精品解析：湖北省华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高一上学期独立作业1数学试题

2024级高一数学独立作业1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于集合，若不成立，则下列理解正确的是（ ） A. 集合B的任何一个元素都属于A B. 集合B的任何一个元素都不属于A C. 集合B中至少有一个元素属于A D. 集合B中至少有一个元素不属于A 2. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. “一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三人去过同一个城市，下面判断错误的是（ ） A. 乙去过城市 B. 乙去过城市 C. 甲去过城市 D. 甲去过城市 6. 若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中.以下判断中不正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则整数，属同一类 8. 设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于集合运算的结论，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值是16 B. 的最小值为128 C. 的最小值为10 D. 的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 设，，，则，，，的大小顺序是________． 13. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 14. 已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是_________； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 17. 如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.将正方形沿折叠，使点与线段上的点重合（不在端点，处），折叠后与交于点.设， （1）将表示成的函数. （2）求的面积的最大值. 18. 已知，且． （1）求证：； （2）求的最大值． 19. 设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． （1）当时，判断是否为U的子集，说明理由； （2）当时，若A为U的子集，求证：； （3）当时，若A为U的子集，求集合A． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一数学独立作业1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于集合，若不成立，则下列理解正确的是（ ） A. 集合B的任何一个元素都属于A B. 集合B的任何一个元素都不属于A C. 集合B中至少有一个元素属于A D. 集合B中至少有一个元素不属于A 【答案】D 【解析】 【分析】ABC项举反例可得，D项由全称命题的否定可得. 【详解】AC项，若， 不成立，但，故AC错误； B项，若， 不成立，但，故B错误； D项，， 故不成立，即不成立， 由全称命题的否定可知，不成立，即：. 即集合B中至少有一个元素不属于A，故D正确. 故选：D. 2. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，得到集合中的元素，根据阴影部分表示的含义求解. 【详解】对于方程， 当时，，解得， 当时，，即，恒成立， 当时，，解得， ∴. 由题意得，，. 图中阴影部分表示在集合B中不在集合A中的元素构成的集合，为. 故选：D. 3. “一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件，再求解即可. 【详解】由一元二次方程的两个根为， 又方程有一个正实数根和一个负实数根， ，， 即“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为， 则其充分不必要条件的范围应为的真子集， 结合选项可得选项C符合题意， 故选：C. 4. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 5. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三人去过同一个城市，下面判断错误的是（ ） A. 乙去过城市 B. 乙去过城市 C. 甲去过城市 D. 甲去过城市 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，进行合情推理，即可得出结果. 【详解】由丙的说法可得：三人各自去过至少一个城市并去过同一个城市； 由甲的说法可得：甲去过两个城市，但不是城市，且乙去过一个城市， 因此甲去过两市，再由乙的说法、丙的说法可得乙去过市， 故选：B. 6. 若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式依次验证各个选项即可. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号），A错误； 对于B，（当且仅当时取等号），B错误； 对于C，（当且仅当时取等号）， ，C错误； 对于D，（当且仅当时取等号），D正确. 故选：D. 7. 整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中.以下判断中不正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则整数，属同一类 【答案】C 【解析】 【分析】根据“类”的定义，对选项进行分析，得到答案. 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，全体整数被5除的余数只能是0，1，2，3，4， 故，B正确； C选项，，故，C错误； D选项，由题意可知能被5整除，故分别被5除的余数相同， 故整数，属同一类，D正确. 故选：C. 8. 设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，当时，关于的不等式恒成立，即 恒成立，即 恒成立，由此可得实数的取值范围． 【详解】由集合是关于的不等式的解集，且， 则当时，不等式恒成立，   即在上恒成立， ，即，，   在上恒成立， ，， 所以实数的取值范围是．   故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于集合运算的结论，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用交并集、补集的知识及关系，即可得出结论. 【详解】对于A：由并集及交集，补集知识可知，故A正确； 对于B：由交集的分配律可得，故B正确； 对于C：由交集与并集知识可得，故C错误； 对于D：由交集与并集知识可得，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项ABD，利用不等式的性质计算即可，选项C，因为可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，不妨令，得，此时，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值是16 B. 的最小值为128 C. 的最小值为10 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】直接由基本不等式即可判断A、B；通过对进行等价转换，再利用基本不等式即可判断C；通过对进行等价转换，再利用对勾函数单调性即可判断D. 【详解】因为，，且，所以， 解得，当且仅当时等号成立，故A正确； 因为，由A选项分析可知， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 因为，，且，所以， 所以 ， 等号成立当且仅当，故C错误； 因为，且， 所以不妨令， 因为，所以单调递增， 所以，从而， 等号成立当且仅当. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：对于A、B两个选项的判断较为简单，而C、D选项的关键是先等价变形表达式，然后利用基本不等式和对勾函数去判断. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 设，，，则，，，的大小顺序是________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用特殊值法，方法二：作差法，两两作差比较大小. 【详解】方法一：特殊值法 取，，，， 则，，，，则． 方法二：作差法 因为，，，所以， 所以， 所以． 因为，，， 所以，， 所以，，所以． 或，所以． ，所以． 所以． 故答案为： 13. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 14. 已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是_________； 【答案】 【解析】 【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合对进行分类讨论，分，和三种情况，求出符合要求的实数a的取值范围. 【详解】可变形为， 因为，所以， 其中， 当时，开口朝下，不合题意； 当时，，解得：，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去； 当时，开口朝上， 因为，所以不等式解集为， 此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2， 则必有，所以，结合， 所以，所以， 综上： 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据对是否为空集分情况讨论即可； （2）求出，根据并集定义求解即可. 【小问1详解】 由，得，，故， 因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，有，无解； 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，， 若，则， 所以实数的取值范围为； 16. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的图象和判别式可求得结果； （2）对，，进行分类讨论，可分别求得其解集 【详解】（1）根据题意， 当，即时，解集不是，不符合题意； 当，即时，因为的解集为R， 所以的解集为R， 所以， 即， 故时，或，所以. 故的取值范围为： （2）因为， 所以， 当，即时，得，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 17. 如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.将正方形沿折叠，使点与线段上的点重合（不在端点，处），折叠后与交于点.设， （1）将表示成的函数. （2）求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，进而由勾股定理即可求解； （2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值. 【小问1详解】 由，，可知， 由勾股定理可得， 故. 【小问2详解】 ，， 又，， 于是， 设的面积为，则， 因为，， 所以 ， 因为，则， 所以， 于是， 当且仅当，即时，等号成立，满足， 故的面积的最大值为. 18. 已知，且． （1）求证：； （2）求的最大值． 【答案】（1）因为， 所以， 以上三式相加得， 所以，当且仅当时取等号． 因为，且，所以，，所以， 所以． 故. （2） 【解析】 【分析】（1）通过，，，三式相加，可得：. 再根据，，∴，，且，可得结果. （2）先用公式和把原式转化为： ，再用和进行消元，转化为的二次三项式，再用配方法可求最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 当且仅当，时取等号， 的最大值为． 19. 设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． （1）当时，判断是否为U的子集，说明理由； （2）当时，若A为U的子集，求证：； （3）当时，若A为U的子集，求集合A． 【答案】（1） 当时，，，， 取，则，但，不满足性质②， 所以不是U的子集. （2） 当时，A为U的子集， 则； 假设，设，即 取，则，但，不满足性质②， 所以，； 假设， 取，，且，则， 再取，，则， 再取，，且， 但与性质①矛盾， 所以. （3）集合. 【解析】 【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集； （2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出； （3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，当时，若A为U的子集，，，， 所以当时，， 若A为U的子集，，，； 若，取，，则，， 再取，，则，与矛盾， 则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 综上所述，集合. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $