精品解析：内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题

鄂尔多斯市西四旗2024~2025学年第一学期期中联考试卷 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合．若角的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（ ） A. 7 B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形中，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b,m都是负数，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象的一条对称轴方程为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 点为曲线的对称中心 C. 若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 D. 若存在极值点，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 13. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是______. 14. 在中，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且． （1）求； （2）求与的夹角． 16. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 17. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，点为边的中点，且，求边的值． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列． （1）若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由； （2）证明：若的通项公式为，则不是数列； （3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄂尔多斯市西四旗2024~2025学年第一学期期中联考试卷 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集和补集的含义即可得到答案. 【详解】由题意，得，所以. 故选：C. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求，再根据复数的模长公式运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A. 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系求出前几项可得出数列为周期数列即可得解. 【详解】因为数列满足， 所以， 所以， 所以是周期为3的周期数列， 又，所以． 故选：A． 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合．若角的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转前后角的大小关系，结合和角正切公式计算即可. 【详解】设旋转后的角为，则，， 所以． 故选:D． 5. 已知函数是定义在上的奇函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义由得，进而可得. 【详解】因为为奇函数，所以， 得，即， 所以，即，解得． 故选：B． 6. 已知等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先分析充分性：假设特殊等比数列即可判断； 再分析必要性，由条件得恒成立，再对和进行分类讨论即可判断. 【详解】先分析充分性：在等比数列中，，所以假设，， 所以，等比数列为递减数列，故充分性不成立； 分析必要性：若等比数列的公比为，且是递增数列， 所以恒成立，即恒成立， 当，时，成立， 当，时，不成立， 当，时，不成立， 当，时，不成立， 当，时，成立， 当，时，不成立， 当，时，不恒成立， 当，时，不恒成立， 所以能使恒成立的只有：，和 ，，易知此时成立，所以必要性成立. 故选：B. 7. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点在幂函数的图象上，求出解析式，判断单调性，通过比较指数式与对数式的大小，由单调性判断函数值的大小. 【详解】点在幂函数的图象上，则有， 解得，有，则在R上单调递增. 由，， 则，所以， 即. 故选：C. 8. 如图，在平面四边形中，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求解长度，进而可得，．是等边三角形，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 连接，在中，由余弦定理得 ．所以， 所以．而，所以． 连接，在中，由余弦定理得 ．所以， 所以．在中，， 所以三角形是等边三角形，所以， 所以．设，令， 即，所以，所以， 所以， 所以当时，有最小值为． 故选:B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b,m都是负数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意利用作差法逐项判断即可. 【详解】因为a，b都是负数，且，所以. 对于A：，则，故A错误； 对于B：，则，故B正确； 对于C：，则，故C错误； 对于D：，则，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象的一条对称轴方程为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后根据判断A选项；利用整体代入得方法得到的对称轴，即可判断B选项；根据图象的平移变换判断C选项；根据复合函数的单调性判断D选项. 【详解】，函数的最小正周期为，故A正确； 由，得，当时，，故B正确； 由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确． 因为，函数在上不单调，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 点为曲线的对称中心 C. 若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A ，求导可得对恒成立，可求以的取值范围判断A；对于B ，通过平移可得，令，可得为奇函数可判断B；对于C ，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可判断C；对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 若在上单调递增，则对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以，所以的取值范围是，故A错误； 对于B，由，可得， 又， 所以，令， 又，所以关于原点对称， 所以点为曲线的对称中心，故B正确； 对于C ，因为，， 所以， 所以， 设切点为，则切线的斜率， 化简得， 由条件可知该方程有三个实根，所以有三个实根， 记，所以， 令，解得或， 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 当时取得极大值，当时，取得极小值， 因为过点可作出曲线的三条切线， 所以，解得，故选项C正确； 对于D ，因为 ， 所以， 当，在上单调递增； 当，由，解得或， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 因为存在极值点，所以，得， 令，所以，因为，于是， 又 ， 所以 化简得：， 因为，所以，于是，.所以，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查切线方程及函数对称性，关键是利用导数求得函数的单调性结合对称性解决D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0，函数图像与轴无交点，则不等式大于0恒成立，从而求出参数取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为： 13. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是______. 【答案】## 【解析】 【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解. 【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得， 将代入可得，. 故答案为：. 14. 在中，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式，同角三角函数的基本关系及基本不等式求解. 【详解】因为， 设，则，显然，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且． （1）求； （2）求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据转化为，进而可得，故，即可得； （2）由数量积的坐标运算公式求向量的夹角. 【小问1详解】 因为向量，，所以， 由得，解得，所以． 又，所以． 【小问2详解】 设向量与向量的夹角为，因为，， 所以． 又，所以，即向量与向量的夹角是． 16. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知，可求出，，根据三角函数恒等式可求出，，将变形转化为，根据两角差余弦公式可求解； （2）将转化根据两角和的正弦公式分解，由，求出，将原式化简上下同时除以，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，因为， 所以， 因为，所以， 又，所以， 所以 ． 【小问2详解】 由题意知 ， 又，所以，所以， 所以． 17. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，点为边的中点，且，求边的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边．然后结合余弦定理化简后再由正弦定理化边为角，从而求得； （2）利用中线向量公式表示出，平方转化为数量积的运算求得，然后由余弦定理求得结论． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得，所以， 由正弦定理得，又，所以，所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为点为边的中点，所以， 所以， 解得或（舍）， 由余弦定理得， 所以． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分、、及进行讨论即可得； （2）可将原问题转化为对任意的恒成立，构造函数，借助导数分及计算其最小值即可得. 【小问1详解】 ， 当时，恒成立， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， 则当，即时，恒成立，即在上单调递增； 当，即时， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由题意可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，，则， 当时，恒成立， 故在上单调递增，则，符合要求； 当时，令，解得， 即当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即，则有， 令，即，令，， 则，即在上单调递减， 即，即当时，恒成立，不符合要求； 综上所述，. 19. 设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列． （1）若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由； （2）证明：若的通项公式为，则不是数列； （3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值． 【答案】（1）是T数列， 理由：由题知，即， 所以，， 当时，，所以是T数列． （2）证明：假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项， ， 所以对任意正整数，存在正整数满足：， 显然时，存在，满足， 取，得，所以， 可以验证：当，2，3，4时，都不成立， 故不是T数列. （3）或． 【解析】 【分析】（1）由题知，再根据T数列的定义，即可作出判断； （2）先假设是数列，从而有，再进行验证，即可证明结果； （3）根据题设得到，取对数后可得，分类讨论后可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知是等比数列，其首项，公比， 所以， 所以， 由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 若，则，任意，这不可能成立； 若， 故对任意，总存在使得该等式成立， 故必为整数， 取，则有正整数解，故， 若，则，此时方程对任意， 必有正整数解； 若，则， 此时方程对任意， 必有正整数解； 综上，或． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $