精品解析：内蒙古呼和浩特市第二中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

呼市二中初中部2024-2025学年度第一学期九年级第一次月考 数学试卷 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键． 2. 方程的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】将原方程整理为一般形式，然后根据一元二次方程的根的判别式分析判断即可． 【详解】解：将方程整理为一般形式， 可得， ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了判断一元二次方程的根的情况，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 3. 若是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，把代入方程得到，再把代入代数式即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设矩形田地的长为步，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，设矩形田地的长为步，则宽为步，由矩形的面积长宽，即可得出关于的一元二次方程，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的面积，根据矩形的面积公式，列出关于的一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设矩形田地的长为 步，则宽为步， ∵一块矩形田地的面积为864平方步， 根据题意得：， 故选：A． 5. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方程有实数根求参数范围，涉及一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系等知识，根据一元二次方程定义，得，再由一元二次方程根的情况与判别式关系列不等式求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 当时，则，解得； 综上所述，的取值范围是且， 故选：A． 6. 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系；先解方程，进而根据三角形的三边关系取舍即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或， 的第三边为或， 但当第三边为时，，不满足三角形三边关系， 的第三边长为， 的周长为． 故选：A． 7. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当x>1时，y随x的增大而减小 C. 当x<1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=－1 【答案】C 【解析】 【分析】把二次函数化为顶点式的形式，根据二次函数的性质进行解答． 【详解】解：二次函数， A、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误，不符合题意； B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故本选项错误，不符合题意； C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确； D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题二次函数图象的性质，掌握将二次函数交点式化为顶点式，并结合二次函数图象分析性质是解题关键． 8. 把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣3x+5，则（ ） A. b=3，c=7 B. b=6，c=3 C. b=﹣9，c=﹣5 D. b=﹣9，c=21 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数图象的平移法则为：上加下减，左加右减． 本题需要将后面的解析式化成顶点式，然后向左平移3个单位，再向上平移2个单位． 【详解】 向左平移3个单位，再向上平移2个单位后为 ∴b=3，c=7 故选A． 考点：函数图形的平移 9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①、同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，的值只能取．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，利用抛物线开口方向得到，抛物线对称轴在轴右侧，得到，则，即可判断①；抛物线与轴的交点为，，得到抛物线的对称轴为直线，则当和时，函数值相等，，即可判断②③；由抛物线对称性可知当时，，即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴右侧， ， ， 、异号，故①错误； 抛物线与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为直线， 当和时，函数值相等，，故②正确； ∵， ，故③正确； 抛物线与轴的交点为，对称轴为直线， 当时，，故④错误； 故选B． 10. 设、为常数，且，抛物线为下列图形之一，则a的值为（ ） A. 6或﹣1 B. ﹣6或 1 C. 6 D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】本题二次函数图象问题，能够正确理解与在二次函数中代表的意义是解题关键； 先通过图形的特征定位到第4个图形是正确的，然后再通过函数过原点求出的值即可． 【详解】解：如图所示：从左起第1，2个图形对称轴为y轴，则，故与已知矛盾，故第1，2个图形不是正确图形， 又∵第3个图中开口向上，所以，且对称轴在轴的右边，此时，与已知矛盾，故第3个图形不是正确图形， 在第4个图形中，开口向下，故，同时对称轴在轴的右边，此时，与已知符合，故第4个图形是正确图形， 此时图象过原点，则， 故， 解得：或． 又， ∴． 故选D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点，在二次函数的图象上，则__________．（填“”，“”或“”） 【答案】 < 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．将两个点分别代入二次函数的解析式求出，的值，比较大小即可得． 【详解】解：将点代入得：， 将点代入得：， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得出p、q的值，据此可得答案． 【详解】解：∵-6x+1=0， ∴-6x=-1， ∴-6x+9=-1+9，即， ∴p=-3，q=-8， 则p+q=-3-8=-11， 故答案为：-11． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 13. 关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为－1、4，则p＋q的值为_____． 【答案】-7 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到-1＋4＝−p，-1×4＝q，然后解方程即可得到p和q的值，即可得到结论． 【详解】根据题意得-1＋4＝−p，-1×4＝q， 所以p＝−3，q＝-4． 故p＋q＝−7， 故填：-7. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝． 14. 如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度是________米． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，把代入函数解析式，即可解答． 【详解】解：水面宽为12米， 点的横坐标为6， 把把代入函数解析式，可得： ， 故水面离桥顶的高度为米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，结合图形是解题的关键． 15. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 16. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，0）和点（0，-3），且顶点在第四象限．设m=a+b+c，则m的取值范围是__________． 【答案】-6<m<0 【解析】 【详解】抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，0）和点（0，-3）, ， a-b=3,c=-3. 顶点在第四象限，,a>0, , <0, , , ， , 把a-b=3,c=-3.代入m=a+b+c， , . 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查主要了解一元二次方程，选择合适的方法解方程即可． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． （3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴,， ∴， 解得：， 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得： 四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知关于的一元二次方程： （1）求证：不论为何实数，方程总有实数根． （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴不论为何实数，一元二次方程总有实数根； （2）菱形的面积是 【解析】 【分析】（1）先计算判别式的值，再利用配方法得到，则，然后根据判别式的意义可得到结论； （2）当时，方程为，设方程的两根分别为，，则根据根与系数关系可得，然后根据菱形的面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，方程为， 设方程的两根分别为，， 由根与系数关系可得， ∴． ∴菱形的面积是． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式和菱形面积的计算． 19. 如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1200m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为50m，宽为40m． （1）求通道的宽度； （2）某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】（1）5m，（2）20% 【解析】 【分析】（1）设通道的宽度为x米．由题意（50﹣2x）（40﹣2x）＝1200，解方程即可； （2）可先列出第一次降价后承包金额的代数式，再根据第一次的承包金额列出第二次降价的承包金额的代数式，然后令它等于51.2即可列出方程． 【详解】（1）设通道宽度为xm， 依题意得（50﹣2x）（40﹣2x）＝1200，即x2﹣50x+225＝0 解得x1＝5，x2＝40（舍去） 答：通道的宽度为5m． （2）设每次降价的百分率为x， 依题意得80（1﹣x）2＝51.2 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去） 答：每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，正确列出关系式是解题的关键. 20. 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为C． （1）求A，B两点的坐标； （2）若将该抛物线向上平移t个单位后，它与x轴恰好只有一个交点，求t的值． 【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）t＝4． 【解析】 【分析】（1）通过解方程x2-2x-3=0得A点坐标和B点坐标； （2）利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为y=x2-2x-3+t，利用判别式的意义得到△=（-2）2-4（-3+t）=0，然后解关于t的方程即可． 【详解】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1， 所以A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（3，0）； （2）抛物线y＝x2﹣2x﹣3向上平移t个单位后所得抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3+t， 则△＝（﹣2）2﹣4（﹣3+t）＝0， 解得t＝4． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价元时，每天可销售___________件，每件盈利___________元；（用的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元； （3）定价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）， （2）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元 （3）当定价为105元时，每天的利润最大，最大利润是1250元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）根据“如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”即可得出降价后每天销售件数；根据每件盈利=每件售价每件成本，即可解得； （2）根据总利润单件利润数量，列出方程求解即可； （3）设每天的利润为w元，根据总利润单件利润数量，列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：如果每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 整理得， 解得：， ∵为了扩大销售量，尽快减少库存， ∴， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 【小问3详解】 解：设每天的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为1250， ∴此时， ∴当定价为105元时，每天的利润最大，最大利润是1250元． 22. 已知函数（，为常数）的图象经过点． （1）求，满足的关系式； （2）求函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）； （3）若时且该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象，采用数形结合及分类讨论的思想解题是关键． （1）将点代入，即可求解； （2）根据顶点坐标公式可得答案； （3），对称轴是直线，开口向上，再分别求得当，，时的函数值，分五种情况得到函数的最大值与最小值，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得， 故b，c满足的关系式为； 【小问2详解】 解：∵顶点横坐标，顶点纵坐标， ∴顶点坐标； 【小问3详解】 解：， 该二次函数图象的对称轴是直线， ， 该二次函数的开口向上， 当时， ， 当时， ， 当时，， 当时，则（不符合题意，舍去）； 当，即时， 时y取最大值，时取最小值， 得， 解得(舍去)； 当，即时，与时的函数值相等， 此时，，，（不符合题意，舍去）； 当，即时， 时y取最大值，时取最小值， ， 解得或（不符合题意，舍去）； 当，即时， 时y最大值，时取最小值， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 当时，不经过第三象限，符合题意， 当时，不经过第三象限，符合题意， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼市二中初中部2024-2025学年度第一学期九年级第一次月考 数学试卷 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 3. 若是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 4. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设矩形田地的长为步，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 7 7. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当x>1时，y随x的增大而减小 C. 当x<1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=－1 8. 把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣3x+5，则（ ） A. b=3，c=7 B. b=6，c=3 C. b=﹣9，c=﹣5 D. b=﹣9，c=21 9. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①、同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，的值只能取．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 设、为常数，且，抛物线为下列图形之一，则a的值为（ ） A. 6或﹣1 B. ﹣6或 1 C. 6 D. ﹣1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点，在二次函数的图象上，则__________．（填“”，“”或“”） 12. 若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为______． 13. 关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为－1、4，则p＋q的值为_____． 14. 如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度是________米． 15. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 16. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，0）和点（0，-3），且顶点在第四象限．设m=a+b+c，则m的取值范围是__________． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）. 四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知关于的一元二次方程： （1）求证：不论为何实数，方程总有实数根． （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 19. 如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1200m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为50m，宽为40m． （1）求通道的宽度； （2）某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 20. 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为C． （1）求A，B两点的坐标； （2）若将该抛物线向上平移t个单位后，它与x轴恰好只有一个交点，求t的值． 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价元时，每天可销售___________件，每件盈利___________元；（用的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元； （3）定价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 已知函数（，为常数）的图象经过点． （1）求，满足的关系式； （2）求函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）； （3）若时且该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $