期中复习三角形、全等三角形及轴对称（前三章节）试卷2024-2025学年人教版数学八年级上册

2024-2025学年度人教版八年级上学期数学期中复习 三角形、全等三角形及轴对称（前三章节）试卷 一、单选题 1．下列长度的四根木棒中，能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了，他所应用的数学道理是（   ） A．两点确定一点直线 B．两点之间线段最短 C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性 3．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带④去 6．已知等腰三角形一边长等于4，另一边长等于9，则它的周长是（    ） A．13 B．17 C．22 D．17或22 7．如图，在中，若，，是的两条中线，则的周长是（　　） A．22 B．26 C．35 D．45 8．如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．10 C．6 D．3 10．如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 12．等腰直角在平面直角坐标系中如图所示，，，，，则点的坐标为 ． 13．如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 14．如图在中，是与的角平分线的交点，的延长线交于，且，则的度数为 ． 15．如图，和是分别沿着、边翻折形成的，若，则的度数为 度． 16．已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为 ． 17．蝴蝶标本通常用于收藏、研究和教育，在制作蝴蝶标本的过程中，首先要选择合适的采集地点和时间，避免对蝴蝶种群造成过度干扰或损害；其次要使用恰当的固定工具和脱水剂，确保蝴蝶姿势稳定且身体内的水分和脂肪得到充分去除．如图，小颖借助平面直角坐标系固定一个展翅蝴蝶标本，该蝴蝶标本可以近似的看作轴对称图形，若图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为，则的值为 ． 18．如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于、点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 三、解答题 19．如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若，交于点E，判断的形状，并说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中有三个点，，． (1)连接A、B、C三点，请在图中作出关于y轴对称的图形； (2)写出点的坐标并求的长度； (3)求的面积． 21．如图，在中，，，，垂足为，，垂足为，，，求的长． 22．如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 23．【教材呈现】 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：∵平分（已知）， ∴， 同理可得________． ∵（ ）， ∴（等式的性质）________． 【问题推广】 ° （1）如图1，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则________． 24．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点F，与直线交于点，求证：点是的中点． 25．在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，连接． ①若，求证：． ②当时，求的值 参考答案： 1．B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，设第三根木棒的长为，根据三角形三边关系分析即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为， 由三角形的三边关系可知，， 即， 故选：B． 2．D 【分析】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的知识． 根据三角形的稳定性进行解答． 【详解】解：给凳子加了两根木条之后形成了三角形， 所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性， 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，作一个角等于已知角的尺规作图，根据作图方法可得，则可依据证明，由全等三角形对应角相等可得，据此可得答案． 【详解】解：解：由作图知， ∴， ∴， ∴说明的依据是， 故选：A． 4．B 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，对顶角相等．根据三角形内角和定理可得，再根据对顶角相等，结合三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， 又∵，，， 又∵， ∴． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当腰为4时，，所以不能构成三角形； 当腰为9时，，，所以能构成三角形，周长是：． 故选：C 7．B 【分析】本题考查了三角形的中线的性质．先求得，得到，利用三角形中线的性质求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵是的两条中线， ∴，， ∴的周长是， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由角平分线的性质可以判断；证明可以判断；由同角的余角相等可以判断；由，根据全等三角形的性质可以判断；利用三角形面积和角平分线的性质可以判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴，故正确； 由得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 由得：， ∴， ∴平分，故正确； 由， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上正确，共个， 故选：． 9．B 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 是等边三角形，是边上的中线， ， 是的垂直平分线， 点关于的对应点为点， 就是的最小值． 是等边三角形，是边的中点， 是的中点， 是的中线， ， 即的最小值为， 故选：B． 10．C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，作轴于，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案．主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 【详解】解：作轴于，如图所示： ∵等腰、等腰， ∴， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又点的坐标为， ， ， 故选C． 11． 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、点坐标与图形，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∵轴轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 则点的坐标为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查三角形面积的求法，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是上的中线， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 14．/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，首先根据邻补角的概念求得：，再根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵D是与的角平分线的交点， ∴， ∴． 故答案为：． 15．80 【分析】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．根据三角形的内角和得出，，，再结合折叠的性质计算得，，，最后结合，即可作答． 【详解】解：如图： ∵， ∴设，，， 由得： ， 解得， 故，，， ∵和是分别沿着、边翻折形成的， ∴，， ∴， ∴， 故， 在与中，，， ∴， ∴． 故答案为： 16．5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先导角证明，再证明，得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，熟练掌握关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键；根据关于y轴对称的两点坐标的关系求解即可． 【详解】解：A，B关于y轴对称， ， ， 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；连接，由，点是边的中点可得 ，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点在上时，最小，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， 当点在上时，最小，最小值为的长， 的最小值为． 故答案为：． 19．(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理． （1）在中根据三角形三个内角的和是即可求出的度数； （2）先求出，结合（1）中的结论即可求出，从而判断出的形状． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：为直角三角形，理由如下： ∵，， ， 由（1）得， ， 为直角三角形． 20．(1)见解析 (2)8 (3)2.5 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）根据两点之间的距离解答即可； （3）利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， （2）解：点的坐标为，的长度； （3）解：的面积． 21． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质和线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．(1)全等；线段和线段垂直，理由见解析 (2)存在，或，使得与全等 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，在解题时注意分类讨论思想的运用． （1）利用证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）由，分两种情况：，，建立方程组求得答案即可． 【详解】（1）解：（1）与全等，线段和线段垂直．理由如下： 当时，， 又，即， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． ∴， 即线段和线段垂直． （2）存在，或，使得与全等． 理由：依题意得： ①若， 则， 则， 解得； ②若， 则， 则， 解得：， 综上所述，存在或，使得与全等． 23．25，三角形内角和定理，115；（1），（2）49 【分析】教材呈现：根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； 问题推广：（1）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （2）先根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出， 得出，根据，得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：教材呈现：∵平分（已知）， ∴， 同理可得， ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 问题推广：（1）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （2）平分，平分， ，， ，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 24．（1），；（2）或，（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）分两种情况讨论，当点A在第一象限时，：过作轴于，过作轴于，与相交于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，设，则，于是得到结论；当点A在第四象限时，同理可得答案； （3）作于，于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点是的中点． 【详解】解∶（1）∵， ∴，； 故答案为：，； （2）如图，当点A在第一象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 点的坐标； 如图，当点A在第四象限时，过作轴于，过作轴于，与相交于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 又此时点在第四象限，点的坐标， 综上所述，点的坐标为或 （3）如图，作于，于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点． 25．(1)证明过程见详解 (2)①证明过程见详解；②2 【分析】（1）由题意知，，，则，证明即可； （2）①由，可得，则，如图2，作于，于，由，可知，，则，即是的平分线，，，进而可证；②如图3，在上截取，使，证明，由，可得，进而可求，，然后计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， 如图2，作于，于，    ∵， ∴，， ∴，解得， ∵，， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②解：如图3，在上截取，使，    由①可知，是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$