精品解析：山西省长治市屯留区多校2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷

2024-2025学年九年级上期中评估试卷 数学试卷 说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在一表中） 1. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 3. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若将一元二次方程化成一般式，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（ ） A. 4米 B. 8米 C. 12米 D. 16米 6. 下列式子的运算结果为有理数的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 甲和丁 D. 乙和丙 10. 如图，已知线段，按以下步骤作图： ①过点作，使，连接； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则______． 13. 在如图所示的正方形网格中有和，已知，则______． 14. 为了方便游客拍照打卡，某地计划在如图所示的长为60米，宽为40米的矩形空地中修建小道（阴影部分），余下部分种植牡丹花，其中每条小道的宽都是x米（每段小道均与边缘平行），要使牡丹花的种植面积为2128平方米，则x的值为______． 15. 图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为可伸缩支撑杆，已知，，．如图2，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转，与相交于点P，当，则的长度为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：利用尺规过点作边的垂线，垂足为； （2）在（1）的条件下，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，． （1）以原点为位似中心，在轴的左侧画出，使与位似，且相似比为； （2）直接写出，，三点的坐标； （3）求的面积． 19. 如图，这是小夏家的花草地，可将其看作由两个正方形、一个长方形和一个直角三角形构成的五边形，两个正方形的面积分别为和，求五边形的周长． 20. 阅读与思考 请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空：______； （2）①判断的形状，并说明理由；②直接判断与的大小． 21. 研学实践：“秋风楼”位于后土祠正殿后（位于古河东郡汾阴县，即今山西省万荣县西南），因楼上藏有汉武帝刘彻《秋风辞》碑而得名．因黄河淹没，曾于清代康熙、同治年间重修，现存建筑于同治九年（公元年）重建．某校组织研学活动，同学们来到秋风楼的所在地，利用测量工具等采集了秋风楼的相关数据． 数据采集：如图，是秋风楼顶部的一点，的长表示点到地面的距离，小康把长为米的标杆垂直立于地面点处，当秋风楼顶部和标杆的端点确定的直线交直线于点时，米；将标杆沿着的方向平移到点处，当秋风楼顶部和标杆的顶端确定的直线交直线于点时，测得米，米． 数据应用：已知图中各点都在同一平面内，根据上述数据，计算秋风楼顶部到地面的距离． 22. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以探究“购买、销售葡萄的方法”为主题，展开学习．某超市准备从A市场和B市场购买葡萄． A市场的优惠方式：葡萄的售价为18元/千克，无论购买多少千克均不打折． B市场的优惠方式：葡萄的售价为20元/千克，若一次购买5千克以上，超过5千克的部分打折销售． 在B市场购买葡萄的部分小票统计如下．（精确到1千克） 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 … 付款金额/元 20 40 60 80 100 118 136 154 … （1）若该超市在B市场一次购买5千克以上的葡萄，超过5千克的部分打几折？ （2）当超市需要购买20千克葡萄时，请通过计算说明，选择哪个市场比较划算？ （3）该超市决定从A市场购进葡萄，如果超市以28元/千克销售，平均每天可以售出100千克，为了尽快减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量会增加10千克．问该超市降价多少元时，每天的销售利润为840元？ 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在中，点，，分别在，，上，已知，交于点，是的中点． 猜想证明： （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： （2）如图，在（）的条件下，连接，．若，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展应用： （3）如图，在平行四边形中，，对角线与交于点，为上一点，交于点，交于点，，交于点，连接．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级上期中评估试卷 数学试卷 说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在一表中） 1. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法．根据乘方可得：，再利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 3. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两个关于轴成轴对称的点的坐标特点：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：点关于纵坐标对称的点为， 故选：A． 4. 若将一元二次方程化成一般式，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由一元二次方程变形为， ∴， ∴； 故选D． 5. 《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（ ） A. 4米 B. 8米 C. 12米 D. 16米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；设旗杆的高度为x米，由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，由题意得： ， 解得：； 故选D． 6. 下列式子的运算结果为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加、减、乘、除运算，根据二次根式运算法则逐项计算即可，灵活运用二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 、不符合题意； 故选：． 7. 如图，在中，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．根据，得到，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 9. 如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 甲和丁 D. 乙和丙 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可，正确理解相似图形的概念是解题的关键． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形， 故选：． 10. 如图，已知线段，按以下步骤作图： ①过点作，使，连接； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是理解题意．由题意可得：，，，设，则，根据勾股定可得，再根据线段的和差求出，，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， 设，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键；因此此题可把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入方程得：， ∴； 故答案为． 13. 在如图所示的正方形网格中有和，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是数形结合．根据相似三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 14. 为了方便游客拍照打卡，某地计划在如图所示的长为60米，宽为40米的矩形空地中修建小道（阴影部分），余下部分种植牡丹花，其中每条小道的宽都是x米（每段小道均与边缘平行），要使牡丹花的种植面积为2128平方米，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可得方程，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为：． 15. 图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为可伸缩支撑杆，已知，，．如图2，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转，与相交于点P，当，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；过点作于点，延长至，使得，则，可得是直角三角形，证明，，连接，，进而证明在上，由题意易得四边形是矩形，根据勾股定理可得，，过点作于点，过点作于点，则，进而根据可进行求解． 【详解】解：如图所示， 依题意，，过点作于点，延长至，使得，则， ∴是直角三角形， 连接，， ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴, ∵，， ∴ ∴ ∴， 又∵，则 ∴ ∴在上， 过点作于点，过点作于点，则 由题意得：， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ， 在中，，则 在中，， 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（）；（），． 【解析】 【分析】（）先根据二次根式性质化简，然后由二次根式的减法法则将括号内化简为，再根据二次根式的乘法则即可得到答案； （）根据因式分解法解方程即可； 本题考查了二次根式的运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解方程解法是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （） 或 ∴，． 17. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：利用尺规过点作边的垂线，垂足为； （2）在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） 如图，线段即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理．能够根据给出的条件作出图形是解决问题的关键． （1）作法：①在线段上任取一点；②以点为圆心，长为半径作弧，交线段于另一点；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；④连接交线段于点，则线段就是所求作的垂线； （2）首先根据勾股定理可求得，根据三角形的面积可求得，再根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ， 又， ，即， 解得：， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，． （1）以原点为位似中心，在轴的左侧画出，使与位似，且相似比为； （2）直接写出，，三点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据（1）中作的图求解即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 19. 如图，这是小夏家的花草地，可将其看作由两个正方形、一个长方形和一个直角三角形构成的五边形，两个正方形的面积分别为和，求五边形的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的加减，解题的关键是掌握相关知识．设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据勾股定理可求出，根据正方形的面积公式并结合图形求出五边形每边的长度，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 则，， ，，， ，，， 五边形的周长为． 20. 阅读与思考 请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空：______； （2）①判断的形状，并说明理由；②直接判断与的大小． 【答案】（1） （2） ①是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可；②根据三角形三边关系进行判断即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②三角形任意两边之和大于第三边， ． 21. 研学实践：“秋风楼”位于后土祠正殿后（位于古河东郡汾阴县，即今山西省万荣县西南），因楼上藏有汉武帝刘彻《秋风辞》碑而得名．因黄河淹没，曾于清代康熙、同治年间重修，现存建筑于同治九年（公元年）重建．某校组织研学活动，同学们来到秋风楼的所在地，利用测量工具等采集了秋风楼的相关数据． 数据采集：如图，是秋风楼顶部的一点，的长表示点到地面的距离，小康把长为米的标杆垂直立于地面点处，当秋风楼顶部和标杆的端点确定的直线交直线于点时，米；将标杆沿着的方向平移到点处，当秋风楼顶部和标杆的顶端确定的直线交直线于点时，测得米，米． 数据应用：已知图中各点都在同一平面内，根据上述数据，计算秋风楼顶部到地面的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．根据题意可求出米，设，则（米），（米），证明，可得，证明，可得到，再列方程求出，即可求解． 【详解】解：由题意知，米，米，米，米， 米， 设，则（米），（米）， ，， ， ， ，即， ， ，， ， ， ，即， ， ， 解得：， 米． 22. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以探究“购买、销售葡萄的方法”为主题，展开学习．某超市准备从A市场和B市场购买葡萄． A市场的优惠方式：葡萄的售价为18元/千克，无论购买多少千克均不打折． B市场的优惠方式：葡萄的售价为20元/千克，若一次购买5千克以上，超过5千克的部分打折销售． 在B市场购买葡萄的部分小票统计如下．（精确到1千克） 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 … 付款金额/元 20 40 60 80 100 118 136 154 … （1）若该超市在B市场一次购买5千克以上的葡萄，超过5千克的部分打几折？ （2）当超市需要购买20千克葡萄时，请通过计算说明，选择哪个市场比较划算？ （3）该超市决定从A市场购进葡萄，如果超市以28元/千克销售，平均每天可以售出100千克，为了尽快减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量会增加10千克．问该超市降价多少元时，每天的销售利润为840元？ 【答案】（1）超过5千克的部分打9折 （2）选择在A市场购买比较划算 （3）该超市降价4元时，每天的销售利润为840元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设超过5千克的部分打x折，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）根据题意及（1）可直接进行计算即可； （3）设该超市降价x元时，每天的销售利润为840元，由题意可得方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：设超过5千克的部分打x折，由题意得： ， 解得：， 答：超过5千克的部分打9折． 【小问2详解】 解：由题意得： 在A市场所需费用为（元）； 在B市场所需费用为（元）； 答：选择在A市场购买比较划算． 【小问3详解】 解：设该超市降价x元时，每天的销售利润为840元；由题意可得： ， 解得：（舍去）； 答：该超市降价4元时，每天的销售利润为840元． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在中，点，，分别在，，上，已知，交于点，是的中点． 猜想证明： （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： （2）如图，在（）的条件下，连接，．若，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展应用： （3）如图，在平行四边形中，，对角线与交于点，为上一点，交于点，交于点，，交于点，连接．若，，求的长． 【答案】 （），理由， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； （）由（）得， ∵， ∴， ∵， 设， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴； （）． 【解析】 【分析】（）利用，证明，，利用相似比即可证明； （）由（）得，，得出是等腰三角形，设，则，，证明，利用三角形相似即可求出，然后根据相似三角形的面积比等于相似的平方； （）连接，过作，垂足为，由四边形是平行四边形，则，，，可证，则，在中，由勾股定理得，同（）理得，则垂直平分，故有，在中，由勾股定理得，然后由线段和差即可求出的长． 【详解】（）略 （）略 （）解：如图，连接，过作，垂足为， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴同（）理得， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $