精品解析：广东省汕头市潮阳第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中考试高二级试题 数学 命题人：高二数学备课组 审题人：谢静芳 姚超 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则下面韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为（ ） A. 16，20 B. 16，80 C. 18，20 D. 18，80 4. 直线l：（参数，）的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 7. 已知实数x，y满足，且，则不可能是（ ） A. －3 B. －4 C. 3 D. 4 8. 函数，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 已知直线和为函数（）图象上两条相邻的对称轴．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则图象可以由图象向左平移个单位得到 D. 若，则在区间上的值域为 11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点． （1）若直线l经过点，且以方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为； （2）若平面经过最，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则平面的方程为． 如图，一在棱长为1的正方体中，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 平面的法向量为 B. 直线的方程为 C. 过点的平面方程为，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 平面方程为，平面方程为，则平面与平面之间的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l的方程为，则直线l过定点______. 13. 已知空间4个点A，B，C，D及平面ABC外的一点P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为______． 14. 在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）一条光线从点射出，遇反射，反射光线所在直线的倾斜角为，若，求反射光线所在直线方程； （2）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的方程． 16. 如图，正四棱柱中，，点E在上且． （1）证明：； （2）求点B到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）求在上的单调递增区间； （2）已知的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求面积的最大值，及此时a、b的值． 18. 在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值．若根据这次成绩，学校建议的学生选报物理，的学生选报历史，某同学想选报物理，请同他的物理成绩应不低于多少分较为合适?（小数点后保留一位） （2）这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．请估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差． （3）现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级，若两个模块成绩均为A+，则直接参加；若一个模块成绩为A+，另一个模块成绩不低于B，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为；乙在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为．求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率． 19. 如图，五面体中，，，平面ABCD． （1）求证：； （2）若，，，求点E到直线AB的距离； （3）若，，，二面角的余弦值为，求DE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中考试高二级试题 数学 命题人：高二数学备课组 审题人：谢静芳 姚超 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则下面韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦恩图可得图中阴影部分表示的集合为，进而结合补集和交集的定义求解即可. 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 因为，， 所以或，又， 所以. 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数乘方运算化简，根据共轭复数定义即得答案. 【详解】由，则. 故选：A 3. 已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为（ ） A. 16，20 B. 16，80 C. 18，20 D. 18，80 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质求解． 【详解】由题意数据的平均数为， 方差为， 故选：D． 4. 直线l：（参数，）的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线， 因为，所以，设直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 因为，所以，或. 故选：B. 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性并结合对数函数和二次函数性质列出不等式组，解出即可. 【详解】由对数函数和二次函数复合可得函数单调递增， 再根据二次函数性质可知，若在上单调递增需满足， 解得， 故选：A. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先由，，求出，然后利用诱导公式化简式子求值即可. 【详解】因为，， 所以， ， 故选：A 7. 已知实数x，y满足，且，则不可能是（ ） A. －3 B. －4 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法与函数的单调性求函数的值域逐项判断即可. 【详解】因为，，令，则， 所以，显然， 所以当，单调递增，所以，故， 当，单调递增，所以，故， 故选：C 8. 函数，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解函数方程得到或，再利用方程的根与函数交点的关系，数形结合得到关于的不等式即可得解. 【详解】由得， 解得或， 画出的函数图象， 而的解的个数，可以看作与的交点个数，显然有两个交点； 因为有三个不同的实数根， 所以与需要有一个交点， 由函数图象可知，解得，即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正弦定理逐项判断确定三角形的个数. 【详解】对于A：因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件可确定1个三角形； 对于B：由正弦定理可知，，无解， 故B选项的条件不能确定三角形； 对于C：由正弦定理可知，，又，即， 所以或，故C选项的条件可确定2个三角形； 对于D：由正弦定理可知，， 又，即，又易知，则有两个解， 故D选项的条件可确定2个三角形. 故选：CD 10. 已知直线和为函数（）图象上两条相邻的对称轴．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则图象可以由图象向左平移个单位得到 D. 若，则在区间上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线和为函数图象上的两条相邻对称轴，可得点为函数的图象与轴的交点可判断AB；求出、平移后的函数解析式可判断C；根据三角函数的值域可判断D. 【详解】对于A，点与的中点为，即， 因为直线和为函数图象上的两条相邻对称轴， 所以点为函数的图象与轴的交点，所以，故A正确； 对于B，因为直线和为函数图象上两条相邻对称轴， 所以，可得，故B正确； 对于C，由、可得， 所以，若，则， 所以， 则由图象向左平移个单位得到，故C错误； 对于D，若，由C得， 当时，则，， 所以在区间上的值域为，故D正确. 故选：ABD. 11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点． （1）若直线l经过点，且以方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为； （2）若平面经过最，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则平面的方程为． 如图，一在棱长为1的正方体中，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 平面的法向量为 B. 直线的方程为 C. 过点的平面方程为，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 平面方程为，平面方程为，则平面与平面之间的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设平面的一个法向量是，根据法向量的定义求出法向量判断A，由直线的向量方程判断B，利用平面方程的概念确定截面，求出其面积判断C，根据平面方程确定平面的法向量及平面所过的点，然后由平面间距离的向量公式计算距离判断D． 【详解】由题意，， ， 选项A，设平面的一个法向量是， 则，取，则，A正确； 选项B，，又，因此直线的方程为，B正确； 选项C，过点的平面方程为，则平面的一个法向量是， 即为，，平面，因此平面即为平面， 截面是正三角形，其面积为，C错； 选项D，平面的法向量是，且过点，平面的法向量是，且过点，， 因此平面与平面平行，它们的距离为，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l的方程为，则直线l过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线过定点的求法即可得解. 【详解】直线，可化为， 令，解得，所以直线恒过定点. 故答案为：. 13. 已知空间4个点A，B，C，D及平面ABC外的一点P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】首先根据空间共面向量定理的推论得到与的关系式，然后根据均值不等式“1”的代换求解的最小值即可. 【详解】已知，，，四点共面， 若满足，且，， 则根据空间共面向量定理推论可知：，即：. 由于，，则， 当且仅当，即，时等号成立. 因此的最小值为. 故答案为： 14. 在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】将该四面体放置于长方体中，列方程求出长方体长宽高，再转化为求异面直线距离即可. 【详解】如图，将四面体放入长方体中，分别为矩形的中心， 设，，， 则，，， 得，，． 由图易知直线与异面，则线段长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体的二平行平面间的距离. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）一条光线从点射出，遇反射，反射光线所在直线的倾斜角为，若，求反射光线所在直线方程； （2）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求出点关于的对称点，求出斜率即可得反射光线所在直线方程； （2）直接根据待定系数法即可得结果. 【详解】（1）设点关于的对称点， 由题意得，解得，即， 由于，所以， 可得反射光线所在直线的斜率， 所以反射光线所在直线方程为，即. （2）设的外接圆的方程为， 由题意得，解得， 所以的外接圆的方程为， 16. 如图，正四棱柱中，，点E在上且． （1）证明：； （2）求点B到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则，， 所以，所以，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示坐标系，求出，再由数量积为零证明两直线垂直即可； （2）求出平面的法向量，代入空间向量的点到面的距离公式求解即可； （3）直接代入空间向量的线面角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 又， 所以点B到平面的距离为， 【小问3详解】 由（2）可得平面的法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）求在上的单调递增区间； （2）已知的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求面积的最大值，及此时a、b的值． 【答案】（1）， （2）面积最大值为； 【解析】 【分析】（1）首先通过恒等变换化简得：，然后利用，即可求解单调区间； （2）首先根据（1）化简结果求出角，然后利用余弦定理得到边的关系式，最后根据均值不等式求解的最大值，进而求得面积的最大值. 【小问1详解】 ， 由，得， 又，所以函数在上的单调递增区间为，； 【小问2详解】 由，得， 所以，所以， 因为，所以， 又，在中，由余弦定理可得， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为. 18. 在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值．若根据这次成绩，学校建议的学生选报物理，的学生选报历史，某同学想选报物理，请同他的物理成绩应不低于多少分较为合适?（小数点后保留一位） （2）这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．请估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差． （3）现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级，若两个模块成绩均为A+，则直接参加；若一个模块成绩为A+，另一个模块成绩不低于B，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为；乙在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为．求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率． 【答案】（1）； （2）30.25 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）求出80分以上的小矩形的面积和，进而求出80分以上的总人数，再求平均数和方差； （3）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可. 【小问1详解】 依题意得，， 又， 所以第分位数位于，且， 他的物理成绩应不低于分较为合适 【小问2详解】 成绩位于内的学生的人数为， 成绩位于内的学生的人数为， 成绩在80分及以上的学生成绩的平均分为（分）， 该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为， 【小问3详解】 依题意甲能参加物理竞赛的概率， 乙能参加物理竞赛的概率， 二人互不影响，所以甲、乙能同时参加物理竞赛的概率 19. 如图，五面体中，，，平面ABCD． （1）求证：； （2）若，，，求点E到直线AB的距离； （3）若，，，二面角的余弦值为，求DE的长． 【答案】（1）证明：因为，平面，平面，可得平面， 又因为平面，平面平面， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得平面，结合线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，可得，利用空间向量求点到线的距离； （3）根据（2）中坐标系，设，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量处理二面角问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知：，平面ABCD， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 若，，，则， 可得， 所以点E到直线AB的距离为. 【小问3详解】 由（2）中坐标系，若，，， 则， 设，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可知：设平面的法向量， 则，解得， 所以DE的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $