解】 解：如图，∵在矩形中，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 由翻折知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵在矩形中，， ∴， 由折叠可得，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的定义域为； 【小问3详解】 解：①设， 当时，， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上，； ②如图，连接，分别过作于点，交延长线于点，则， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由()知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，折叠性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张江集团中学2024学年第一学期八年级数学诊断练习（4） 满分：150分 2024.10.28 班级______ 学号______ 姓名______ 成绩______． 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段，，，求作线段x，使，则下列作图中（）作法正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，，垂足为点，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则 的值是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，是等边三角形，和的延长线分别交边于点E和点F，连结交线段于点G，连结，下列结论中错误的是（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7. 已知，则______． 8. 二次函数的图像与轴的交点坐标是_______. 9. 在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i=____． 10. 已知的半径为，为线段的中点，当时，点与的位置关系是______． 11. 在中，，若，则______． 12. 如图，在中，，点G是的重心，如果，那么______． 13. 已知点和在二次函数图象上，则______．（填或） 14. 抛物线关于坐标原点对称的抛物线的解析式为________． 15. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，︰︰，连接、、，且、交于点．若，则_________． 16. 定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝_____． 17. 如图，在矩形中，点在上，若且，则的长为__________． 18. 已知正方形的边长为4，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边分别与边的延长线交于点，连接．当是直角三角形时，______． 三．解答题（本大题共7题，第19～22题每题10分；第23、24题12分，第25题14分，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，为边上一点，且．设． （1）填空：用向量的式子表示向量_____； （2）如果点是线段的中点，那么用向量的线性组合表示向量______，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量． 21. 如图，是的两条弦，且． （1）求证：平分； （2）若，求半径的长． 22. 如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） （1）试求出小岛码头A点到海岸线的距离； （2）有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 23. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C． （1）求证：AD2＝AF•AB； （2）求证：AD•BE＝DE•AB． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． （1）求这条抛物线的表达式和点C的坐标； （2）如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； （3）点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 25. 已知矩形中，，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，直线与射线交于点． （1）如图，当点在边上，若时，求的长； （2）若射线交的延长线于点，设，，求与的函数解析式，并写出定义域； （3）①如图，直线与边交于点，若与相似，求的正切值； ②如图，当直线与的延长线交于点，若和面积相等，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $