有理数的加减乘除运算 讲义-2024-2025学年苏科版数学七年级上册

姓名 年级 七年级 课时 学科 数学 有理数加减法 【知识梳理】 一、有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点：利用法则进行加法运算的步骤： (1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)． (3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 要点：交换加数的位置时，不要忘记符号． 二、有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算． （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 要点： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如： 三、有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【经典例题】 【例1】考点一：有理数的加法运算 计算：(1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0． 【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条． (1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32； (2) (3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9 (4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9 (5)(-2.9)+(+2.9)＝0； (6)(-5)+0＝-5． 【总结升华】绝对值不等异号两数相加，是有理数加法难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值． 【例2】考点二：有理数的减法运算 计算：(1)(-32)-(+5)； (2)(+2)-(-25)． 【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算． 【答案与解析】法一： 法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27 【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算. 【例3】考点三：有理数的加减混合运算 计算，能用简便方法的用简便方法计算. （1） 26-18+5-16 ； （2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21） (3) (4) （5） （6） 【答案与解析】 （1） 26-18+5-16 =(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法 =(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加 = 31+(-34)=-3 （2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）=[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加 =0 （3） →同分母的数先加 （4）→统一成加法 →整数、小数、分数分别加 （5） →统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起 （6） →整数，分数分别加 【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换． 【例4】考点四：有理数的加减混合运算在实际中的应用 邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，继续向南骑行3km到达B村，然后向北骑行9km到C村，最后回到邮局． （1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； （2）C村离A村有多远？ （3）邮递员一共骑了多少千米？ 【思路点拨】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm表示1km，按此画出数轴即可； （2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离； （3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和． 【答案与解析】 解：（1）依题意得，数轴为： ； （2）依题意得：C点与A点的距离为：2+4=6（千米）；（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）． 【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可． 【例5】考点五：数学思想在本章中的应用 　（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系． A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a 　 　 （2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值． （3）转化思想：计算： 【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a． （2）因为| x|＝5，所以x为-5或5 因为|y|＝3，所以y为3或-3． 当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2 当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8 当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8 当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2 故（x-y）的值为±2或±8 （3）原式= 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”． 【例6】考点六：规律探索 将1，，，，，，…，按一定规律排列如下： 请你写出第20行从左至右第10个数是________． 【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律． 【答案】 【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是． 【升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来． 【练1】计算：（1） (+10)+(-11)； （2） （3） 【答案】（1） (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1； （2） （3） 【练2】若（　　）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（　　） 　 A． ﹣1 B． 1 C． 5 D． ﹣5 【答案】B． 根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3. 【练3】用简便方法计算： (1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2 【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2 (2)原式=（2-1-4）+（--+-）=-3+[-++(--)]=-3-1=-4 【练4】 1.华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 100 150 350 -400 -100 (1)第一名超过第二名多少分? (2)第一名超过第五名多少分? 【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1) 350-150＝200(分)(2) 350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分． 2.某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下： 197，202，197，203，200，196，201，198． 计算出售的粮食总共多少千克? 【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6 200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克． 法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克． 【练5】 若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么? 【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0； 当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0； 　 　 当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数． 有理数乘除 【知识梳理】 一、有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 要点： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 二、有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 四、有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【经典例题】 【例1】考点一：有理数的乘法运算 1．计算：(1)； (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0． 【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零． (1)； (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0． 【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号. 2.运用简便方法计算：25×﹣（﹣25）×+25×． 【答案与解析】解：25×﹣（﹣25）×+25×，=25×+25×+25×，=25×（++），=25×，=． 【总结升华】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法分配律并灵活运用是解题的关键． 【例2】考点二:有理数的除法运算 计算： 【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律． 【答案与解析】解： 【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果． 【例3】考点三：有理数的乘除混合运算 计算： 【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行． 【例4】考点四：有理数的加减乘除混合运算 计算：【答案与解析】方法1： 方法2： 所以 【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c) ＝a÷b+a÷c进行分配就错了． 【例5】考点五：含绝对值的化简 已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗? 【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值，再代入求值． 【答案与解析】解：分四种情况：(1)当a、b、c三个数都为正数时，； (2)当a、b、c三个数中有两个为正，一个为负时，不妨设a为负，b、c为正，； (3)当a、b、c三个数中有一个为正，两个为负时，不妨设a为正，b、c为负，； (4)当a、b、c三个数都为负数时， 综上，的值为： 【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论. 【练1】用简便方法计算：(1)；(2)． 【答案】（1）原式 ． (2)＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2 ＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)＝-3.14×100＝-314． 【练2】计算： 【答案】原式 【练3】计算： 【答案】 【练4】观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号） 1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…， 那么计算：=　　． 【答案】 解：==． 【练5】计算的取值. 【答案】(1)当a＞0、b＞0时，； (2)当a＜0、b＜0时，； (3)当a＞0，b＜0时，； (4)当a＜0，b＞0时，． 综上，的值为： 第1页/共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$