精品解析：上海市南洋中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

高一年级数学学科期中考试试题 （满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（1-8每题3分，9-12每题4分，共40分） 1. ，或，则________. 2. 用反证法证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设 ___． 3. 把不等式的解集用区间表示：________. 4. 不等式的解集是________. 5. 关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是_________． 6. 已知，，则的值为______. 7. 使不等式中等号成立的x的取值范围是________. 8. 已知集合，且，则实数的值为___________. 9. 如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 10. 若集合，，若集合M满足，则这样的集合M的个数是______. 11. 设，是方程的两根，则______． 12. 记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________． 二、选择题（13-16每题4分，共16分） 13. 设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 如图，U是全集，A、B、C是U的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 15. 如果，那么下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 16. 设集合，，若，则对应的实数对有（ ） A. 无数对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 三、解答题 17. 已知，，用表示. 18. 设，证明：“”不是“”的必要条件. 19. 解关于的不等式：. 20. 王老师和高老师一起去粮店打酱油共三次，王老师每次打100元酱油，高老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，一斤的价格分别为元、元、元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低是哪位老师？请说明理由.（即提炼关键不等式，并证明） 21. 设a，b都是正数. （1）证明：； （2）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学学科期中考试试题 （满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（1-8每题3分，9-12每题4分，共40分） 1. ，或，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为，或， 所以， 故答案为： 2. 用反证法证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设 ___． 【答案】该梯形是等腰梯形 【解析】 【分析】根据反证法的原理可得答案. 【详解】若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设该梯形是等腰梯形 故答案为：该梯形是等腰梯形 3. 把不等式的解集用区间表示：________. 【答案】． 【解析】 【分析】由绝对值性质解出不等式，然后写出结果． 【详解】，解集为． 故答案为：． 4. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为方程的解为，， 所以不等式的解集为：， 故答案为：. 5. 关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】对于一元二次方程（），有，结合根与系数关系及根的分布列不等式组确定的取值范围. 【详解】对于方程有两个不同的根，所以. 展开得，则或. 由韦达定理可知，两根之和，两根之积. 因为两根为正，所以且. ，即，解得. ，即. 综上，，实数的取值范围是. 故答案为：. 6. 已知，，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】将对数式化成指数式，利用指数幂的运算计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为:##. 7. 使不等式中等号成立的x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】绝对值不等式可以通过讨论绝对值内代数式值的正负来去掉绝对值符号，从而化简为一次不等式，求出对应解集即可. 【详解】当时，原不等式化简为,不合题意； 当时，原不等式化简为，符合题意； 当时，原不等式化简为，不合题意； 综上所述：. 故答案为：. 8. 已知集合，且，则实数的值为___________. 【答案】或0. 【解析】 【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案. 【详解】若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去 若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去； 故答案为：或0. 【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题. 9. 如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为关于的不等式对一切实数恒成立， 当，即时，显然恒成立； 当，则，解得； 综上可得； 故答案为： 10. 若集合，，若集合M满足，则这样的集合M的个数是______. 【答案】15 【解析】 【分析】根据集合的包含关系确定集合中的元素，从而得集合的个数． 【详解】因为，，， 所以中必含有元素1和2，元素3，4，5，6中至少含有一个，这样的有个. 故答案为：15. 11. 设，是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由韦达定理得，，然后化简求解即可. 【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可知，. 则 . 故答案为：. 12. 记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 二、选择题（13-16每题4分，共16分） 13. 设甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件概念求解即可. 【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙， 因为丙是乙的充要条件，所以丙乙，即甲丙， 又因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁， 所以甲丁，即丁是甲的必要不充分条件. 故选：B 14. 如图，U是全集，A、B、C是U的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图像可知阴影部分为集合B在集合A中的补集与集合C的交集，或集合B在全集中的补集与集合A的交集，再与集合C取交集. 【详解】由图像可知：集合B在全集中的补集与集合A的交集，再与集合C取交集， 用符号可表示为：. 故选B. 【点睛】本题考查由韦恩图判断集合的关系，本题阴影部分有多种表示方法，可根据选项进行分析逐个判断即可. 15. 如果，那么下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论． 【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确． 可得，，，故B不正确． 可得，，，故C不正确． 故选：D． 16. 设集合，，若，则对应的实数对有（ ） A. 无数对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值解出集合，再由得到，或，或，然后由元素的互异性讨论即可； 【详解】由得，所以， 因为，所以，或，或， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 当时，则或-3， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 综上，共有4对， 故选：D. 三、解答题 17. 已知，，用表示. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用对数的运算，即可求解. 【详解】因为，又，， 所以. 18. 设，证明：“”不是“”的必要条件. 【答案】证明：假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义结合集合间的基本关系，根据反证法计算即可. 【详解】略 19. 解关于的不等式：. 【答案】当时，原不等式解集为或， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为. 【解析】 【分析】先将原不等式化为右边为零的形式，再转化成整式不等式，对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集. 【详解】由，得到，等价于且， 当时，解得或，当时，解得， 当，即时，，当，即时，， 当，即时，， 综上所述，当时，原不等式解集为或， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为. 20. 王老师和高老师一起去粮店打酱油共三次，王老师每次打100元酱油，高老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，一斤的价格分别为元、元、元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低是哪位老师？请说明理由.（即提炼关键不等式，并证明） 【答案】王老师，理由的关键不等式为． 【解析】 【分析】根据题意分别算出高老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可. 【详解】王老师的平均价格为， 高老师的平均价格为， 于是有： 因为每次打的酱油价格都不相同，所以互不相等， 所以， 即， 所以王老师的平均价格更低. 故平均价格较低是王老师， 理由的关键不等式为． 21. 设a，b都是正数. （1）证明：； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）证明：由于a，b都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法，并结合基本不等式比较大小； （2）化简，结合已知，采用乘“1”的方法求最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $