精品解析：重庆市渝东九校联盟2024-2025学年高一上学期10月联合性诊断测试数学试题

渝东九校联盟高2027届（高一上）10月联合性诊断测试 数学试题 考试时间：120分 总分：150 难度系数：0.55 命题学校：梁平一中 涪陵高中 长寿一中 审题人：温学靖 刘小波 陈艳勤 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在给出的4个选项中只有一个正确的选项，请将正确选项填入后面的答题卡中． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 集合，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，则有（ ） A. B. C. D. . 6. ，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如，，求证． 证明：． 结合阅读材料解答下列问题：已知，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 某班共有20人参加三个社团，其中参加篮球社的有12人，羽毛球社的有11人，乒乓球社的有10人，已知其中至少有4人同时参加了三个社团，则只同时参加了两个社团的人数不可能为（ ）人 A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中有多个正确选项，全选对得6分，部分答对得部分分，选错不得分． 9. 已知集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题；本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在时取得最小值，则___________________． 13. 定义集合运算，若集合，，则集合所有元素之和为______． 14. 已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为__________；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15. 已知，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知，且，试比较与的大小． （2）已知，求的取值范围． 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 18. 如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. （1）若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? （2）若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 19. 已知. （1）若，求实数的取值范围; （2）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝东九校联盟高2027届（高一上）10月联合性诊断测试 数学试题 考试时间：120分 总分：150 难度系数：0.55 命题学校：梁平一中 涪陵高中 长寿一中 审题人：温学靖 刘小波 陈艳勤 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在给出的4个选项中只有一个正确的选项，请将正确选项填入后面的答题卡中． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由并集定义直接计算即可得解. 【详解】由题得. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定可得否定命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为：B. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确. 【详解】若，，则，，则A、B错误； 若，，则，则C错误； ，，又，，则D正确. 故选：D. 4. 集合，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次方程求出两个集合，再利用充分不必要条件的定义求解即可. 【详解】令，解得，所以， 令，解得或，所以， 当时，一定成立，故充分性成立， 当时，不一定成立，故必要性不成立， 即”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A 5. 设，，则有（ ） A. B. C. D. . 【答案】C 【解析】 【分析】由作差法判断两式大小. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：C. 6. ，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两个集合相等，则元素相同，据此分类讨论求解即可. 【详解】由题意，或，∴或， 由集合元素互异性可知， 则实数的取值集合为. 故选：A. 7. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如，，求证． 证明：． 结合阅读材料解答下列问题：已知，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据材料，将2换成，约分后，求和即可. 【详解】因为，所以， 故选：B. 8. 某班共有20人参加三个社团，其中参加篮球社的有12人，羽毛球社的有11人，乒乓球社的有10人，已知其中至少有4人同时参加了三个社团，则只同时参加了两个社团的人数不可能为（ ）人 A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由题意作出Venn图，结合Venn图能表达出只同时参加了两个社团的人数，进而得解. 【详解】 设同时参加篮球社和羽毛球社的人数为人，设同时参加篮球社和乒乓球社的人数为人，设同时参加乒乓球社和羽毛球社的人数为人，只同时参加了三个社团的人数为人； 则， 则； 因为，所以， 所以只同时参加了两个社团的人数不可能为7人. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中有多个正确选项，全选对得6分，部分答对得部分分，选错不得分． 9. 已知集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用集合与集合间的关系，元素和集合间的关系逐个选项判断求解即可. 【详解】由元素和集合的关系得，成立，故A错误，B正确，D错误， 而空集是任何集合的子集，故成立，即C正确. 故选：BC 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题；本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在时取得最小值，则___________________． 【答案】9 【解析】 【分析】由题设知，当时有，即有，即可求a值. 【详解】∵， ∴当且仅当时等号成立， 又∵在时取得最小值， ∴，即. 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：利用对勾函数，结合基本不等式求的最小值并确定此时的值，根据题设已知条件求参数值. 13. 定义集合运算，若集合，，则集合所有元素之和为______． 【答案】30 【解析】 【分析】根据新定义确定集合中元素，即可得解. 【详解】由题意，的取值分别为， 故， 所以所有元素之和为. 故答案为：30 14. 已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为__________；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为__________． 【答案】 ①. 2（答案不唯一，另两个值为、） ②. 【解析】 【分析】由方程根的情况求出值即可；由并集的元素个数，分类求解即得. 【详解】由，得或， 由集合A只有两个元素，得： ①方程有两个相等的实根，且该实根不为3， 因此，解得，此时方程的根为1或，符合题意， 所以，取； ②方程有一个实根为3，另一实根不为3， 此时，，此时方程的另一实根为，符合题意； 所以或； 由集合C有8个子集，得集合中有3个元素，而，， 则或或或， 当时，方程无实根，，解得， 当时，方程有两个相等的实根1，则， 当时，方程有两个相等的实根4， 而方程有实根时，两根之积为1，因此无解， 当时，方程的两根分别为，同上无解， 实数a的取值范围为. 故答案为：2； 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15. 已知，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由子集定义得，解该不等式组即可得解. （2）先由题意得，分和两种情况分析计算即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，故. 【小问2详解】 若，则. 当即时，，符合题意. 当时，要使，则，无解. 综上，若，则实数的取值范围为. 16. （1）已知，且，试比较与的大小． （2）已知，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用不等式的基本性质，即可求解. 【详解】（1）解：由， 因为且，所以， 又因为，所以且， 所以，所以. （2）解：由，可得， 根据不等式的基本性质，可得，即的取值范围为； 因为，可得，由，得，则，解得， 所以的取值范围为. 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 18. 如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. （1）若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? （2）若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 【答案】（1）规划时，面积最少 （2）步道至少有7米. 【解析】 【分析】（1）根据条件建立建造费用的等量关系，消元转化并由基本不等式计算即可； （2）根据条件建立建造费用的等量关系，分解因式配凑定值由基本不等式计算即可. 【小问1详解】 根据题意建造健身步道的费用为，内部的建造费用为， 即，所以有， 而公园占地面积 ， 当且仅当时取得等号， 所以规划时占地面积最少； 【小问2详解】 根据题意有：，即， 而， 当且仅当，即时取得等号. 所以规划时，即步道至少为7米. 19. 已知. （1）若，求实数的取值范围; （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由交集为空集得到一元二次方程无解，再由判别式小于等于零可解出； （2）分和时，分别求出的范围，注意时中的点都在集合中，即可解出； 【小问1详解】 由得，① 因为， 所以①的，解得， 所以实数的取值范围为， 【小问2详解】 ①若，由（1）可得， ②若，且其中的点都在集合中，也符合题意， 此时，联立，得，且， 解得， 将代入中，整理可得， 令，整理得，解得， 同理，把代入，得， 令，整理并化简可得，所以， 综上，实数的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $