精品解析：陕西省榆林市高新区2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷

榆林市高新区2024~2025学年度第一学期阶段性自测习题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 黄金分割最早是由古希腊数学家欧多克索斯提出的，若线段上的一点C将线段分为两部分，其中，那么称点C将线段进行了黄金分割．把长度为的线段进行黄金分割，则分割后较长线段的长是（ ） A. B. C. D. 5. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于实数a、b定义新运算：，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点，交的延长线于点，若，，，则下列说法错误的是（ ） A. 之间的距离等于之间的距离 B. C. 四边形的面积为 D. 四边形是正方形 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 一个矩形窗框在太阳光下的投影形状可能是______．（写出一种即可） 10. 已知四边形四边形，且相似比为，若四边形的周长为6，则四边形的周长为__________． 11. 如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为__________． 12. 因为拥有优越的自然环境和深厚的历史文化底蕴，近年来西安的旅游火爆出圈，各地游客慕名来到西安旅游．某景点今年10月15日收入约为10万元，之后两天的收入按相同的日增长率增长，10月17日收入约为14.4万元，若设这两天的日增长率为，则x的值为__________． 13. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是__． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有形状大小相同、质地均匀的“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片共30张，工作人员每次把抽奖箱中的卡片摇匀后由顾客随机摸出一张，记下卡片内容后放回，摇匀后再由下一位顾客从中随机摸出一张，通过多次抽奖后发现，其中摸到“中奖”卡片的频率稳定在左右，请你估计抽奖箱中“谢谢惠顾”卡片的数量． 16. 如图，在中，，，D是的中点，连接，求的度数． 17. 如图，在中，，请你用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，点E为矩形ABCD的边BC上一点，连接AE，于点F．求证． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出，使得与位似，且相似比为2∶1（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F）； （2）在（1）的条件下，写出点E的坐标． 20. 先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 21. 蒙古包是内蒙古高原地区的传统民居，如图1是一种蒙古包的大致示意图，若将该蒙古包看成图2所示的，由一个圆柱和一个圆锥组成的几何体，请你画出该几何体的三视图． 22. “宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“宫商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽． （1）第一次发出“羽”音的概率为__________； （2）请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率． 23. 学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠上，在地面上留下影子，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上． （1）请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹） （2）请你求出路灯的高度． 24. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 25. 人工智能是近年来科技发展的热点，它的发展和应用正在改变着我们的生活方式，随着AI技术的快速发展和广泛应用，掌握技能的人才需求也越来越大．为了培养更多的技术人才，某校开设了兴趣班，并修建了一个周长为90米，面积为500平方米的矩形兴趣教育基地，如图． （1）请你求出该矩形基地的长和宽； （2）为了便于使用，校方在该基地中间修建了两条互相垂直且等宽的作品展示长廊（图中阴影部分），剩余部分的面积恰好为300平方米，求每条作品展示长廊的宽为多少米？ 26. 【问题提出】 （1）如图1，点E为正方形的边的中点，连接、相交于点F，若的面积为4，求的面积； 【问题探究】 （2）如图2，在正方形中，E为边上的点，点F在边上，且，连接、，，与的延长线交于点G，若，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，李叔叔家有一个正方形菜园，为人行步道，李叔叔计划对该菜园进行重新扩建规划，在的延长线上取一个点E，上取一个点F，使得，在区域内种植某种新品种蔬菜，在的延长线与的交点G处修建一个储水间（大小忽略不计），修建为灌溉水渠，经测量，．根据李叔叔的规划要求，的长应为60米，请你计算灌溉水渠的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林市高新区2024~2025学年度第一学期阶段性自测习题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，直接利用一元二次方程定义解题即可． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ∴方程中必须有的二次项，且系数不为0， ∴可以填． 故选：C． 2. 下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可． 【详解】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形， 因此选项A不符合题意； B．该三棱柱的主视图、左视图是矩形， 因此选项B不符合题意； C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形， 因此选项C不符合题意； D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形， 因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是注意掌握比例变形． 根据比例的性质，设，，，，代入最后式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，，，， ∴， 故选：A． 4. 黄金分割最早是由古希腊数学家欧多克索斯提出的，若线段上的一点C将线段分为两部分，其中，那么称点C将线段进行了黄金分割．把长度为的线段进行黄金分割，则分割后较长线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义直接作答即可． 【详解】解：设线段为，黄金分割点为，较长的边为，根据定义可知， ∴， 故选：D ． 5. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 6. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断，熟练掌握基本性质是解题关键． 通过勾股定理算出已知图形三条边的长度，然后算出三边之比，再逐一算出选项的三边之比是否和题干图形的比一样，再进行判断即可． 【详解】解：通过勾股定理可得到已经图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为 A、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； B、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，故符合题意； C、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； D、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； 故选：B ． 7. 对于实数a、b定义新运算：，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴关于x的方程为，变形为， ∵方程没有实数根， ∴， 解得． 故选：C． 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点，交的延长线于点，若，，，则下列说法错误的是（ ） A. 之间的距离等于之间的距离 B. C. 四边形的面积为 D. 四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，进而可得为的中位线，得到，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可判断；再证明得到，结合直角三角形的性质可得，即可判断；利用直角三角形的性质和勾股定理可求出即可判断． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵交的延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴之间的距离等于之间的距离，故选项正确，不符合题意； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，故选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴四边形不是正方形，故选项错误，符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 一个矩形窗框在太阳光下的投影形状可能是______．（写出一种即可） 【答案】平行四边形或矩形或线段 【解析】 【分析】根据矩形的摆放方式与光线的夹角的不同，其投影的形状不同进行求解即可． 【详解】解：当矩形倾斜摆放时，其投影为平行四边形， 当矩形与光线垂直摆放时，其投影为矩形， 当矩形与光线平行摆放时，其投影为线段， 故答案为：平行四边形或矩形或线段． 【点睛】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 10. 已知四边形四边形，且相似比为，若四边形的周长为6，则四边形的周长为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比即可解答. 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴ ∵四边形的周长为6， ∴四边形的周长为. 故答案为：. 11. 如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为__________． 【答案】7.5 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴ 故答案为：． 12. 因为拥有优越的自然环境和深厚的历史文化底蕴，近年来西安的旅游火爆出圈，各地游客慕名来到西安旅游．某景点今年10月15日收入约为10万元，之后两天的收入按相同的日增长率增长，10月17日收入约为14.4万元，若设这两天的日增长率为，则x的值为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每天的增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，正确理解题意，准确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意可列方程， 解得（舍），， 故答案为：20． 13. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是__． 【答案】 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论． 【详解】如图，作DE⊥AB于E点，连接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120° ∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形 ∴∠MAE=30° ∴AM=2ME ∵MD=MB ∴MA+MB+MD=2ME+2MD=2DE 根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小 ∵菱形的边长为6 ∴AB=6，AE=3 ∴ ∴ ∴MA+MB+MD最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握基本解法是解题关键． 先移项，然后左边的因式进行因式分解，进而可得解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， 解得：，． 15. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有形状大小相同、质地均匀的“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片共30张，工作人员每次把抽奖箱中的卡片摇匀后由顾客随机摸出一张，记下卡片内容后放回，摇匀后再由下一位顾客从中随机摸出一张，通过多次抽奖后发现，其中摸到“中奖”卡片的频率稳定在左右，请你估计抽奖箱中“谢谢惠顾”卡片的数量． 【答案】18张 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，关键在于理解频率与概率的关系以及如何利用概率来解决实际问题． 先算出“谢谢惠顾”卡片的概率，最后根据“谢谢惠顾”卡片概率和总卡片数量来估计“谢谢惠顾”卡片的数量． 【详解】解：摸到“谢谢惠顾”卡片的概率为：， ∴（张）， 估计抽奖箱中“谢谢惠顾”卡片的数量为18张． 16. 如图，在中，，，D是的中点，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．利用直角三角形斜边中线的性质求得，利用等边对等角求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：，D是的中点， ． ， ． 17. 如图，在中，，请你用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】点D即为所求．（作法不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直平分线的性质，作垂线，先以A为圆心，适当长为半径，画弧交于两个点，即为点H和G，再以点H和G为圆心，适当长为半径，画弧交点，连接交于一点D，则，所以，即可作答． 【详解】解：如图所示：点D即为所求．（作法不唯一，合理即可） 18. 如图，点E为矩形ABCD的边BC上一点，连接AE，于点F．求证． 【答案】 证明：四边形是矩形， ，，，， ． ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的证明及性质，矩形的基本性质，先证明出，再通过比例关系即可得证． 【详解】略 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出，使得与位似，且相似比为2∶1（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F）； （2）在（1）的条件下，写出点E的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是画位似图形，求解位似对应点的坐标，在位似中心（原点）同侧的两个位似图形的对应坐标的比等于位似比，掌握位似图形的性质再确定位似图形对应点的坐标是解本题的关键． （1）连接，延长至格点D，使，则D为A的对应点，同法确定的对应点E，C的对应点F，再顺次连接D，E，F即可； （2）根据对应格点的位置可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解含有绝对值符号的一元二次方程，根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】解：当时，， ∴， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ∴， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 21. 蒙古包是内蒙古高原地区的传统民居，如图1是一种蒙古包的大致示意图，若将该蒙古包看成图2所示的，由一个圆柱和一个圆锥组成的几何体，请你画出该几何体的三视图． 【答案】 几何体的三视图，如图所示： 【解析】 【分析】根据几何体的三视图的定义，画出几何体的主视图、左视图、俯视图即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了画几何体的三视图，解本题的关键在根据几何体，正确画出三视图． 22. “宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“宫商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽． （1）第一次发出“羽”音的概率为__________； （2）请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式以及利用树状图求概率； （1）利用概率公式解题即可； （2）先画出树状图，得到总情况总共有25种，再找出符合题意得情况即可求解． 【小问1详解】 解：（1）总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音， ∴第一次发出“羽”音的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有1种， 先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为． 23. 学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠上，在地面上留下影子，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上． （1）请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹） （2）请你求出路灯的高度． 【答案】（1） 点F的位置如图所示． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：连接并延长交延长线于F，即可确定点F的位置； （2）先证明，根据相似三角形的性质可得，再证明得到，最后代入数据求得的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， ，， ， ， ． ，， ， ，即， ，即路灯的高度为． 24. 如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 25. 人工智能是近年来科技发展的热点，它的发展和应用正在改变着我们的生活方式，随着AI技术的快速发展和广泛应用，掌握技能的人才需求也越来越大．为了培养更多的技术人才，某校开设了兴趣班，并修建了一个周长为90米，面积为500平方米的矩形兴趣教育基地，如图． （1）请你求出该矩形基地的长和宽； （2）为了便于使用，校方在该基地中间修建了两条互相垂直且等宽的作品展示长廊（图中阴影部分），剩余部分的面积恰好为300平方米，求每条作品展示长廊的宽为多少米？ 【答案】（1）该矩形基地的长为25米，宽为20米 （2）每条作品展示长廊的宽为5米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用； （1）设宽为x米，则长为米，根据面积为500平方米列出方程计算即可； （2）设每条作品展示长廊的宽为y米，根据剩余部分的面积恰好为300平方米列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设宽为x米，则长为米． 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 当时，， 当时，，不合题意，舍去． 该矩形基地的长为25米，宽为20米． 【小问2详解】 解：设每条作品展示长廊的宽为y米， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵该矩形基地的长为25米，宽为20米， ∴， 每条作品展示长廊的宽为5米． 26. 【问题提出】 （1）如图1，点E为正方形的边的中点，连接、相交于点F，若的面积为4，求的面积； 【问题探究】 （2）如图2，在正方形中，E为边上的点，点F在边上，且，连接、，，与的延长线交于点G，若，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，李叔叔家有一个正方形菜园，为人行步道，李叔叔计划对该菜园进行重新扩建规划，在的延长线上取一个点E，上取一个点F，使得，在区域内种植某种新品种蔬菜，在的延长线与的交点G处修建一个储水间（大小忽略不计），修建为灌溉水渠，经测量，．根据李叔叔的规划要求，的长应为60米，请你计算灌溉水渠的长度． 【答案】（1）的面积为16；（2）；（3）米 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，勾股定理，相似三角形的证明及性质，能够正确找到相似三角形是解题关键． （1）先证得，再通过相似比与面积比的关系即可求解； （2）先证得，求出，再证得，即可求出； （3）先证得，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ，， ． 点E为的中点， ， 与的相似比为， ． 的面积为4， 的面积为16． （2）四边形为正方形， ，，． ， ， 又， ， ． ，， ，， ，即， ，解得． ， ，， ， ，即， ． （3）过点E作，交延长线于H，如图3，则． 四边形为正方形， ，． ，． ， ，即， ， ， ． ， 设，则，， ， ． 是正方形的对角线， ， ， ， ． 又， 米， 米， 米， 米， 米． 即灌溉水渠的长度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $