精品解析：江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高一上学期十月检测数学卷

江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高一上学期十月检测数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 2. 若存在量词命题“，”，则其否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 下列等式中成立的个数是（ ） ①（且）；②（为大于的奇数）；③（为大于零的偶数）. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，若存在区间，使得满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A. B. C. D. 10. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 11. 已知函数，则（ ） A. 若的定义域为R，则a的取值范围是 B. 若的值域为，则a的取值范围是 C. 若，则的单调递增区间是 D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是______． 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 14. 若代数式有意义，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设全集，集合， （1）若，求集合； （2）若，求实数a的取值范围. 16. 命题或；命题. （1）若时，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若是的充要条件，求出实数的值. 17. 若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. （1）试判断的奇偶性； （2）若当时，，求的解析式； （3）在条件（2）前提下，解不等式. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数在上的值域； （2）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数 （1）当时， 证明: 为奇函数; （2）当时， 函数在上的值域为 求a的取值范围： （3）当时， 证明: 为中心对称函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市广丰新实中学2024-2025学年高一上学期十月检测数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】. 故选：B 2. 若存在量词命题“，”，则其否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出给定命题的否定即可求解. 【详解】因为存在量词命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3. 已知 则 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】运用基本不等式，通过已知条件进行变形，构造基本不等式求最值即可. 【详解】， 因为，，，且， 则，则， 由于，当且仅当，时取等号. 则，当且仅当时取等号， 则的最小值为3. 故选：B. 4. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和常值代换法求得的最小值，依题得到不等式，解之即得. 【详解】因，由 ，当且仅当时取等号， 即当时，取得最小值6. 因不等式恒成立，故， 即，解得. 故选：C. 5. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据换元法，设，得，代入即可求解． 【详解】设，则， 所以， 所以， 故选：D． 6. 函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的对称性，结合函数周期的定义进行求解即可. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称，即， 即函数是奇函数，则有， 又因为，所以， 即，所以函数的周期为， 所以. 故选：A 7. 下列等式中成立的个数是（ ） ①（且）；②（为大于的奇数）；③（为大于零的偶数）. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】利用次方根的定义判断可得出合适的选项. 【详解】对于①，当且时，，①对； 对于②，当为大于的奇数时，，②对； 对于③，当为大于零的偶数时，，③对. 故选：D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，判断其奇偶性以及单调性，将化为，利用函数的单调性即可求解. 【详解】设，， ， ，即， 设 ， 由于，故，故， 则，故为奇函数，且在R上单调递增， 则， 即， 故，解得． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，若存在区间，使得满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据“倍值区间”的定义分别判断各选项. 【详解】根据题意，函数中存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，其次有或， 依次分析选项： 对于A，，在区间在上是增函数，其值域是，则区间为函数的“倍值区间”； 对于B，，在区间上是增函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”； 对于C，，在区间上是减函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”； 对于D，，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若函数存在倍值区间，则有或， 对于，有，解可得，不符合题意， 对于，有，变形可得且，必有，不符合题意， 故当时，不存在“倍值区间”；同理可得当时，不存在“倍值区间”， 故在定义域内不存在“倍值区间”， 故选：ABC. 10. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，赋值令，求解；对于B，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C,赋值令，再令，再变形即可；对于D，赋值令，结合时，，举反例可解. 【详解】令，得到，则.故A错误. 令，得到， 则， 则或, 由于当时，，则此时， 故时，，故时，，所以， 而，故对任意恒成立，则关于对称. 可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 则的图象关于点对称，故B正确. 令，得到， 则. 令，得到 令，得到， 两式相减得， 变形， 即, 时，，两边除以， 即，故C正确. 令，则， 时，，则， 且，则，即.故D错误. 故选：BC. 【点睛】难点点睛：解答此类有关函数性质的题目，难点在于要结合抽象函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 11. 已知函数，则（ ） A. 若的定义域为R，则a的取值范围是 B. 若的值域为，则a的取值范围是 C. 若，则的单调递增区间是 D. 若，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】首先化简根式内得，由含根式函数的定义域结合指数运算即可判断A；由值域为R，可得，则B可判断；由复合函数的单调性结合根式的定义域即可判断C；化简可得，结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，因为， 若的定义域为R，则，，A正确； 对于B，若的值域为，则，，B错误； 对于C，令，由得， 由复合函数的单调性知的单调递增区间是，C正确； 对于D，由及， 可得，， 又，所以，，D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得，利用基本不等式可得的最小值为3，故，从而可得的取值范围. 【详解】因为不等式的解集为或，则， 且关于x的方程的两根分别为1、3， 由韦达定理可得，可得，由，可得， ，故， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为3， 因为恒成立，则，即，解得． 因此，实数k的取值范围是． 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 14. 若代数式有意义，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】由二次根式有意义得到的取值范围，化简所求代数值，由的取值范围去掉绝对值符号即可得到解. 【详解】由题意可知：，∴ ∴ 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设全集，集合， （1）若，求集合； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再求即可； （2）分和两种情况求解即可 【小问1详解】 解：当时，； 或，又因为， 所以 【小问2详解】 解：由题意知，需分为和两种情形进行讨论： 当时，即，解得，此时符合， 当时，因为， 所以或，解之得. 综上所述， a的取值范围为 16. 命题或；命题. （1）若时，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若是的充要条件，求出实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式结合解一元二次不等式，即可得答案. （2）由是的充要条件，可知3和2是方程的两个根，利用韦达定理即可求得答案. 【小问1详解】 若时，在上恒成立， ，即， 【小问2详解】 若是的充要条件，则3和2是方程的两个根， 由韦达定理知， 解之得. 17. 若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. （1）试判断的奇偶性； （2）若当时，，求的解析式； （3）在条件（2）前提下，解不等式. 【答案】（1）为奇函数 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用已知求出，可得，即可证出； （2）先利用奇函数性质求出时，，再结合已知和，即可求解析式； （3）作出函数的图象，利用图象得是定义在上的增函数，将不等式转化为，再利用的单调性可得，解一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 为奇函数， 理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得，所以对任意恒成立， 所以为奇函数， 【小问2详解】 由题知当时，， 则时，， 又， 所以. 【小问3详解】 作出函数的图象，如下图所示： 由图可知，是定义在上的增函数， 因为，所以， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数在上的值域； （2）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义与，求出参数，再判断单调性，然后求解即可； （2）将“若对任意的，对任意的，使得成立”转化为“当时，恒成立”然后分类讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意：， 所以解得. 又， 解得， 所以， 设， 则， 因为，所以，，， 所以即. 所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为：. 【小问2详解】 问题转化为，当时，恒成立. 若，则在上为增函数，由， 若，则，此时在上恒成立. 若，则在上为减函数，由， 综上可知：.即实数的取值范围是：. 19. 已知函数 （1）当时， 证明: 为奇函数; （2）当时， 函数在上的值域为 求a的取值范围： （3）当时， 证明: 为中心对称函数. 【答案】（1） 因为，所以， 由，得函数的定义域为， 又， 所以函数为定义域上的奇函数. （2） （3） 当时，， . 所以关于中心对称. 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明； （2）先应用单调性得出相等关系，在结合值域的求法得出参数范围； （3）应用函数对称中心定义证明函数中心对称. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，是单调增函数， 在上的值域为， 所以 则是的两个解，可得， 设， 在和单调递减，单调递增， 其中，在上值域， 在上值域且取该区间最大值， 综上，数形结合易得. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：应用函数对称中心定义证明函数中心对称，根据奇函数定义证明函数是奇函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $