精品解析：上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上师大附中高二期中数学试卷 2024.11 一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线过点，法向量为，则的一般式方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式即可. 【详解】因为直线过点，法向量为， 所以直线的方向向量可取， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 2. 顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出抛物线方程，再代入点的坐标得解. 【详解】由题意，可设抛物线方程为， 又抛物线经过， 所以，解得， 所以所求抛物线方程为， 故答案为： 3. 已知，设直线，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】由题意得 当时，直线重合，舍去，故. 故答案为：. 4. 已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率的定义以及正切函数的单调性可得结论. 【详解】因为在上为增函数,所以, 因为在上为增函数,所以, 又时,直线的斜率不存在, 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 5. 经过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为5， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 6. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm. 【答案】 【解析】 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为， 设抛物线的标准方程为，则，解得. 故该抛物线的焦点到准线的距离为cm. 故答案为： 7. 已知椭圆的焦点为、，椭圆上的动点P的坐标为，且为钝角，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由为钝角，可得，再根据点P在椭圆上，可得，从而可得出答案. 【详解】解：椭圆的焦点为、， 则， 因为为钝角， 所以，即， 又因点P在椭圆上，则，即， 所以，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 8. 已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆的半径为，根据题意可得，两式相减，再结合双曲线的定义即可得解. 【详解】设圆的半径为， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为圆与圆、圆外切， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 又，则， 所以其轨迹方程为． 故答案为：． 9. 过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 10. 已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，，由椭圆定义得到，分别在和上，利用，求出，故，，从而得到，求出离心率. 【详解】设，则， 由椭圆定义知，故， 其中， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 因为，所以， 即，故， 解得， 故，， 由， 故离心率. 故答案为： 11. 已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分、在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过作交轴于点，结合抛物线定义、，可得答案. 【详解】当、在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称，所以， 过作交轴于点， 设，则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 当，在焦点右侧时， 过作交轴于点， 所以，设， 则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 所以或. 故答案为：或. 【点睛】方法点晴：求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，解答要根据所涉及的抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用曲线的定义、标准方程、几何性质，并借助于图形的直观性，构建出关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解即可得到所求结果. 12. 已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则的取值所组成的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合双曲线的定义，再结合直线与圆相切的性质，转化求得，再根据数量积公式，即可求解. 【详解】如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点， 连接，则，由双曲线方程为， 可得，又为右支上的一动点，所以， ，所以，所以， 由题意可知，又, 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合直线与圆相切的几何关系，进行线段长度的转化. 二.选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 方程表示椭圆的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【详解】若方程表示椭圆， 则，解得或， 所以方程表示椭圆的充要条是或. 故选：D. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义得到，结合，相加得到周长. 【详解】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为. 故选：B 15. 方程所表示的曲线为（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】变形已知方程，结合两点间距离公式和点到直线的距离公式以及抛物线的定义即可得解. 【详解】由原方程得， 即动点到定点的距离与它到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以此方程表示的曲线为抛物线. 故选：D 16. 从某个角度观察篮球（如图1)可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线的标准方程为，求出圆与双曲线在第一象限内的交点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的标准方程为， 设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、， 则， 因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，则， 故点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以， 所以该双曲线的离心率为. 故选：B. 三.解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知三边所在直线方程为：，：，：. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）求直线与直线的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出B点坐标，由点斜式写出直线方程，再化简成一般式即可； （2）由题意可得，，由两直线的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 解：由，可得， 即； 又因为， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为， 即； 【小问2详解】 解：因为，， 设直线与直线的夹角为， 则有， 所以. 18. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点M，且MN⊥PQ，求线段MN所在的直线方程． 【答案】（1）＋＝1 （2）16x＋8y－1＝0或16x＋24y－3＝0 【解析】 【分析】（1）由离心率公式以及余弦定理得出椭圆C的方程； （2）联立直线l和椭圆的方程，利用韦达定理以及中点坐标公式得出点坐标，再由垂直关系得出线段MN所在的直线方程． 【小问1详解】 解：（1）由e＝，得a＝2c，易知|AF1|＝2，|AF2|＝2a－2， 由余弦定理，得|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos A＝|F1F2|2， 即4＋(2a－2)2－2×2×(2a－2)×＝a2，解得a＝2，则c＝1， ∴b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆C的方程为＋＝1； 【小问2详解】 设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝， ∴N.又M，则kMN＝＝－. ∵MN⊥PQ，∴kMN＝－，得k＝或， 则kMN＝－2或kMN＝－，故直线MN的方程为16x＋8y－1＝0或16x＋24y－3＝0. 【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键是将MN⊥PQ转化为kMN＝－，结合韦达定理以及中点坐标公式得出直线MN的方程. 19. 如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 【答案】（1）：，: （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标. 【小问1详解】 根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上， 且，所以， 所以方程为， 又点纵坐标为6，代入方程可得M点横坐标为， 所以道路所在的曲线方程为， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为 以为圆心，为半径的圆，其方程为， 故道路曲线方程为段：为， 段：. 【小问2详解】 当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小. 20. 已知圆和圆. （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【小问1详解】 圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. 【小问2详解】 已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. 【小问3详解】 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 21. 已知双曲线的两条渐近线方程为分别为双曲线的顶点，且． （1）求双曲线的方程． （2）已知为坐标原点，直线与双曲线交于两点，且，求的值． （3）设动点，直线与双曲线分别交于两点．求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）或 （3） 方法一：， 直线的方程为，直线的方程为． 由消去整理得①， 记，则和是方程①的两个根， 则，即． 由消去整理得②， 记，则2和是方程②的两个根， 则，即． 由双曲线的对称性知，直线恒过的定点位于轴上，不妨设． 当时，，此时，直线的方程为，直线过定点． 当时，，即，整理得， 故．综上，直线过定点． 方法二：当时，由题知直线的倾斜角不为0，设直线的方程为， 由消去得． 设，则， 直线的方程为，直线的方程为， 由于直线的交点在直线上运动，则， 即，故， 代入，得， 故恒成立． 若，将代入得， 解得，故直线过双曲线的顶点，与题意不符，故舍去， 故只能，即，故直线过定点． 当时，直线为轴，过定点． 综上，直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线定义和渐近线方程得到，，求出双曲线方程； （2）方法一：联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，由得到，求出弦长，并表达出三角形面积，得到方程，求出或，检验后得到答案； 方法二：联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，由得到，结合直线恒过点，表达出三角形面积，得到方程，求出或，检验后得到答案； （3）方法一：表达出直线的方程，联立双曲线方程，得到点坐标，同理得到点坐标，对称性分析，直线恒过的定点位于轴上，不妨设，分和两种情况，得到直线所过定点； 方法二：设的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出直线和直线的方程，由于直线的交点在直线上，得到方程，化简得到，得到，结合当时，直线为轴，故直线过定点． 【小问1详解】 由题意得，解得． 渐近线方程为， ，解得， 双曲线的方程为． 【小问2详解】 方法一：设，由题意得， 联立消去整理得， 则，则， ， 点到直线的距离， 则 ， 整理得，即， 解得或，均满足． 方法二：设，由题意得， 联立消去整理得， 则，则， ， 直线恒过点，则 ， 整理得，即， 解得或，均满足． 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：处理定点问题的思路， （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附中高二期中数学试卷 2024.11 一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线过点，法向量为，则的一般式方程为________. 2. 顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为______. 3. 已知，设直线，，若，则______. 4. 已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______. 5. 经过点且与圆相切的直线方程为______. 6. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm. 7. 已知椭圆的焦点为、，椭圆上的动点P的坐标为，且为钝角，则的取值范围是________． 8. 已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为__________． 9. 过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为______. 10. 已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 11. 已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是__________. 12. 已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则的取值所组成的集合为______. 二.选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 方程表示椭圆的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 15. 方程所表示的曲线为（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 16. 从某个角度观察篮球（如图1)可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长等分，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 三.解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知三边所在直线方程为：，：，：. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）求直线与直线的夹角. 18. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点M，且MN⊥PQ，求线段MN所在的直线方程． 19. 如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 20. 已知圆和圆. （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 21. 已知双曲线的两条渐近线方程为分别为双曲线的顶点，且． （1）求双曲线的方程． （2）已知为坐标原点，直线与双曲线交于两点，且，求的值． （3）设动点，直线与双曲线分别交于两点．求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $