数列专题特训-2025届高三数学上学期一轮复习

数列专题特训-2025年高三数学上学期一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024•衡水一模）在等比数列{an}中，若a1•a5•a12为一确定的常数，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列各数为常数的是（　　） A．T6 B．T8 C．T10 D．T11 2．（2024•平罗县校级模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4＝20，S6＝12S2，则S8＝（　　） A．40 B．60 C．76 D．88 3．（2024•义乌市模拟）已知{bn}是等比数列，若b2＝3，b6＝27，则b4的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．±9 D．81 4．（2024•冀州区校级模拟）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若，则＝（　　） A．2 B． C． D． 5．（2024•运城二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•织金县校级模拟）等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…log3a10＝（　　） A．12 B．10 C．5 D．2log35 7．（2024•青岛一模）记正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S20＝100，则a10•a11的最大值为（　　） A．9 B．16 C．25 D．50 8．（2024•湖南模拟）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（　　） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•故城县校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，a3＝a1﹣4，S7＝154，则（　　） A．d＝﹣2 B．a1＝30 C．﹣320是数列{an}中的项 D．Sn取得最大值时，n＝14 （多选）10．（2024•贵阳模拟）设首项为1的数列{an}前n项和为Sn，已知Sn+1＝2Sn+n﹣1，则下列结论正确的是（　　） A．数列{Sn+n}为等比数列 B．数列{an}的前n项和Sn＝2n﹣n C．数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1﹣1 D．数列{an+1}为等比数列 （多选）11．（2024•天心区校级模拟）在前n项和为Sn的正项等比数列{an}中，a1a4＝8，a3＝a2+2，，则（　　） A．a6﹣4a5＝﹣48 B．S7＝127 C．Sn＝2an﹣1 D．数列{bn}中的最大项为b2 三．填空题（共3小题） 12．（2024•孝南区校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8+a2＝12，则S11＝　 　． 13．（2024•秦都区校级四模）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则＝　 　． 14．（2024•虹口区二模）已知等比数列{an}是严格减数列，其前n项和为Sn，a1＝2，若a1，2a2，3a3成等差数列，则＝　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•香坊区校级模拟）数列{an}满足，2anan+1+an+1﹣an＝0． （1）求数列{an}通项公式． （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn． 16．（2024•白云区校级模拟）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20，且为等差数列． （1）求证：数列{an}为等差数列； （2）若数列{bn}满足b1＝6，且，设Tn为数列{bn}的前n项和，集合，求M（用列举法表示）． 17．（2024•淮北模拟）已知数列{an}为递增的等比数列，，记Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前项和，S3﹣a2＝5，T3＝10． （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：当n＞5时，Sn＞Tn． 18．（2024•双鸭山三模）如果n项有穷数列{an}满足a1＝an，a2＝an﹣1，…，an＝a1，即ai＝an﹣i+1（i＝1，2，…，n），则称有穷数列{an}为“对称数列”． （1）设数列（bn）是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4成等差数列，且b2＝3，b5＝5，依次写出数列{bn}的每一项； （2）设数列{cn}是项数为2k﹣1（k∈N*且k≥2）的“对称数列”，且满足|cn+1﹣cn|＝2，记Sn为数列{cn}的前n项和． ①若c1，c2，…，ck构成单调递增数列，且ck＝2023．当k为何值时，S2k﹣1取得最大值？ ②若ck＝2024，且S2k﹣1＝2024，求k的最小值． 19．（2024•河东区二模）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，满足a1＝1，a4+a5＝a9，正项数列{bn}的前n项和为Sn，且． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）在b1和b2之间插入1个数c11，使b1，c11，b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数c21，c22，使b2，c21，c22，b3成等差数列；…；在bn和bn+1之间插入n个数cn1，cn2，⋯，cnn，使bn，cn1，cn2，⋯，cnn，bn+1成等差数列． （ⅰ）求cnk； （ⅱ）求c11+c21+c22+⋯+cn1+cn2+⋯+cnn的值． 数列专题特训-2025年高三数学上学期一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•衡水一模）在等比数列{an}中，若a1•a5•a12为一确定的常数，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列各数为常数的是（　　） A．T6 B．T8 C．T10 D．T11 【解答】解：因为等比数列{an}中，a1•a5•a12＝a5•a6•a7＝为常数， 则a6为常数， 又数列{an}的前n项积为Tn，则T11＝a1a2…a11＝为常数． 故选：D． 2．（2024•平罗县校级模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4＝20，S6＝12S2，则S8＝（　　） A．40 B．60 C．76 D．88 【解答】解：设首项为a1，公差为d， 由S4＝20，S6＝12S2，可得， 解得， 所以． 故选：D． 3．（2024•义乌市模拟）已知{bn}是等比数列，若b2＝3，b6＝27，则b4的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．±9 D．81 【解答】解：由题得， 而，则b4＝9． 故选：A． 4．（2024•冀州区校级模拟）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若，则＝（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：由题意可得，解得， 所以． 故选：C． 5．（2024•运城二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：等差数列{an}中，，解得a8＞0， 又因为， 所以a8+a9＜0，所以a9＜﹣a8＜0． 设数列{an}的公差为d，则d＝a9﹣a8＜0，所以a1＞0． 由，得，解得﹣a1＜d＜﹣a1， 又因为a1＞0，所以，所以＜1+＜， 所以， 即的取值范围是． 故选：B． 6．（2024•织金县校级模拟）等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…log3a10＝（　　） A．12 B．10 C．5 D．2log35 【解答】解：等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则 a5a6＝a4a7＝9， 则log3a1+log3a2+…log3a10＝log3a1＝5log3（a5a6）＝5log39＝10， 故选：B． 7．（2024•青岛一模）记正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S20＝100，则a10•a11的最大值为（　　） A．9 B．16 C．25 D．50 【解答】解：正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S20＝100， ∴，解得a10+a11＝10， ∴a10•a11≤（）2＝25， 则a10•a11的最大值为25． 故选：C． 8．（2024•湖南模拟）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（　　） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 【解答】解：因为该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列，共有24个尺码， 所以所有尺码的和为＝738， 又所有有货尺寸加起来的总和是677码， 故另一个缺货尺寸为738﹣677﹣28.5＝32.5． 故选：C． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•故城县校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，a3＝a1﹣4，S7＝154，则（　　） A．d＝﹣2 B．a1＝30 C．﹣320是数列{an}中的项 D．Sn取得最大值时，n＝14 【解答】解：a3＝a1﹣4， 则2d＝﹣4，解得d＝﹣2，故A正确； S7＝154， 则，即7a4＝154，解得a4＝22， 故a1＝a4﹣3d＝28，故B错误； an＝a1+（n﹣1）×d＝28+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+30， 令﹣320＝﹣2n+30，解得n＝175， 故320是数列{an}中的项，故C正确； a14＝2，a15＝0，a16＜0，d＝﹣2＜0， 故Sn取得最大值时，n＝14或15，故D错误． 故选：AC． （多选）10．（2024•贵阳模拟）设首项为1的数列{an}前n项和为Sn，已知Sn+1＝2Sn+n﹣1，则下列结论正确的是（　　） A．数列{Sn+n}为等比数列 B．数列{an}的前n项和Sn＝2n﹣n C．数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1﹣1 D．数列{an+1}为等比数列 【解答】解：由a1＝1，Sn+1＝2Sn+n﹣1，可得S2＝1+a2＝2S1+0＝2a1＝2，即有a2＝1， 由Sn+1+n+1＝2（Sn+n），可得数列{Sn+n}是首项和公比均为2的等比数列， 则Sn+n＝2n，即Sn＝2n﹣n，故AB正确； 由n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣n﹣2n﹣1+n﹣1＝2n﹣1﹣1，对n＝1不成立，故C错误； 由a1+1＝2，a2+1＝2，a3+1＝4，（a2+1）2≠（a1+1）（a3+1），故数列{an+1}不为等比数列，故D错误． 故选：AB． （多选）11．（2024•天心区校级模拟）在前n项和为Sn的正项等比数列{an}中，a1a4＝8，a3＝a2+2，，则（　　） A．a6﹣4a5＝﹣48 B．S7＝127 C．Sn＝2an﹣1 D．数列{bn}中的最大项为b2 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， 由a1a4＝a2a3，a1a4＝8，可得a2a3＝8，且a3＝a2+2， 解得或（舍去）， 有，可得． 对于A选项，由a6＝25＝32，a5＝16，可得a6﹣4a5＝32﹣64＝﹣32，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，由an＝2n﹣1，，有Sn＝2an﹣1，故C正确； 对于D选项，由， 令，有， 可得f（1）＜f（2）＝f（3）＞f（4）＞•••，有f（n）max＝f（2）＝f（3）＝， 可得数列{bn}中的最大项为b2或b3，故D错误． 故选：BC． 三．填空题（共3小题） 12．（2024•孝南区校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8+a2＝12，则S11＝　44　． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， ∵2a8+a2＝12，∴2（a1+7d）+（a1+d）＝12， 即3（a1+5d）＝12，∴a6＝4， ∴＝11×4＝44． 故答案为：44． 13．（2024•秦都区校级四模）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则＝　　． 【解答】解：等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且， 所以． 故答案为：． 14．（2024•虹口区二模）已知等比数列{an}是严格减数列，其前n项和为Sn，a1＝2，若a1，2a2，3a3成等差数列，则＝　3　． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则由a1，2a2，3a3成等差数列可得 4a2＝a1+3a3，即4a1q＝a1+3a1q2，整理得3q2﹣4q+1＝0，解得q＝1，或q＝， 又等比数列{an}是严格减数列，q≠1，故an＝2•（）n﹣1， ∴Sn＝＝3﹣，当n→+∞时，→0，∴Sn→3． 故答案为：3． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•香坊区校级模拟）数列{an}满足，2anan+1+an+1﹣an＝0． （1）求数列{an}通项公式． （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn． 【解答】解：（1）由，2anan+1+an+1﹣an＝0，可得﹣＝2， 则数列{}是首项和公差为2的等差数列， 可得＝2+2（n﹣1）＝2n，即为an＝； （2）＝2ncos（n+1）π+2＝（﹣1）n﹣1•2n+2， 当n为偶数时，数列{bn}的前n项和Sn＝（2﹣4+6﹣8+...+2n﹣2﹣2n）+2n＝﹣2×+2n＝n； 当n为奇数时，Sn＝Sn﹣1+bn＝n﹣1+2n+2＝3n+1； 所以Sn＝． 16．（2024•白云区校级模拟）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20，且为等差数列． （1）求证：数列{an}为等差数列； （2）若数列{bn}满足b1＝6，且，设Tn为数列{bn}的前n项和，集合，求M（用列举法表示）． 【解答】解：（1）证明：由为等差数列，可设＝kn+b，即Sn＝kn2+bn， 当n＝1时，a1＝S1＝k+b，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝kn2+bn﹣k（n﹣1）2﹣b（n﹣1）＝2kn﹣k+b， 上式对n＝1也成立，则an＝2kn﹣k+b，n∈N*，所以数列{an}为等差数列； （2）由a2＝4，S4＝20，可得3k+b＝4，16k+4b＝20，解得k＝b＝1，即an＝2n， 由b1＝6，且＝＝， 则bn＝b1•••...•• ＝6×ו...••＝＝12（﹣）， 可得Tn＝12（1﹣+﹣+...+﹣）＝12﹣， 当n+1＝2，3，4，6，12，即n＝1，2，3，5，11时，Tn＝6，8，9，10，11， 所以M＝{6，8，9，10，11}． 17．（2024•淮北模拟）已知数列{an}为递增的等比数列，，记Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前项和，S3﹣a2＝5，T3＝10． （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：当n＞5时，Sn＞Tn． 【解答】（1）解：设等比数列{an}的公比为q， 因为S3﹣a2＝5，T3＝10，可得， 两式相减，可得a2＝2，所以，解得q＝2或， 又因为数列{an}为递增的等比数列，所以q＝2，则a1＝1， 所以数列{an}的通项公式为． （2）解：由（1）知，可得． 当n为偶数时， ＝． 此时，． 当n＞5时，，所以Sn＞Tn成立． 当n为奇数时，． 检验知，当n＝1时，上式也成立． 此时，， 当n＞5时，，所以Sn＞Tn成立． 综上所述，当n＞5时，Sn＞Tn成立． 18．（2024•双鸭山三模）如果n项有穷数列{an}满足a1＝an，a2＝an﹣1，…，an＝a1，即ai＝an﹣i+1（i＝1，2，…，n），则称有穷数列{an}为“对称数列”． （1）设数列（bn）是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4成等差数列，且b2＝3，b5＝5，依次写出数列{bn}的每一项； （2）设数列{cn}是项数为2k﹣1（k∈N*且k≥2）的“对称数列”，且满足|cn+1﹣cn|＝2，记Sn为数列{cn}的前n项和． ①若c1，c2，…，ck构成单调递增数列，且ck＝2023．当k为何值时，S2k﹣1取得最大值？ ②若ck＝2024，且S2k﹣1＝2024，求k的最小值． 【解答】解：（1）因为数列{bn}是项数为7的“对称数列”，所以b5＝b3＝5， 又因为b1，b2，b3，b4成等差数列，其公差d＝b3﹣b2＝2，……3分 所以数列{bn}的7项依次为1，3，5，7，5，3，1．………4分 （2）①由c1，c2，…，ck是单调递增数列，数列{cn}是项数为2k﹣1的“对称数列”且满足|cn+1﹣cn|＝2， 可知c1，c2，…，ck构成公差为2的等差数列，ck，ck+1，…，c2k﹣1构成公差为﹣2的等差数列，……6分 故S2k﹣1＝c1+c2+…+c2k﹣1＝2（ck+ck﹣1+…+c2k﹣1）﹣ck ＝，….8分 所以当时，S2k﹣1取得最大值．……9分 ②因为|cn+1﹣cn|＝2，即cn+1﹣cn＝±2， 所以cn+1﹣cn≥﹣2，即cn+1≥cn﹣2， 于是ck≥ck﹣1﹣2≥ck﹣2﹣4≥⋯≥c1﹣2（k﹣1），……11分 因为数列{cn}是“对称数列”，所以S2k﹣1＝c1+c2+…+c2k﹣1＝2（c1+c2+…+ck﹣1）+ck） ，……13分 因为S2k﹣1＝2024，故﹣2k2+4052k﹣2026≤2024，解得k≤1或k≥2025，所以k≥2025，……15分 当c1，c2，…，ck构成公差为﹣2的等差数列时，满足c1＝2024，且S2k﹣1＝2024， 此时k＝2025，所以k的最小值为2025．……………17分 19．（2024•河东区二模）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，满足a1＝1，a4+a5＝a9，正项数列{bn}的前n项和为Sn，且． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）在b1和b2之间插入1个数c11，使b1，c11，b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数c21，c22，使b2，c21，c22，b3成等差数列；…；在bn和bn+1之间插入n个数cn1，cn2，⋯，cnn，使bn，cn1，cn2，⋯，cnn，bn+1成等差数列． （ⅰ）求cnk； （ⅱ）求c11+c21+c22+⋯+cn1+cn2+⋯+cnn的值． 【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d， 由题意知，a1+3d+a1+4d＝a1+8d， 所以1+3d+1+4d＝1+8d，解得d＝1， 所以an＝1+（n﹣1）×1＝n； 因为数列{bn}的前n项和为Sn，且满足， 所以当n＝1时，， 当n≥2时，， 验证，当n＝1时，b1＝1，满足上式， 故． （2）（ⅰ）在bn和bn+1之间插入n个数cn1，cn2，⋯，cnn，使bn，cn1，cn2，⋯，cnn，bn+1成等差数列， 设公差为dn，则， 所以． （ⅱ）设Mn＝cn1+cn2+⋯+cnn＝ncn1+•dn＝n××2×3n﹣1+×＝4n×3n﹣1， 则c11+c21+c22+⋯+cn1+cn2+⋯+cnn＝c11+（c21+c22）+⋯+（cn1+cn2+⋯+cnn）＝M1+M2+⋯+Mn， 设Tn＝M1+M2+⋯+Mn， 所以， 3Tn＝4×31+8×32+12×33+…+（4n﹣4）×3n﹣1+4n×3n， 两式相减得，﹣2Tn＝4+4×31+4×32+⋯+4×3n﹣1﹣4n×3n＝4（30+31+32+33+⋯+3n﹣1）﹣4n×3n＝＝（2﹣4n）×3n﹣2， 所以． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$