1.1数列的概念及其函数特性练习-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.1数列的概念及其函数特性 练习 一、单选题 1．已知数列满足，则（   ） A． B．2 C．3 D． 2．记为数列的前n项和，则“任意正整数，均有”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知数列满足：，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 4．已知数列满足：且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 6．已知各项都为正数的数列满足，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 8．已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列递推关系式或其通项公式可以使数列为周期数列的有（   ） A． B． C． D． 10．若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（    ） A． B．（，） C． D． 11．设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．设数列的前项积为，则有最大值，无最小值 C．数列中没有最大项 D．若对任意，成立，则或 12．若数列满足，则称数列为斐波那契数列，设，若数列的前项和为，则的值可能是（    ） A．148 B．150 C．152 D．154 三、填空题 13．设为数列的前项积，且，则 ． 14．已知数列满足：，．若数列为严格增数列，则的取值范围是 四、解答题 15．已知下列三个数列的前4项：①②；③． (1)分别写出这三个数列的通项公式； (2)根据（1）的结果，推测型数列的通项公式． 16．已知数列满足，其中. (1)当时，求的值； (2)求证：不是单调递增数列； (3)是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 参考答案 1．A 【分析】根据递推关系求出前几项可得出数列为周期数列即可得解. 【详解】因为数列满足， 所以， 所以， 所以是周期为3的周期数列， 又，所以． 故选：A． 2．A 【分析】根据与的关系，利用作差法，可判断充分性，取特殊例子，可判断必要性，即得答案. 【详解】当时，则， ∴，即数列是递增数列， 所以“对任意正整数n，均有”是“为递增数列”的充分条件； 取数列为，显然数列是递增数列，但是不一定大于零， 所以“对任意正整数n，均有”不是“为递增数列”的必要条件， 因此“对任意正整数n，均有”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 3．C 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值. 【详解】由， 所以（，） 所以，，…， ， 各式相加得：. 故选：C 4．A 【分析】由计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到. 【详解】因为，，， 所以，，， 故数列为周期是3的数列， 所以. 故选：A 5．D 【分析】根据题设条件等式求出并裂项，运用裂项相消法即可求得. 【详解】把代入整理得：， 故. 故选：D. 6．B 【分析】由得，由题意，，根据递推公式可验证B，通过对赋值，可验证ACD. 【详解】由， 得， 因为数列各项都为正数， 所以，故，即， 所以， 对于A，设，则， 设，则， 设，则， 设，则， 设，则， 则可以为，故A错误； 对于B，，， ，， ， ， ，， ，， ，， ，， ，， ，故B正确； 对于C，若， 由于，则，故C错误； 对于D，若， 由于，则，故D错误； 故选：B 7．D 【分析】由数列中每一项的特点可分析得到通项公式的结构. 【详解】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为， 且每项为，故数列的一个通项公式为. 故选：D. 8．C 【分析】利用二次函数的单调性，结合可得. 【详解】因为，且数列是递增数列， 所以，即. 故选：C 9．AC 【分析】根据数列的周期性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A：由选项知，又，计算得， 因此为周期数列，且周期为4，故A正确； 对于B：，，， ，…，不是周期数列，故B错误； 对于C：；；；；； ，…，，归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，故C正确； 对于D：是单调递增数列，不是周期数列，故D错误． 故选:AC 10．AC 【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可. 【详解】对于A，由题可得，，，，，故A正确； 对于B，因为，又， 所以，即，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AC. 11．AD 【分析】先由数列递推式求得，再由求得，由与的关系式求出，代值即可判断A项；对于B，由通项分析项的符号特征即可判断；对于C，分析数列的项的单调性特点可判断其由最大项，排除C；对于D，利用C项结果将不等式恒成立转化成求解不等式即得. 【详解】当时，，得，因①， 当时，②， 由①②，，即，取时，满足题意， 故数列的通项公式为，又因，故. 当时，；当时，， 因时，符合题意 ，故， 则，故A正确； 对于B，由A已得，，则， 因时，，时，，而， 故没有最大值，也没有最小值，故B错误； 对于C，由，可得， 易得,且，故的最大项为，故C错误； 对于D，由，可得，由C项分析已得为的最大项， 故得，解得或，故D正确. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查新定义数列的项与和的性质的应用，属于难题. 解题的思路在于，由递推和式采用赋值相减法求出通项，可得,再由与的关系式求出通项，再分析项的符号以及单调性特征，逐一判断选项可得. 12．ABC 【分析】根据，可得，再分析各项的特征，进而可得出的各项，进而可得出答案. 【详解】所以， 所以， 观察的各项：， 从第2项起奇偶性分别为：奇偶奇，奇偶奇，奇偶奇，， 且为奇（偶）数时，也是奇（偶）数， 所以的各项依次为:， 所以数列的前150项和为， 因为， 所以的值可以是148，150，152. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：分析各项的特征，得出的各项，是解决本题的关键. 13． 【分析】根据已知条件，利用相除的方法求得，进而求得. 【详解】由题意可得，所以当时，有， 故由题意两式相除得， 因为，则， 因此当时，，即， 则， 也符合． 所以. 故答案为： 14． 【分析】结合以及列出不等式,由此求得的取值范围. 【详解】由于数列是递增数列,所以, 即,解得. 则. 由于,即,即, 即, 所以,解得或. 综上所述，首项的取值范围是. 故答案为: 15．(1)；； (2) 【分析】（1）这三个都是摆动数列，写出符合其规律的一个通项公式即可; （2）由（1）归纳出型数列的通项公式即可. 【详解】（1）①因为，此时； ②因为，此时； ③因为，此时． （2）由（1）可知，型数列的通项公式为 16．(1)，. (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由递推公式逐项计算； （2）假设数列单调递增，由递推公式得到，得到，再由借助单调性说明，发现矛盾即可求证； （3）由递推公式可得：进而说明，找到矛盾，即可解决问题. 【详解】（1），，，，. （2）假设数列单调递增， 因为，   所以， 所以 所以 所以， 所以，矛盾. 所以假设不成立， 所以数列 不是单调递增数列. （3）若， 因为，， 所以 因为，又，所以，     所以，， 所以， 因为，所以 所以，即 因为，且 所以 所以 所以 即，所以， 又所以， 此时 ，矛盾   所以不存在，使得 . 【点睛】思路点睛：由递推公式求某一项，常用思路，利用代入法，逐项计算；证明一个以否定结论出现的命题时，一般思路为正难则反，即可考虑反证法.对于是否存在性的问题，一般思路，假设存在，在已知条件的基础上推出矛盾的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$