精品解析：广东省江门市鹤山市共和镇黎明实验学校2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

2024—2025学年度九年级第二学月随堂 一、单选题 1. 方程 2x 2 - x + 1 = 0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 2. 用配方法解方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2﹣a+2018的值为（　　） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 7. 如图，在中，，，，将绕点旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图，在中，,将绕点逆时针旋转,使点落在线段上的点处,点落在点处，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点）．连接，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线C1：y1=mx2-4mx+2n-1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为(-1，2)，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为(0，-1)；③m>；④若抛物线C2：y2=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a<2；⑤不等式mx2-4mx+2n>0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题 11. 若4是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个实数根等于________； 12. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称轴是_____． 13. 已知二次函数y＝(x﹣2)2﹣3，当x_____时，y随x的增大而减小． 14. 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为_____． 15. 已知抛物线与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程无实数根；③；④的最小值为3．其中正确的结论是_____________． 三、解答题 16. 在一只不透明布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字，甲已两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜，这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法，说明理由． 17. 解一元二次方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．． （1）将向左平移6个单位长度得到，请画出，并写出点，的坐标． （2）请画出关于原点O成中心对称的． 19. 端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，为了使每天获利的利润更多，该店决定把零售单价下降元． （1）零售单价下降元后，该店平均每天可卖出___________只粽子，利润为__________元． （2）不在考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 20. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 21. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹箁笆围成，篱笆总长33米．若墙长为米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若米，要围成的鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）试说明墙长取其他值时，对建150平方米面积的鸡场有何影响？ 22. 如图1，在中，于点 C，，在上截取，连接、，并延长交于点P． （1）求证：； （2）如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化？若不变，请说明理由． 23. 如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，直线：与该抛物线交于点A，D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线和x轴于点P，Q，R，点R位于点O，A之间． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）求线段的最大值； （3）连接，设与y轴交于点E，若四边形是平行四边形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度九年级第二学月随堂 一、单选题 1. 方程 2x 2 - x + 1 = 0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先计算判别式得到△=-4，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】∵△=12−4×2×1=−7<0， ∴方程没有实数根. 故选C. 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握计算公式. 2. 用配方法解方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．对方程移项可得，方程两边同时加上16，再利用完全平方公式将等号左边的式子配成完全平方即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 3. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的解析式为顶点式，根据抛物线的顶点式即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的解析式为，， ∴顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握二次函数的顶点式，是解决问题的关键． 5. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”来求解平移后的抛物线解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解： 原抛物线的解析式为 将其向左平移 个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到 再向下平移 个单位长度，根据“上加下减”的原则 得到 故选： 6. 已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2﹣a+2018的值为（　　） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 【答案】C 【解析】 【分析】把（a，0）代入y=x2﹣x﹣1可以求得a2﹣a=1,再将其整体代入所求的代数式进行求值即可. 【详解】∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0）， ∴a2﹣a﹣1=0， ∴a2﹣a=1， ∴a2﹣a+2018=1+2018=2019. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其图像上点的坐标满足其解析式. 7. 如图，在中，，，，将绕点旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．把绕点O逆时针或顺时针旋转后得到时，根据点的位置得出坐标． 【详解】解：∵在中，，，， ∴绕点O逆时针旋转后得到，点在第二象限， ∴； 当绕点O顺时针旋转后得到，点在第四象限， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，,将绕点逆时针旋转,使点落在线段上的点处,点落在点处，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出AB，再在Rt△BDE中，求出BD即可； 【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB=5， ∵△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处， ∴AE=AC=4，DE=BC=3， ∴BE=AB-AE=5-4=1， 在Rt△DBE中，BD=， 故选A. 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点）．连接，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质；由旋转的性质可得，则可得，再由三角形外角的性质即可求得结果． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 抛物线C1：y1=mx2-4mx+2n-1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为(-1，2)，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为(0，-1)；③m>；④若抛物线C2：y2=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a<2；⑤不等式mx2-4mx+2n>0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴直线公式，即可求得对称轴直线；根据抛物线与坐标轴的交点的坐标特点，得出C点的坐标为：（0，2n-1）;把A点坐标（-1.2）代入抛物线解析式，整理得:2n=3-5m,再代入，整理得： 由已知抛物线与x轴有两个交点，故其根的判别式应该大于0，从而列出关于m的不等式，解出m的取值范围；由抛物线的对称性，B点的坐标为B（5，2），当的图像分别过点A、B时，其与线段分别有且只有一个公共点，此时，a的值分别为,从而得出a的取值范围；不等式的解可以看作是，抛物线位于直线y=-1上方的部分，则此时x的取值范围包含在函数值范围之内，然后作出判断即可. 【详解】①抛物线的对称轴为直线，故①正确； ②当x=0时，y=2n-1,故②错误； ③ 把A点坐标（-1.2）代入抛物线解析式，整理得:2n=3-5m 再代入，整理得： 由已知抛物线与x轴有两个交点，则 ，整理得: 解得：m>，故③错误. ④由抛物线的对称性，B点的坐标为B（5，2）， 其与线段分别有且只有一个公共点 此时，a的值分别为， 得出a的取值范围,即，故④正确. ⑤不等式的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值有正有负,故⑤错误,故选A. 【点睛】熟练掌握抛物线的性质是本题的解题关键. 二、填空题 11. 若4是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个实数根等于________； 【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，x1 x2 =,x1 +x1=即可求出另一个根. 【详解】设方程的另一个为x1， 则x1+4=﹣，即x1=﹣3. 故答案为﹣3. 12. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称轴是_____． 【答案】直线x＝2 【解析】 【分析】根据二次函数图象的轴对称性，即可得到答案． 【详解】∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于(﹣1，0)和(5，0)两点， ∴其对称轴为：直线x＝． 故答案为：直线x＝2． 【点睛】本题主要考查二次函数的轴对称性，掌握二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点关于抛物线的对称轴对称，是解题的关键． 13. 已知二次函数y＝(x﹣2)2﹣3，当x_____时，y随x的增大而减小． 【答案】＜2 【解析】 【分析】根据二次函数的性质,找到解析式中的a为1和对称轴,由a的值可判断出开口方向,在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性． 【详解】解:在y=（x-2）2-3中,a=1, ∵a＞0, ∴开口向上, 由于函数的对称轴为x=2, 当x＜2时,y的值随着x的值增大而减小, 当x＞2时,y的值随着x的值增大而增大, 故答案为:＜2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质,找到的a的值和对称轴,对称轴方程是解题的关键． 14. 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】在AB的左侧作等边三角形△ABK，连接DK．由△DAK≌△CAB，推出DK＝BC＝4，因为DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6，所以当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10． 【详解】如图，在AB的左侧作等边三角形△ABK，连接DK， 则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°， ∴∠DAC＝∠KAB， ∴∠DAK＝∠CAB， 在△DAK和△CAB中， ， ∴△DAK≌△CAB（SAS） ∴DK＝BC＝4， ∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6 ∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10． 故答案为10 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15. 已知抛物线与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程无实数根；③；④的最小值为3．其中正确的结论是_____________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到抛物线与直线没有交点，从而得到①②为正确；由x=-2时y都大于或等于零可以得到③④正确． 【详解】∵， ∴， ∴①正确； ∵抛物线与x轴最多有一个交点，抛物线开口向上， ∴抛物线与直线没有交点， ∴关于x的方程无实数根， ∴②正确； ∵及抛物线与x轴最多有一个交点， ∴x取任何值时，， ∴当时，， ∴③正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系． 三、解答题 16. 在一只不透明布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字，甲已两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜，这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法，说明理由． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平， 理由如下，画出树状图如下， 由树状图可知，一共有种等可能性，其中两数字和为奇数的有种，两数字之后和为偶数的有种， 甲胜的概率为，乙胜的概率为， ，即甲胜的概率大于乙胜的概率， 游戏规则对甲乙双方不公平． 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【详解】略 17. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， 即，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．． （1）将向左平移6个单位长度得到，请画出，并写出点，的坐标． （2）请画出关于原点O成中心对称的． 【答案】（1） 如图，即为所求， ， （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换、平移变换，点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． （1）根据，，．将向左平移6个单位长度得到即可； （2）根据中心对称的性质即可画出关于原点成中心对称的． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 略 19. 端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，为了使每天获利的利润更多，该店决定把零售单价下降元． （1）零售单价下降元后，该店平均每天可卖出___________只粽子，利润为__________元． （2）不在考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 【答案】（1）， （2）0.4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． （1）零售单价下降m元，每天可多卖出只粽子，再加上300即可得卖出的粽子数量；然后根据“降价前卖出1只粽子的利润是1元”可得降价m元后，卖出1只粽子的利润为元，据此乘以卖出的粽子数量即可得； （2）根据“每天的利润每只粽子的利润每天卖出的粽子数量”可建立一个关于m的一元二次方程，解方程，取较大的根即可． 【小问1详解】 解：由题意得：零售单价下降m元，每天可多卖出粽子（只）， 则该店平均每天可卖出的粽子数量为只， 降价前卖出1只粽子的利润是1元， 降价m元后，卖出1只粽子的利润为元， 则每天的利润为元， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，每天可卖出的粽子数量为（只）， 当时，每天可卖出的粽子数量为（只）， ∵要求卖出的粽子更多， ， 答：当m定为时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多． 20. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2）1或3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将变形为，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴m的值为1或3． 21. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹箁笆围成，篱笆总长33米．若墙长为米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若米，要围成的鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）试说明墙长取其他值时，对建150平方米面积的鸡场有何影响？ 【答案】（1）鸡场的宽是，长为 （2） 证明：由（1）知，建150平方米的鸡场，平行于墙的一边长为15米或20米， 当时，不能围成一个长方形鸡场； 当时，可以围成一个长方形鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形鸡场． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． （1）先设鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意； （2）根据实际问题当时，当时，当时，三种情况进行讨论，得出符合条件的值即可． 【小问1详解】 解：设鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则鸡场的宽是，长为． 【小问2详解】 略 22. 如图1，在中，于点 C，，在上截取，连接、，并延长交于点P． （1）求证：； （2）如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化？若不变，请说明理由． 【答案】（1） ∵ ∴ 又∵，， ∴ ∴； （2） 位置不发生变化，理由如下： 如图所示，设与交于点F， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后证明出，即可得到； （2）如图所示，设与交于点F，根据题意证明出，得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，直线：与该抛物线交于点A，D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线和x轴于点P，Q，R，点R位于点O，A之间． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）求线段的最大值； （3）连接，设与y轴交于点E，若四边形是平行四边形，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）当时，有最大值，最大值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用．熟练掌握待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数与一次函数性质，平行四边形性质，是解决问题的关键． （1）把代入，解方程组求出a、b、c的值，即得抛物线的解析式，把代入求出m值，即得直线的解析式； （2）设点，点，得，进而根据二次函数的性质即可求解． （3）根据，得到，当四边形是平行四边形时，，得到，解得，，即得点P的坐标． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． ∵直线经过点， ∴， 解得． 故直线的解析式为． 【小问2详解】 设点P的坐标为， 则点Q的坐标为． 由题意得，， ∴当时，有最大值， 最大值为． 【小问3详解】 ∵与y轴交于点E， ∴， ∴． 若四边形是平行四边形， 则， ∴． 解得或（舍去）， 当时，， 故点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $