第五章培优课03　平面向量奔驰定理与三角形四心问题 讲义——2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 培优课03　平面向量奔驰定理与三角形四心问题 一、 命题规律及备考策略 平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。 奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。 二、知识梳理 1. 奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 2. 奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 3. 奔驰定理的推论及四心问题 推论是内的一点,且,则 有此定理可得三角形四心向量式 重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1. 　　在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时，有＋＋＝0或＝（＋＋）（其中P为平面内任意一点）.反之，若＋＋＝0，则点G是△ABC的重心.在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则有x＝，y＝. 　外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等. 　　在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则（＋）·＝（＋）·＝（＋）·＝0或｜｜＝｜｜＝｜｜（或＝＝）；反之，若｜｜＝｜｜＝｜｜，则点O是△ABC的外心. 　垂心：三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边. 　　在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则·＝·＝·或＋＝＋＝＋.反之，若·＝·＝·，则H是△ABC的垂心. 　内心：三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）叫内心. 　　结论：O是△ABC的内心⇔·＝·＝·＝0. 注意：向量λ（λ≠0）所在直线过△ABC的内心（是∠BAC的平分线所在直线）. 4.小结： 1.三角形外心与垂心的向量关系及应用 设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是 ＝＋＋. 2.三角形外心与重心的向量关系及应用 设△ABC的外心为O，则点G为△ABC的重心的充要条件是＝（＋＋）. 3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 设△ABC的外心、重心、垂心分别为O，G，H，则O，G，H三点共线（O，G，H三点连线称为欧拉线），且OG＝GH. 5.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则；或 ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则，或 研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想. 三、课堂考点突破 考点一　三角形的“重心”与平面向量 　　 [例1]　已知△ABC内一点O满足关系＋2＋3＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB的值. [解]　延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，连接AB1，AC1，B1C1，B1C，如图所示， 则＝2，＝3，由条件，得＋＋＝0，所以点O是△AB1C1的重心.从而＝＝＝S，其中S表示△AB1C1的面积， 所以S△COA＝S，S△AOB＝S， S△BOC＝＝×＝S. 于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝∶∶＝1∶2∶3. 变式训练 1.已知点O是三角形ABC所在平面上一点，若＋＋＝0，则O是三角形ABC的（　　） A.内心　　B.外心 C.重心　　D.垂心 答案：C 解析：若＋＋＝0，则＋＝－，设以，为邻边的平行四边形为OAC'B，OC与AB交于点D（图略），则D为AB的中点，由＋＝得，＝－，即C，O，D，C'四点共线，故CD为△ABC的中线，所以O在边AB的中线上，同理可证，O在边AC的中线上，O在边BC的中线上，所以O是三角形ABC的重心. 2.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A.内心　　B.外心 C.重心　　D.垂心 答案：C 解析：由原等式，得－＝λ（＋）， 即＝λ（＋）， 根据平行四边形法则，知＋＝2（D为BC的中点）， 所以点P的轨迹必过△ABC的重心. 考点二　三角形的“外心”与平面向量 [例2]　（1）已知点O是三角形所在平面上一点，若＝＝，则O是三角形ABC的（　　） A.内心　　B.外心 C.重心　　D.垂心 （2）设P是△ABC所在平面内一点，若·（＋）＝2·，且＝－2·，则点P是△ABC的（　　） A.外心　　B.内心 C.重心　　D.垂心 [答案]　（1）B　（2）A [解析]　（1）因为＝＝，所以｜｜2＝＝｜｜2，即｜｜＝｜｜＝｜｜，所以O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O是△ABC的外心. （2）由·（＋）＝2·， 得·（＋－2）＝0， 即·[（－）＋（－）]＝0， 所以·（＋）＝0. 设D为AB的中点，则·2＝0，故·＝0，所以P在AB的中垂线上. 由＝－2·， 得（＋）·（－）＝－2·， 即（＋－2）·＝0. 设E为BC的中点，则（2－2）·＝0， 即2·＝0， 故·＝0.所以P在BC的中垂线上. 因此，P为AB与BC的垂直平分线的交点， 所以P是△ABC的外心. 变式训练 3.已知△ABC，点H，O为△ABC所在平面内的点，且·＝·，·＝·，＋＋＝，则点O为△ABC的（　　） A.内心　　B.外心 C.重心　　D.垂心 答案：B 解析：因为·＝·，所以·（－）＝0，即·＝0， 又因为＋＋＝，所以＋＝－，即＋＝， 所以（＋）·＝0，即（＋）·（－）＝0， 所以｜｜2－｜｜2＝0，所以OB＝OC，同理OA＝OB，所以O为△ABC的外心. 考点三　三角形的“垂心”与平面向量 　 [例3]　P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，求证：P是△ABC的垂心. [证明]　由·＝·，得·（－）＝0，即·＝0，所以⊥.同理可证⊥，⊥.所以P是△ABC的垂心.如图. 变式训练 4.已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A.重心　　B.垂心 C.外心　　D.内心 答案：B 解析：因为＝＋λ， 所以＝－＝λ， 所以·＝·λ＝λ（－｜｜＋｜｜）＝0， 所以⊥，所以点P在BC的高线上， 即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心. 考点四　三角形的“内心”与平面向量 [例4]　已知点O是平面上一个定点，A，B，C是平面内不共线的三点，动点P满足＝＋λ，λ∈R，则动点P一定通过△ABC的（　　） A.内心　　B.外心 C.重心　　D.垂心 [答案]　A [解析]　由＝＋λ得，＝λ.∵，分别表示向量，方向上的单位向量， ∴表示∠BAC的平分线所在的方向向量.故当λ∈R时，动点P一定通过△ABC的内心. 变式训练 5.已知△ABC满足·＝0，·＝，则△ABC为（　　） A.顶角为120°的等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.有一个内角为60°的直角三角形 D.等边三角形 答案：D 解析：设＝，＝，则＋＝，而｜｜＝｜｜＝1，所以AF是∠BAC的平分线，又·＝0，所以⊥，所以△ABC为等腰三角形.又·＝⇒＝⇒cos∠BAC＝⇒∠BAC＝，所以△ABC是等边三角形. 6.在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（　　） A.　　B. C.4　　D.6 答案：B 解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍.在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝（a＋b＋c）r，解得r＝，所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝. 考点五　三角形的“四心”与平面向量 [例5]　设△ABC的外心为O，重心为G.取点H，使＋＋＝. 求证：（1）H是△ABC的垂心； （2）O，G，H三点共线，且OG∶GH＝1∶2. [证明]　（1）∵△ABC的外心为O， ∴｜｜＝｜｜＝｜｜，又∵＋＋＝， ∴－＝＝－（＋），则·＝－（＋）·（－）＝－＝0， 即AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB， 即H是△ABC的垂心. （2）∵G为△ABC的重心， ∴＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝3＋＋＋＝3＋＝0，即＝3， 即O，G，H三点共线，且OH＝3OG， 即O，G，H三点共线，且OG∶GH＝1∶2. 变式训练 7.利用向量的坐标表示解决下列问题：在△ABC中，已知Q，G，H分别是三角形的外心、重心、垂心.求证：Q，G，H三点共线，且QG∶GH＝1∶2. 证明：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设A（0，0），B（x1，0），C（x2，y2），D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，则有： D，E，F，由题设可设Q，H（x2，y4），G，∴＝（x2，y4），＝，＝（x2－x1，y2）. ∵⊥， ∴·＝x2（x2－x1）＋y2y4＝0， ∴y4＝－. ∵⊥， ∴·＝x2＋y2＝0， ∴y3＝＋， ∴＝ ＝， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 即＝3，故Q，G，H三点共线，且QG∶GH＝1∶2. 四、课后作业 1.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的中心 [解析]　取AB的中点D(图略)，则2＝＋， ∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]， ∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)] ＝＋， 而＋＝1， ∴P，C，D三点共线， ∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心． 2.　在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　) A． B． C．4 D．6 [解析]　根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍． 在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a＝7. 设△ABC的内切圆的半径为r， 则bc sin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝， 所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝. 故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝. [答案]　B 3.已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.重心 B．垂心 C．外心 D．内心 [解析]　因为＝＋λ， 所以＝－＝λ， 又cos B＝－，cos C＝， 所以·＝·λ ＝λ(－||＋||)＝0， 所以⊥， 所以点P在BC的高线所在的直线上， 即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心． [答案]　B 4.在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 [解析]　如图所示，设线段BC的中点为D，则＋＝2，∵2－2＝2·， ∴(＋)·(－)＝2·，∴·(＋－2)＝0，∴·＝0，即MD⊥BC且平分BC.因此动点M形成的图形必经过△ABC的外心，故选C. [答案]　C 5．在△ABC中，||＝3，||＝2，＝＋，则直线AD通过△ABC的(　　) A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 D　[由题知，||＝||＝， 设＝，＝，则||＝||.因为＝＋＝＋， 所以AD平分∠EAF，即AD平分∠BAC， 所以直线AD通过△ABC的内心．] 6.已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　由奔驰定理得S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， 又＋2＋m＝0， ∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m. ∴＝＝， 解得m＝4. 7.已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　) A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 答案　B 解析　由＝可得－ ＝(－)， 整理可得＝＋＝＋， 由＝可得＝(－)， 整理可得＝－， 所以－＝＋， 整理得4＋6＋9＝0， 由奔驰定理可得 S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4. 8．在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝________． [解析]　设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以＝＝(＋)＝－＋×＝－＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ－2μ＝－. [答案]　－ 9．已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，则△AOC的面积为________． 答案　1 解析　方法一　如图，设AC的中点为M，BC的中点为N. 因为＋＋2＝＋＋＋＝0， 所以2＋2＝0， 即＋＝0， 所以O为线段MN的中点， 所以S△AOC＝S△ANC＝×S△ABC＝××4＝1. 方法二　因为＋OB＋2＝0，根据奔驰定理可得，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶2，所以＝＝，又S△ABC＝4，所以S△AOC＝1. 10．设点O在△ABC的内部，且＝4＋5，则S△OAB与S△OBC之比是________． 答案　5 解析　由＝4＋5变形可得＋＝4＋5，整理可得＋3＋5＝0， 根据奔驰定理可得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB＝1∶3∶5， 则＝＝5. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 培优课03　平面向量奔驰定理与三角形四心问题 一、 命题规律及备考策略 平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。 奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。 二、知识梳理 1. 奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 2. 奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 3. 奔驰定理的推论及四心问题 推论是内的一点,且,则 有此定理可得三角形四心向量式 重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1. 　　在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时，有＋＋＝0或＝（＋＋）（其中P为平面内任意一点）.反之，若＋＋＝0，则点G是△ABC的重心.在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则有x＝，y＝. 　外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等. 　　在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则（＋）·＝（＋）·＝（＋）·＝0或｜｜＝｜｜＝｜｜（或＝＝）；反之，若｜｜＝｜｜＝｜｜，则点O是△ABC的外心. 　垂心：三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边. 　　在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则·＝·＝·或＋＝＋＝＋.反之，若·＝·＝·，则H是△ABC的垂心. 　内心：三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）叫内心. 　　结论：O是△ABC的内心⇔·＝·＝·＝0. 注意：向量λ（λ≠0）所在直线过△ABC的内心（是∠BAC的平分线所在直线）. 4.小结： 1.三角形外心与垂心的向量关系及应用 设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是 ＝＋＋. 2.三角形外心与重心的向量关系及应用 设△ABC的外心为O，则点G为△ABC的重心的充要条件是＝（＋＋）. 3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 设△ABC的外心、重心、垂心分别为O，G，H，则O，G，H三点共线（O，G，H三点连线称为欧拉线），且OG＝GH. 5.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则；或 ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则，或 研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想. 三、课堂考点突破 考点一　三角形的“重心”与平面向量 　　 [例1]　已知△ABC内一点O满足关系＋2＋3＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB的值. 变式训练 1.已知点O是三角形ABC所在平面上一点，若＋＋＝0，则O是三角形ABC的（　　） A.内心　　B.外心 C.重心　　D.垂心 2.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A.内心　　B.外心 C.重心　　D.垂心 考点二　三角形的“外心”与平面向量 [例2]　（1）已知点O是三角形所在平面上一点，若＝＝，则O是三角形ABC的（　　） A.内心　　B.外心 C.重心　　D.垂心 （2）设P是△ABC所在平面内一点，若·（＋）＝2·，且＝－2·，则点P是△ABC的（　　） A.外心　　B.内心 C.重心　　D.垂心 变式训练 3.已知△ABC，点H，O为△ABC所在平面内的点，且·＝·，·＝·，＋＋＝，则点O为△ABC的（　　） A.内心　　B.外心 C.重心　　D.垂心 考点三　三角形的“垂心”与平面向量 　 [例3]　P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，求证：P是△ABC的垂心. 变式训练 4.已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A.重心　　B.垂心 C.外心　　D.内心 考点四　三角形的“内心”与平面向量 [例4]　已知点O是平面上一个定点，A，B，C是平面内不共线的三点，动点P满足＝＋λ，λ∈R，则动点P一定通过△ABC的（　　） A.内心　　B.外心 C.重心　　D.垂心 变式训练 5.已知△ABC满足·＝0，·＝，则△ABC为（　　） A.顶角为120°的等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.有一个内角为60°的直角三角形 D.等边三角形 6.在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（　　） A.　　B. C.4　　D.6 考点五　三角形的“四心”与平面向量 [例5]　设△ABC的外心为O，重心为G.取点H，使＋＋＝. 求证：（1）H是△ABC的垂心； （2）O，G，H三点共线，且OG∶GH＝1∶2. 变式训练 7.利用向量的坐标表示解决下列问题：在△ABC中，已知Q，G，H分别是三角形的外心、重心、垂心.求证：Q，G，H三点共线，且QG∶GH＝1∶2. 四、课后作业 1.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的中心 2.　在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　) A． B． C．4 D．6 3.已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.重心 B．垂心 C．外心 D．内心 4.在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 5．在△ABC中，||＝3，||＝2，＝＋，则直线AD通过△ABC的(　　) A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 6.已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 7.已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　) A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 8．在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝________． 9．已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，则△AOC的面积为________． 10．设点O在△ABC的内部，且＝4＋5，则S△OAB与S△OBC之比是________． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$