甘肃省平凉市第十中学等四校联考2024-2025学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

( 学校 班级 姓名 考号 考 场 座位号 ) ( ______________ ____________ ______________ _________ __ ________ ___ _ ______ ) ( 10.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h （ m ）与飞行时间 t （ s ）满足函数表达式 h = ﹣ t 2 +24 t +1．则下列说法中正确的是 ( ) A ．点火后 9 s 和点火后 13 s 的升空高度相同 B ．点火后 24 s 火箭落于地面 C ．点火后 10 s 的升空高度为 139 m D ．火箭 升空的最大高度为 145 m 二、 填空题 （本题共计 6 小题，每题 4 分，共计 24 分） 11. 将一元二次方程 x 2 ﹣6 x +10＝0 化成（ x ﹣ a ） 2 ＝ b 的形式，则 b 的值为 . 12. 将二次函数 y ＝ x 2 +3 x ﹣ 化为 y ＝ a （ x ﹣ h ） 2 + k 的形式，其结果是 . 13.春节时，某班一个小组有 x 人，他们每两人之间互送贺卡一张， 已知全组共送贺卡 110 ) 2024-2025 学年度第一学期期中质量检测试卷 九年级 数学 一、 选择题 （本题共计 10 小题，每题 3 分，共计 30 分.） 1.关于 x 的方程（m﹣ 1）x2+2mx ﹣3＝0 是一元二次方程，则 m 的取值是 ( ) A ．任意实数 B ．m ≠1 C ．m ≠﹣ 1 D ．m ＞1 2.一元二次方程 x2+kx-3=0 的一个根是 x=1，则另一个根是 ( ) A ．3 B ．-1 C ．-3 D ．-2 3.一元二次方程(m-2)x2-4mx+2m-6=0 只有一个实数根，则 m 等于 ( ) ( 张，则可列方程为 . 14.如图，这是二次函数 y ＝ x 2 ﹣2 x ﹣3 的图 象，根据图象可知， 函数值小于 0 时 x 的取值范围为 . 15.已知 x 1 ， x 2 是方程 x 2 ﹣3 x +1 ＝0 的两个实数根，则 + = . 16.二次函数 y ＝ ax 2 + bx + c 的图象如图所示 ， 以下结论：① abc ＞0； ②4 ac ＜ b 2 ；③2 a + b ＞0；④其顶点坐标 为 ( , ﹣2 ）； ⑤当 x ＜ 时， y 随 x 的增大而减小；⑥ a + b + c ＞0 中， 正确的有 ．（ 只填序号） 三、 解答题（共 6 小题，共计 44 分.） )A ．1 或-6 B ．-6 C ．1 D ．2 4.下列函数中，二次函数是 ( ) A．y = ﹣4x+5 B．y ＝x（2x ﹣3） C．y ＝（x+4）2﹣x2 D．y = 5.抛物线y ＝x2+1 的对称轴是 ( ) A ．直线 x = ﹣ 1 B ．直线 x ＝1 C ．直线 x ＝0 D ．直线 x ＝2 6.某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有 36 场比赛，则参加的队数为 ( ) A ．8 支 B ．9 支 C ．10 支 D ．11 支 7. 一元二次方程 x2+ x﹣ 1＝0 的根是 ( ) ( 17. (本题 6 分) 解方程(1) 2( x ﹣3)＝3 x ( x ﹣3) (2)2 x 2 ﹣ x ﹣3＝0. )A ．x ＝1﹣ B ．x ＝ C ．x = ﹣ 1+ D ．x = ( 18. (本题 6 分) 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感．求每轮传染中平均 一个人传染了几个人？ 19. (本题 6 分) 已知抛物线的顶点为(0，4)，与 x 轴交于点(﹣2，0)，求抛物线的解 析式. 20. (本题 8 分)已知：关于 x 的一元二次方程 x 2 ﹣（ k +3） x +2 k +2＝0. （1）求证：方程总有两个实数根 ；（ 2）若方程有一个根小于 0，求 k 的取值范围. 第 2页（共 4页） )8.将抛物线 y＝x2+2x﹣3 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线 的解析式是 ( ) A．y ＝（x﹣ 1）2﹣ 1 B．y ＝（x+3）2﹣ 1 C．y ＝（x﹣ 1）2 ﹣7 D．y ＝（x+3）2 ﹣7 9. 已知二次函数y ＝（2﹣a）x a2-3 ，在其图象对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，则 a 的 值为 ( ) A ． B . ± C . ﹣ D ．0 第 1页（共 4页） 21. (本题 10 分)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花 园 ABCD(围墙 MN 最长可利用 25 m)，现在已备足可以砌 50 m 长的墙的材料， 当矩形花园 的面积为 300 m2 时，求 AB 的长. 22. (本题 10 分)某超市销售一种水果，进价为每箱 40 元，规定售价不低于进价．现在的售 价为每箱 72 元，每月可销售 60 箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低 2 元， 则每月的销量将增加 10 箱，设每箱水果降价 x 元（x 为偶数），每月的销量为y 箱. （1）写出y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围. （2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用 500 元，则如何定价才能使每月销售水果 的利润最大？最大利润是多少元？ 四、 解答题（共 5 小题，共计 52 分.） 23. (本题 8 分)已知二次函数y ＝ax2+bx+c 中， 函数y 与 自变量 x 的部分对应值如下表： x … ﹣ 1 0 1 2 4 … y … 10 1 ﹣2 1 25 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）写出这个二次函数图象的顶点坐标. 24.（本题 10 分）是否存在某个实数 m ，使得方程 x2+mx+2＝0 和 x2+2x+m ＝0 有且只有一个 公共的实根？如果存在，求出这个实数 m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由. 25.（本题 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线 x=1 的抛 物线y=﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B ，与y 轴交于点 C ，且点 B 的坐标为 ( ﹣ 1，0）. （1）求抛物线的解析式并作出函数图象； （2）点 D 的坐标为（0，1），点 P 是抛物线上的动点，若△PCD 是以 CD 为底的等腰三角 形，求点 P 的坐标. 26.（本题 10 分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 46 000 米 2 ，施工队在绿化了 22 000 米 2 后，将每天的工作量增加为原来的 1.5 倍，结果提前 4 天完成了该项绿化工程. (1)该项绿化工程原计划每天完成多少米 2? (2)该项绿化工程中有一块长为 20 米，宽为 8 米的矩形空地，计划在其中修建 两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 56 米 2 ，两块绿地之间及周边留有 宽度相等的人行通道(如图所示)， 问人行通道的宽度是多少米？ 27.（本题 12 分）如图， 已知抛物线y= - x2+bx+4 与 x 轴相交于 A 、B 两点，与y 轴相交 于点 C ，若已知 A 点的坐标为 A ( ﹣2，0）. （1）求抛物线的解析式及它的对称轴； （2）求点 C 的坐标，连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件 的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 第 3页（共 4页） 第 4页（共 4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 4页） 第 2页（共 4页） 学 校 __ __ __ __ __ __ _班 级 __ __ __ __ __ _姓 名 __ __ __ __ __ __ _考 号 __ __ __ __ _考 场 __ __ __ __ __ 座 位 号 __ _ __ __ __ _ 2024-2025 学年度第一学期期中质量检测试卷 九年级 数学 一、 选择题 （本题共计 10 小题，每题 3分，共计 30 分.） 1.关于 x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0 是一元二次方程，则 m的取值是（ ） A．任意实数 B．m ≠1 C．m ≠﹣1 D．m ＞1 2.一元二次方程 x2+kx-3=0 的一个根是 x=1，则另一个根是 （ ） A．3 B．-1 C．-3 D．-2 3.一元二次方程(m-2)x2-4mx+2m-6=0 只有一个实数根，则 m等于（ ） A．1 或-6 B．-6 C．1 D．2 4.下列函数中，二次函数是（ ） A．y＝﹣4x+5 B．y＝x（2x﹣3） C．y＝（x+4）2﹣x2 D．y＝ 5.抛物线 y＝x2+1 的对称轴是（ ） A．直线 x＝﹣1 B．直线 x＝1 C．直线 x＝0 D．直线 x＝2 6.某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有 36 场比赛，则参加的队数为（ ） A．8支 B．9 支 C．10 支 D．11 支 7. 一元二次方程 x2+ x﹣1＝0的根是（ ） A．x＝1﹣ B．x＝ C．x＝﹣1+ D．x＝ 8.将抛物线 y＝x2+2x﹣3的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线 的解析式是（ ） A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x﹣1）2﹣7 D．y＝（x+3）2﹣7 9.已知二次函数 y＝（2﹣a）x a2-3，在其图象对称轴的左侧，y随 x的增大而减小，则 a的 值为（ ） A． B．± C．﹣ D．0 10.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式 h ＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ） A．点火后 9s和点火后 13s的升空高度相同 B．点火后 24s火箭落于地面 C．点火后 10s的升空高度为 139m D．火箭升空的最大高度为 145m 二、 填空题 （本题共计 6小题，每题 4分，共计 24 分） 11. 将一元二次方程 x2﹣6x+10＝0 化成（x﹣a）2＝b的形式，则 b的值为 ． 12. 将二次函数 y＝ x2+3x﹣ 化为 y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果是 ． 13.春节时，某班一个小组有 x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡 110 张，则可列方程为 ． 14.如图，这是二次函数 y＝x2﹣2x﹣3 的图象，根据图象可知， 函数值小于 0 时 x的取值范围为 ． 15.已知 x1，x2是方程 x2﹣3x+1＝0 的两个实数根，则 ＝ ． 16.二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0； ②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（ ，﹣2）； ⑤当 x＜ 时，y随 x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中， 正确的有 ．（只填序号） 三、 解答题（共 6小题，共计 44 分.） 17.(本题 6 分) 解方程(1) 2(x﹣3)＝3x(x﹣3) (2)2x2﹣x﹣3＝0． 18.(本题 6 分) 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感．求每轮传染中平均 一个人传染了几个人？ 19.(本题 6 分) 已知抛物线的顶点为(0，4)，与 x轴交于点(﹣2，0)，求抛物线的解析式． 20.(本题 8 分)已知：关于 x的一元二次方程 x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于 0，求 k的取值范围． 21 11 xx  2 5 2 1 2 1 2 1 第 3页（共 4页） 第 4页（共 4页） 21.(本题 10 分)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花 园 ABCD(围墙 MN最长可利用 25 m)，现在已备足可以砌 50 m 长的墙的材料，当矩形花园 的面积为 300 m2时，求 AB的长． 22.(本题 10 分)某超市销售一种水果，进价为每箱 40 元，规定售价不低于进价．现在的售 价为每箱 72 元，每月可销售 60 箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低 2 元， 则每月的销量将增加 10 箱，设每箱水果降价 x元（x为偶数），每月的销量为 y箱． （1）写出 y与 x之间的函数关系式和自变量 x的取值范围． （2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用 500 元，则如何定价才能使每月销售水果 的利润最大？最大利润是多少元？ 四、 解答题（共 5小题，共计 52 分.） 23.(本题 8 分)已知二次函数 y＝ax2+bx+c中，函数 y与自变量 x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 4 … y … 10 1 ﹣2 1 25 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）写出这个二次函数图象的顶点坐标． 24.（本题 10 分）是否存在某个实数 m，使得方程 x2+mx+2＝0 和 x2+2x+m＝0 有且只有一个 公共的实根？如果存在，求出这个实数 m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由． 25.（本题 10 分）在平面直角坐标系 xOy中，对称轴为直线 x=1 的抛 物线 y=﹣x2+bx+c与 x轴交于点 A和点 B，与 y轴交于点 C，且点 B 的坐标为（﹣1，0）. （1）求抛物线的解析式并作出函数图象； （2）点 D的坐标为（0，1），点 P是抛物线上的动点，若△PCD是以 CD 为底的等腰三角 形，求点 P的坐标． 26.（本题 10 分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 46 000 米 2，施工队在绿化了 22 000 米 2后，将每天的工作量增加为原来的 1.5 倍，结果提前 4 天完成了该项绿化工程． (1)该项绿化工程原计划每天完成多少米 2? (2)该项绿化工程中有一块长为 20 米，宽为 8 米的矩形空地，计划在其中修建 两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 56 米 2，两块绿地之间及周边留有 宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？ 27.（本题 12 分）如图，已知抛物线 y= x2+bx+4 与 x轴相交于 A、B两点，与 y轴相交 于点 C，若已知 A点的坐标为 A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴； （2）求点 C的坐标，连接 AC、BC并求线段 BC所在直线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件 的 Q点坐标；若不存在，请说明理由． 4 1  九年级数学参考答案 1、 选择题 1-5 BCABC 6-10 BDBCD 2、 填空题 11. -1 12. y＝(x+3)2-7 13. x(x+3)=110 14. -1<x<3 15. 3 16. ①②③⑤ 3、 解答题 17. （1）x1＝3，x2＝； （2）x1＝，x2＝﹣1. 18.解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则 1＋x＋x(x＋1)＝64. 解得x1＝7，x2＝－9(舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．1 19.解：∵抛物线的顶点为（0，4）， ∴设抛物线的解析式为y＝ax2+4． 将（﹣2，0）代入y＝ax2+4，得： 4a+4＝0， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4． 20. （1）证明：∵△＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2） ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2） 解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝0， 即（x﹣2）[x﹣（k+1）]＝0， ∴x1＝2，x2＝k+1． ∵方程有一个根小于0， ∴k+1＜0， ∴k＜﹣1． 21.解：设AB为x m，则BC为(50－2x)m.根据题意，得 x(50－2x)＝300. 解得x1＝10，x2＝15. 当x＝10时，AD＝BC＝50－2x＝30>25，不合题意，舍去； 当x＝15时，AD＝BC＝50－2x＝20<25，符合题意. 答：AB的长15 m. 22.解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）； （2）设每月销售水果的利润为w， 则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500 ＝﹣5x2+100x+1420 ＝﹣5（x﹣10）2+1920， 当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元， 答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元． 4、 解答题 23.解：（1）把（0，1），（1，﹣2），（2，1）代入y＝ax2+bx+c得 ， 解得， 所以抛物线解析式为y＝3x2﹣6x+1； （2）y＝3（x2﹣2x）+1 ＝3（x2﹣2x+1﹣1）+1 ＝3（x﹣1）2﹣2， 所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）． 24.解：假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实数根为a，则 ①﹣②，得 a（m﹣2）+（2﹣m）＝0 （m﹣2）（a﹣1）＝0 ∴m＝2 或a＝1． 当m＝2时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故m＝2舍去； 当a＝1时，代入②得m＝﹣3， 把m＝﹣3代入已知方程，求出公共根为x＝1． 故实数m＝﹣3，两方程的公共根为x＝1． 25.解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，y=﹣x2+bx+c与x轴一个交点B(﹣1，0)， ∴由题意可求点A的坐标为（3，0）． 将点A（3，0）和点B（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c， 得 ， 解得， ∴抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3． ∴抛物线和y轴交点坐标为（0，3）， 函数图象如右图所示： （2）如右图， ∵点C的坐标为（0，3），点D（1，0）， ∴满足条件的点P的纵坐标为2． ∴﹣x2+2x+3=2． 解得 x1=1+ ，x2=1﹣ ， ∴点P的坐标为（1+ ，2）或（1﹣ ，2）． 26.解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成x米2， 根据题意，得 解得x＝2 000， 经检验，x＝2 000是原方程的解． 答：该绿化项目原计划每天完成2 000米2. (2)设人行通道的宽度为x米，根据题意，得 (20－3x)(8－2x)＝56. 解得x1＝2，x2＝(不合题意，舍去)． 答：人行通道的宽为2米． 27. 解：（1）∵抛物线y=- x2 +bx+4的图象经过点A（-2，0）， ∴- ×(-2)2+b×（-2）+4=0， 解得：b= ， ∴抛物线解析式为 y=- x2 + x+4， 又∵ y=- x2 + x+4=- (x-3) 2 + ， ∴对称轴为直线x=3． （2）y=- x2 + x+4中，令x=0，得y=4， ∴C（0，4）； 令y=0，即- x2 + x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x1=8，x2=-2， ∴A（-2，0），B（8，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b (k≠0) 把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得： ，解得 ， ∴直线BC的解析式为：y=− x+4． （3） 存在.理由如下： ∵抛物线的对称轴方程为：x=3， 可设点Q（3，t），则可求得： AC= ，AQ= ， CQ= ． ①当AQ=CQ时，有 = ， 25+t2 =(t-4)2+9， 解得t=0， ∴Q （3，0）； ②当AC=AQ时，有= 25+t2=20，此方程无实数根， ∴此时△ACQ不能构成等腰三角形； ③当AC=CQ时，有 = ， 整理得：t2 -8t+5=0， 解得：t1=4+ ，t2=4- . ∴点Q坐标为：Q（3，4+ ）或Q（3，4- ）． 综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为： Q1（3，0），Q2（3，4+ ），Q3（3，4- ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$