精品解析：广东省揭西县上砂中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（创新班）

2024-2025 学年度第一学期九年级第一次月考数学试卷 （创新班） 试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项 （1）答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 （2）将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D. 在中，若，则是直角三角形 2. 下列是一元二次方程的是（　　） A. ﹣5x+2＝1 B. 2x2﹣y+1＝0 C. x2+2x＝0 D. x2﹣＝0 3. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，此方程可化为(　　) A. (x﹣3)2＝4 B. (x﹣3)2＝14 C. (x﹣9)2＝4 D. (x﹣9)2＝14 5. 根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y= ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09 判断方程=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 6. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 设、是一元二次方程＝的两个根，则＝（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，，若，则四边形的周长是________． 12. 四边形ABCD中，AC⊥BD，顺次连接它的各边中点所得的四边形是_________. 13. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______. 14. 若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____． 15. 九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 三、解答题（一）（共 3 题，每题 7 分，共 21 分） 16. 解方程：. 17. 已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 18. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若设每件衬衫降价x元，直接写出此时的销量为　 　． （2）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 四、解答题（二）（共 3 题，每题 9 分，共 27 分） 19. 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，． （1）证明：； （2）连接、，证明：四边形是菱形． 20. 如图，在矩形中，边上有一点E，连接，若，．． （1）直接写出的长； （2）有一点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，有一点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ① 秒时，四边形为平行四边形； ② 秒时，四边形为矩形； （3）有一点M从点D出发，以的速度沿向点A运动，有一点N从点B出发，以的速度沿射线运动，当点M到达点A时，点M、N同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，问x取何值时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 21. 阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 五、解答题（三）（共 2 题，27 分） 22. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 23. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年度第一学期九年级第一次月考数学试卷 （创新班） 试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项 （1）答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 （2）将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D. 在中，若，则是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意； C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意； D、设， ∵三角形内角和为， ∴， ∴ ∴，则为锐角三角形， ∴该选项为假命题，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；解决此题的关键是掌握平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理． 2. 下列是一元二次方程的是（　　） A. ﹣5x+2＝1 B. 2x2﹣y+1＝0 C. x2+2x＝0 D. x2﹣＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”，“一个未知数，“未知数的最高次数是2”，“二次项的系数不等于0”，“整式方程”． 3. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度． 【详解】解：连接与交于O． ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质． 4. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，此方程可化为(　　) A. (x﹣3)2＝4 B. (x﹣3)2＝14 C. (x﹣9)2＝4 D. (x﹣9)2＝14 【答案】B 【解析】 【分析】先移项，再方程两边都加上9，即可得出答案． 【详解】原方程可化为x2-6x=5， 配方得x2-6x+9=5+9， 即（x-3）2=14． 故选B. 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方． 5. 根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y= ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09 判断方程=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 【答案】D 【解析】 【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.03和0.09最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x取3.25与3.26之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根． ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.25＜x＜3.26． 故选D． 【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似根． 6. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：B 【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 8. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数解可知，解不等式即可． 【详解】解：一元二次方程有实数解， ， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住时，一元二次方程有实数解． 9. 设、是一元二次方程＝的两个根，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．若，为一元二次方程的两个根，则有，．据此即可获得答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程＝的两个根， ∴． 故选：A． 10. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是边长为6的正方形， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 又， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，，若，则四边形的周长是________． 【答案】16 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 12. 四边形ABCD中，AC⊥BD，顺次连接它的各边中点所得的四边形是_________. 【答案】矩形 【解析】 【详解】分析：有一个角是直角的平行四边形是矩形，判断即可. 详解：顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时，平行四边形的邻边也互相垂直，所以是矩形. 故答案为矩形. 点睛：考查矩形的判定，三角形中位线定理，掌握矩形的判定方法是解题的关键. 13. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______. 【答案】（12-x）（8-x）=77 【解析】 【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】道路的宽为x米．依题意得： (12-x)(8-x)=77， 故答案为(12-x)(8-x)=77. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系． 14. 若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____． 【答案】m＞﹣4 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0， 解得：m＞﹣4． 故答案为：m＞﹣4． 15. 九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x−1）本图书，有x名学生，那么总互共送x（x−1）本，根据全组共互赠了132本图书列出方程，继而求解即可得出答案． 【详解】解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x−1）本； 则总共送出的图书为x（x−1）； 又知实际互赠了132本图书， ∴x（x−1）＝132． 整理得， 解得（舍去）， ∴全组共有12名同学． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x−1）本是解决本题的关键． 三、解答题（一）（共 3 题，每题 7 分，共 21 分） 16. 解方程：. 【答案】， 【解析】 【详解】试题分析：运用配方法求解即可． 试题解析： 故：， 考点：解一元二次方程-配方法． 17. 已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】（1）1；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）将x=1代入方程中即可求出答案． （2）根据根的判别式即可求出答案． 【详解】（1）将x=1代入原方程可得1﹣(m+2)+2m=0， 解得：m=1． （2）由题意可知：△=(m+2)2﹣4×2m=(m﹣2)2≥0， 不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 18. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若设每件衬衫降价x元，直接写出此时的销量为　 　． （2）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）20+2x；（2）每件衬衫应降价20元 【解析】 【分析】（1）根据“每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件”直接列出即可； （2）总利润=每件利润×销售量．设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意可得利润表达式，再求当w=1200时x的值． 【详解】（1）每件衬衫降价x元，则销售量为(20+2x)件， 故答案为：20+2x； （2）根据题意得： ﹣2x2+60x+800=1200， 解之得x1=10，x2=20． 根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元． 答：每件衬衫应降价20元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用问题，第2小题中降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件． 四、解答题（二）（共 3 题，每题 9 分，共 27 分） 19. 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，． （1）证明：； （2）连接、，证明：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中 ， ∴； （2） 证明：∵ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据是的中点，可得，即可证明； （2）根据可得，进而可得四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，边上有一点E，连接，若，．． （1）直接写出的长； （2）有一点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，有一点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ① 秒时，四边形为平行四边形； ② 秒时，四边形为矩形； （3）有一点M从点D出发，以的速度沿向点A运动，有一点N从点B出发，以的速度沿射线运动，当点M到达点A时，点M、N同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，问x取何值时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】（1） （2）①；②2 （3）2秒或6秒 【解析】 【分析】（1）本题考查勾股定理和矩形的性质，利用，求出,根据，即可得出． （2）①本题考查平行四边形的判定和矩形的性质，根据点P的运动时间为t秒，将四边形的边用t表示出来，，，，，再根据四边形为平行四边形，应满足，建立等式求解即可． ②本题考查矩形的性质和判定，解题方法与①类似，根据四边形为矩形，应满足，建立等式求解即可． （3）本题考查平行四边形的判定和矩形的性质，解法仍与①类似，用将、、表示出来，注意对点N在边上或在延长线上两种情况进行分类讨论，根据以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形，应满足，建立等式求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 四边形是矩形，，， ，， 在中， ， ， ． 【小问2详解】 解：由运动知，，， ，， ①如图1， 四边形为平行四边形， ， ，解得， 故答案为：． ②如图2、四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由运动知，，， 以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． ， 当点N在边上时，， ， ， 当点N在延长线上时，， ， ， 即：x为2秒或6秒时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 21. 阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36；120； （2）不能 （3）一共能摆放20排． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【小问1详解】 解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； 【小问2详解】 解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； 【小问3详解】 解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 五、解答题（三）（共 2 题，27 分） 22. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2） 解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3） 解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2，（2）4， （3）， 猜想：， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （4）10 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，，即可得，问题随之得解； （4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵在菱形中，，， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：， 猜想：略； （4）根据尺规作图可知：， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴根据（3）的结论有：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $