第五章培优课01　平面向量之极化恒等式 讲义——2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 培优课01　平面向量之极化恒等式 一、 命题规律及备考策略 在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角度来综合解题。 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。 二、知识梳理 1.极化恒等式的代数形式与几何模型 代数形式：a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2]（极化恒等式）， 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 平行四边形模型： 在平行四边形ABCD中，·＝（｜｜2－｜｜2）. 三角形模型： 在△ABC中，D为BC的中点：·＝｜｜2－｜｜2＝｜｜2－｜｜2＝｜｜2－｜｜2. 2.极化恒等式的作用 极化恒等式说明向量的数量积可以由向量和、差的模表示，该式沟通了向量的数量积与向量的线性运算，沟通了实数与向量，有着广泛而重要的作用. 3.极化恒等式的适用条件 (1) 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化 (2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下 第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点; 第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差; 第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。 三、课堂考点突破 考点一　利用极化恒等式解决有关求值问题 [例1]　在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝　　　　. 考点二　利用极化恒等式解决有关最值问题 [例2]　如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，M点是线段AC上一动点，若以M为圆心、半径为1的圆与线段AC交于P，Q两点，则·的最小值为（　　） A.1　　B.2 C.3　　D.4 考点三 利用极化恒等式解决有关范围问题 [例3]　半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足＋＋＝0，点P是圆内一点，则·＋·的取值范围是（　　） A.[－4，14）　　B.（－4，14] C.[－4，4）　　 D.（－4，4] 变式训练 1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.·＝4，·＝－1，则·的值为　　　　. 2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则·的最大值是　　　　. 3.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O中，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是　　　　. 四、课后作业 1.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 3．已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则·的取值范围是(　　) A. B. C．[－3,5] D．[1－2，1＋2] 4．已知直线l：x＋y－1＝0与圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，则·的最小值为(　　) A．－ B. C. D. 5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C. D. 6．已知半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足＋＋＝0，点P是圆O内一点，则·＋·的取值范围是(　　) A．[－4,14) B．(－4,14] C．[－4,4) D．(－4,4] 7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________． 8.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·＝________. 9．在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________． 10．在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值为________． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 培优课01　平面向量之极化恒等式 一、 命题规律及备考策略 在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角度来综合解题。 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。 二、知识梳理 1.极化恒等式的代数形式与几何模型 代数形式：a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2]（极化恒等式）， 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 平行四边形模型： 在平行四边形ABCD中，·＝（｜｜2－｜｜2）. 三角形模型： 在△ABC中，D为BC的中点：·＝｜｜2－｜｜2＝｜｜2－｜｜2＝｜｜2－｜｜2. 2.极化恒等式的作用 极化恒等式说明向量的数量积可以由向量和、差的模表示，该式沟通了向量的数量积与向量的线性运算，沟通了实数与向量，有着广泛而重要的作用. 3.极化恒等式的适用条件 (1) 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化 (2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下 第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点; 第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差; 第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。 三、课堂考点突破 考点一　利用极化恒等式解决有关求值问题 [例1]　在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝　　　　. [答案]　－16 [解析]　·＝[（＋）2－（－）2] ＝[（2）2－] ＝（4×32－102）＝－16. 考点二　利用极化恒等式解决有关最值问题 [例2]　如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，M点是线段AC上一动点，若以M为圆心、半径为1的圆与线段AC交于P，Q两点，则·的最小值为（　　） A.1　　B.2 C.3　　D.4 [答案]　B [解析]　在Rt△ABC中，易得AC＝4，AC边上的高为， 所以·＝｜｜2－｜｜2＝｜｜2－1≥3－1＝2. 考点三 利用极化恒等式解决有关范围问题 [例3]　半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足＋＋＝0，点P是圆内一点，则·＋·的取值范围是（　　） A.[－4，14）　　B.（－4，14] C.[－4，4）　　 D.（－4，4] [答案]　A [解析]　如图，由＋＋＝0得＋＝，所以四边形ABOC为平行四边形， 在平行四边形ABOC中，OB＝OC， 故易知四边形ABOC是菱形， 连接BC，设四边形ABOC对角线的交点为E，连接PE，则AE＝OE＝1，BC＝2， 由极化恒等式得·＝－＝－1， ·＝－＝－3， 所以·＋·＝2－4， 因为P是圆内一点，所以0≤｜｜＜3， 所以－4≤2－4＜14，即－4≤·＋·＜14. 变式训练 1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.·＝4，·＝－1，则·的值为　　　　. 答案： 解析：设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n. 根据向量的极化恒等式，有·＝－＝9n2－m2＝4，·＝－＝n2－m2＝－1.联立解得n2＝，m2＝.因此·＝－＝4n2－m2＝.即·＝. 2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则·的最大值是　　　　. 答案：2 解析：如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，OM， 则·＝－.因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝（当且仅当O，N，M三点共线时取等号）， 所以·的最大值为2. 3.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O中，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是　　　　. 答案：[－2，6] 解析：如图，取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2. 又由极化恒等式得·＝PD2－AB2＝PD2－3， 因为P在圆O上，所以当P在点C处时，PDmax＝3， 当P在CO的延长线与圆O的交点处时，PDmin＝1，所以·的取值范围是[－2，6]. 四、课后作业 1.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　B 解析　∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝. 由极化恒等式得·＝2－2＝－1＝－. 2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 答案　B 解析　如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，则·(＋)＝2·＝2||2－||2＝2||2－≥－，当且仅当M与P重合时取等号． 3．已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则·的取值范围是(　　) A. B. C．[－3,5] D．[1－2，1＋2] 答案　C 解析　如图所示，在Rt△ABC上，不妨取AB的中点M，则·＝2－2＝2－4. 设圆C的半径为r，则r＝1， 而(PM)max＝CM＋r＝2＋1＝3，则(·)max＝32－4＝5； (PM)min＝CM－r＝2－1＝1， (·)min＝12－4＝－3. 因此·的取值范围是[－3,5]． 4．已知直线l：x＋y－1＝0与圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，则·的最小值为(　　) A．－ B. C. D. 答案　A 解析　如图，圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圆心C的坐标为(a,1－a)，则点C在直线l：x＋y－1＝0上，由极化恒等式知·＝||2－||2，而||2＝4，所以·＝||2－||2＝||2－1.因为点C是直线l：x＋y－1＝0上的动点，所以||的最小值即为点O到直线l的距离d＝OE＝＝，所以(·)min＝d2－1＝－. 5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　C 解析　由极化恒等式得 (a－c)·(b－c)＝[(a＋b－2c)2－(a－b)2]， ∵(a－c)·(b－c)＝0， ∴(a＋b－2c)2＝(a－b)2，故c2＝(a＋b)·c， 又|a|＝|b|＝1，a⊥b，∴|a＋b|＝， 于是|c|2≤|a＋b||c|＝|c|，∴|c|≤. 6．已知半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足＋＋＝0，点P是圆O内一点，则·＋·的取值范围是(　　) A．[－4,14) B．(－4,14] C．[－4,4) D．(－4,4] 答案　A 解析　如图，由＋＋＝0，得＋＝. 在平行四边形ABOC中，因为OB＝OC， 所以平行四边形ABOC是菱形，且BC＝2. 设菱形ABOC对角线的交点为E， 则由极化恒等式得 ·＝||2－||2＝||2－1， ·＝||2－||2＝||2－3， 所以·＋·＝2||2－4. 因为P是圆O内一点，所以0≤||<3， 所以－4≤2||2－4<14， 即－4≤·＋·<14. 7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________． 答案　1 解析　取AE的中点O(图略)，则·＝2－2＝1. 8.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·＝________. 答案　9 解析　由·＝2－2＝9－2＝－7，得||＝8， 则·＝·＝2－2＝25－×64＝9. 9．在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________． 答案　22 解析　取AB的中点E， 则·＝2－2＝2， 所以2＝18， 因为＝3，||＝8， 所以||＝2，||＝4， 延长AD，EP交于点F，故DP为△FAE的中位线，所以2＝＝40， 所以·＝2·＝·＝2－2＝22. 10．在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值为________． 答案　－ 解析　如图所示，取OB的中点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接PD， 则·＝·＝||2－||2＝||2－， 易知||∈[||，||]＝， 则·＝2－∈， 故所求最小值为－. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$