精品解析：河南省通许县发展联盟2024-2025学年九年级上学期期中联考数学试题

通许县2024-2025学年上学期城乡义务教育一体化发展实验中学联盟 九年级联考数学试卷 ▶上册第21~23章◀ 注意事项：共三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）请把正确答案的代号填在括号中． 1. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 2. 下列各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，5 C. 1，2，3，6 D. 1，2，3，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的定义，对于四条线段、、、，如果两条线段之比与另两条线段之比相等，我们就说这四条线段成比例，本题解题关键是熟练掌握成比例线段的定义，正确找出对应比值． 由成比例线段知，证明线段、、、成比例，则需，分别求出比值是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．，故A选项错误； B．，故B选项错误； C．，故C选项正确； D．，故D选项错误． 故选：C． 3. 已知，则代数式的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：A． 4. 已知是关于的一元二次方程，若一次项系数为0，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，由一次项系数为0，可以求出a的值，因为二次项系数不能为0，所以a不能为，应舍去． 【详解】解：∵一次项系数为0， ∴， ， ∴， 解得． ∵， ∴． 故． 故选：B． 5. 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的高的比等于相似比．如图，先证，再根据相似三角形的高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，     由题意可知，，，， ，， ， ，即， 解得， 即像距是． 故选：D． 6. 在中，，，用尺规作图在上取一点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，即是的垂线，根据作图痕迹判断即可获得答案． 【详解】解：当是的垂线时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 根据作图痕迹可知， A、是的角平分线，不一定与垂直，不符合题意； B、是的中线，不一定与垂直，不符合题意； C、是的垂线，符合题意； D、不与垂直，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图—作角平分线、尺规作图—作垂线、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识． 根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】解：如下图， 点即为所求的位似中心． 故选：D． 8. 黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，枫叶的叶脉长为，B为线段上一点，且满足，则称点B为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的性质可得：， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，，，为上一点，过点作，交于点，连接，恰好是的平分线，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，过点作，可得，再证明得到，利用勾股定理求出，进而求出，在中，由勾股定理求出，即可得到，再根据平行线的性质证明是等腰三角形，得到，在中，由勾股定理即可解答． 【详解】解：过点作， ∵是的平分线，且， ∴，， ∴ ∴， 在中， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即， 在中，，， 即， 解得：， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点自点处向上平移1个单位长度至点处，然后向右平移2个单位长度至点处，再向下平移3个单位长度至点处，再向左平移4个单位长度至点处……按此规律平移下去，若这点平移到点处时，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标系中点的坐标规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律． 先确定点在第三象限，根据第三象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可． 【详解】解：∵，则在第三象限， 由题意，第三象限的点为， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，分别是，的中点，若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半． 利用三角形的中位线定理，知是的一半，可求出的长． 【详解】解：∵中，、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ， 故答案为：2． 12. 已知，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，，再根据比例的性质计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得， ，即， ∴ ， ， 故答案为： 或 ． 14. 如图，把沿边平移到的位置，边与交于点，设的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解答本题的关键． 首先根据题意得到，然后证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵把沿边平移到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24． 15. 如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若与相似，则的最大值为______，最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，难度适中，解题的关键是进行分类讨论．由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出的长，即可解答． 【详解】解：∵，， ， ． 设的长为，则长为． 要使与相似，那么分两种情况： ①，则， 即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ②，则， 即， 解得或， 经检验，或是分式方程的解且符合题意， 综上，的长为或或， ， 的最大值为，最小值为． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和解一元二次方程． （1）先计算括号内的除法，再计算括号内的减法，最后计算乘法即可； （2）把原方程左边因式分解，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：（1） （2） ∴， 则或， 解得， 17. 如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，四边形内角和定理， 根据相似三角形的性质可得，再代入求值，然后根据四边形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵四边形四边形， ∴. ∵ ∴ 解得， ∴. 18. 如图，点在的边上，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明： ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ． 19. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，已知，，． （1）求的长 （2）设与相交于点，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识． （1）由得到，代入数值计算即可； （2）证明，则，得到，则，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，． ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上． （1）点的坐标为______，点的坐标为______． （2）将向右平移4个单位长度得到，画出． （3）以点为位似中心，将放大为原来的2倍．得到．画出． 【答案】（1）， （2） 如图所示，为所求； （3） 如图所示，为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移变换的性质． （1）根据坐标系直接写出坐标即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （3）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可． 【小问1详解】 解：根据坐标系可得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接 ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∴，且 ∴四边形是平行四边形； （2）， 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，首先根据三角形中位线的性质得到，且，，且，进而得到，且，即可证明出四边形是平行四边形； （2）连接，，同理可得，，，进而得到当时，，证明出平行四边形是菱形，然后由推理得到，进而证明出菱形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当，且时，四边形是正方形． 理由如下： 如图所示，连接， ∵由（1）得， 同理可得，， ∴当时， ∴平行四边形是菱形 当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴菱形是正方形． 22. 书画装裱是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国民族传统的一门特殊艺术．图1是《千里江山图》，它是长为，宽为的矩形，现要在该画的四周外围镶上一条宽度相同的边衬，制成一幅挂图，如图2，若整幅挂图的面积为，则挂图的边衬的宽度是多少？设边衬的宽度为． （1）挂图的长为______cm，宽为______cm．（用含的代数式表示） （2）请列出方程，并求出的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设边衬的宽度为，那么挂图的长为，挂图的宽为； （2）根据整幅挂图的面积为，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设边衬的宽度为， 则挂图的长为，挂图的宽为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由题意得； 整理方程得：， 解得：（不合题意舍去）． ∴． 23. 如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． （1）当时，求的长． （2）当时，求的长． （3）点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 不存在，理由如下： 由（1）可得，， ∴， 当时，设， 则， ∴， 整理得，, ∵， ∴方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而可证，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而证明，可得，即可求解； （3）由（2）可得，，即，当时，设，则，可得，再由，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意， ∴的长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通许县2024-2025学年上学期城乡义务教育一体化发展实验中学联盟 九年级联考数学试卷 ▶上册第21~23章◀ 注意事项：共三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）请把正确答案的代号填在括号中． 1. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，5 C. 1，2，3，6 D. 1，2，3，7 3. 已知，则代数式的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 已知是关于的一元二次方程，若一次项系数为0，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，用尺规作图在上取一点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，枫叶的叶脉长为，B为线段上一点，且满足，则称点B为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，为上一点，过点作，交于点，连接，恰好是的平分线，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点自点处向上平移1个单位长度至点处，然后向右平移2个单位长度至点处，再向下平移3个单位长度至点处，再向左平移4个单位长度至点处……按此规律平移下去，若这点平移到点处时，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，分别是，的中点，若，则的长为______． 12. 已知，则______． 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 14. 如图，把沿边平移到的位置，边与交于点，设的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 15. 如图，在四边形中，，，，，．是边上的一个动点，若与相似，则的最大值为______，最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 18. 如图，点在的边上，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 19. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，已知，，． （1）求的长 （2）设与相交于点，若，求的值． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上． （1）点的坐标为______，点的坐标为______． （2）将向右平移4个单位长度得到，画出． （3）以点为位似中心，将放大为原来的2倍．得到．画出． 21. 如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 22. 书画装裱是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国民族传统的一门特殊艺术．图1是《千里江山图》，它是长为，宽为的矩形，现要在该画的四周外围镶上一条宽度相同的边衬，制成一幅挂图，如图2，若整幅挂图的面积为，则挂图的边衬的宽度是多少？设边衬的宽度为． （1）挂图的长为______cm，宽为______cm．（用含的代数式表示） （2）请列出方程，并求出的值． 23. 如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． （1）当时，求的长． （2）当时，求的长． （3）点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $