精品解析：黑龙江省绥化市望奎县第五中学（五四学制）2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年度初三上学期期中考试 数学试题 考生注意：考试时间90分钟；本题共计五道大题，满分120分． 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 等腰三角形中，有一个角是，则另外两个角分别为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当的角为顶角时，另外两个角为底角，度数相同均为：； ②当的角为底角时，则一个角为底角度数为，一个角为顶角，度数为； 故答案为：或 2. 两边长分别为，的等腰三角形的周长是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和腰长为，两种情况根据构成三角形的条件和三角形周长公式求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 当腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或， 故答案为：或． 3. 如图，在中，，， ，则________ ． 【答案】2． 【解析】 【分析】利用所对直角边是斜边一半即可解题． 【详解】解：∵∠C=，∠B=， ∴∠A=， ∵AB=4， ∴BC＝=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 4. 如图，，则______，______ ；若，，则______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】根据，可得其对应边对应角相等，即可得，，；由是公共角易证得，已知，，即可求得的度数． 【详解】解：， ，，； 是公共角 ，即， 已知，， ，． 故答案为：、、． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及比较角的大小，解题的关键是找到两全等三角形的对应角、对应边． 5. 如图，、相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键． 在与中，已经有条件：，，所以补充，可以利用证明两个三角形全等即可． 【详解】解：在与中， ，， 所以补充：， ， 故答案为：． 6. 点M（﹣2，1）关于x轴对称的点N的坐标是__，直线MN与x轴的位置关系是__． 【答案】 ①. （﹣2，﹣1） ②. 垂直 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】解：点M（﹣2，1）关于x轴对称的点N的坐标是（﹣2，﹣1），因为横坐标相同， 所以直线MN与x轴的位置关系是互相垂直． 7. 已知中，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理即可得. 【详解】 由三角形的内角和定理得： 即有 解得：. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理是解题关键. 8. 如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则的面积为______． 【答案】8 【解析】 【详解】在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，因为AE∥BD，所以h=h′，因为△ABD的面积为16，BD=8，所以h=4．则△ACB的面积==8． 9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为______． 【答案】3cm 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，AE=EC，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵△ABC的周长为19cm， ∴AB+AC+BC=19cm， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC，AE=EC， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=13cm， ∴AC=6cm， ∴AE=3cm， 故答案为3cm． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 10. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 二、选择题（每小题3分，计30分） 11. 年全国民航工作会议介绍了年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A. 春秋航空 B. 东方航空 C. 厦门航空 D. 海南航空 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的定义，进行判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； D、是轴对称图形，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点晴】本题考查了轴对称的图形，解题的关键是掌握轴对称的定义：图形沿着某一直线折叠能够完全重合的图形是轴对称图形． 12. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.若两条较短边的和小于或等于最长边，则不能构成三角形，据此分析即可. 【详解】A、，不满足三角形的三边关系，不符题意 B、，不满足三角形的三边关系，不符题意 C、，满足三角形的三边关系，符合题意 D、，不满足三角形的三边关系，不符题意 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟记三角形的三边关系是解题关键. 13. 一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ） A. 1080° B. 540° C. 2700° D. 2160° 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解． 【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得： ， ∴这个多边形的内角和为：， 故选A． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键． 14. 从多边形的一个顶点出发的所有对角线把这个多边形分成了4个三角形，则这个多边形的边数为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形． 【详解】解：． 解得：． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是多边形的对角线，明确过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形． 15. 某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据镜面对称的性质，平面镜中的成像与现实中的事物恰好左右颠倒，并关于镜面对称，由此可得题中图形在现实中的样子. 【详解】根据镜面对称的性质可得，题中图形在现实中的图形为 故选：C. 【点睛】本题考查了平面镜成像的特征，可以看成是数学里图形沿一条直线翻折后的变化. 16. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带④去 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故选：B． 17. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图可知，AP为的角平分线，由角平分线的性质得，的AB边上的高等于CD的长，再根据面积公式即可得. 【详解】由尺规作图可知，AP为的角平分线 则的AB边上的高等于CD的长 因此，的面积为： 故选：D. 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质，判断出AP为的角平分线是解题关键. 18. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连结AD，则∠CAD=（ ） A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 【答案】B 【解析】 【分析】由D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点可得AD=BD,可得∠ABC=∠BAD=50°,可得∠CAD的度数. 【详解】解：由题意得：D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点， AD=BD, ∠ABC=∠BAD=50°, ∠BAC=20°, ∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°, 故选B. 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键 19. 如图，已知是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且，，则（ ） A. 30° B. 20° C. 15° D. 10° 【答案】C 【解析】 【分析】由于△ABC是等边三角形，那么∠B＝∠1＝60°，而CD＝CG，那么∠CGD＝∠2，而∠1是△CDG的外角，可得∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，等量代换有4∠E＝60°，即可求得∠E． 【详解】解：如图所示， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠1＝60°， ∵CD＝CG， ∴∠CGD＝∠2， ∴∠1＝∠CGD+∠2=2∠2， ∵DF=DE， ∴∠DFE=∠E， ∴∠2＝∠DFE+∠E=2∠E， ∴4∠E＝60°， ∴∠E＝15°． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是利用外角性质得出∠1=2∠2，∠2=2∠E． 20. 如图，已知，直角的顶点是的中点，两边分别交于点．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定定理与性质、三角形全等的判定定理与性质，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键． 连接，证明，得到，推出是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等，结合三角形的中线平分面积，得到∴，判断即可． 【详解】解：如图，连接 ， 是等腰直角三角形 点是的中点 同理可得： ，故①正确 是等腰三角形 又是直角 是等腰直角三角形，故③正确 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴，故④正确； 假设②正确，由得，即 ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴两点重合，或两点重合，与题设不符，故②不正确 综上，正确的有①③④． 故选D 三、作图题（共18分） 21. 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）． 医疗站必须满足下列条件：（1）使其到两公路距离相等，（2）到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹） 【答案】 如图，点P即为所求， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题关键．先作两公路夹角的角平分线，再过张村和李村线段的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P． 【详解】略 22. 如图是由边长为的若干个小正方形拼成的方格图，的顶点，，均在小正方形的顶点上. （1）在图中建立恰当的平面直角坐标系，且使点的坐标为，并写出，两点的坐标； （2）在（1）中建立的平面直角坐标系内画出关于轴对称的； （3）求的面积. 【答案】 （1）如下： ； （2）画图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）先根据点A的坐标确定坐标原点O的位置，再画坐标轴，然后根据B，C两点在坐标轴中的位置即可写出坐标； （2）先根据点关于y轴对称的性质得到的坐标，然后在坐标系中描出点，再连接即可； （3）如图，由正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得. 【详解】（1）略． （2）略． （3）如图，的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积 即 则. 【点睛】本题考查了根据已知点的坐标建立平面直角坐标系、点关于y轴对称问题，正确建立平面直角坐标系是解题关键. 四、解答题（满分42分） 23. 如图，BD是△ABC的中线，△ABD的周长比△BCD的周长多2 cm.若△ABC的周长为18 cm，且AC＝4 cm，求AB和BC的长．. 【答案】AB＝8 cm，BC＝6 cm. 【解析】 【分析】由BD是△ABC的中线，可得AD=CD=AC，由△ABD的周长比△BCD的周长大2cm，可得AB-BC=2①，由△ABC的周长为18cm，且AC=4cm，可得4+AB+BC=18②， 联立①②即可求出AB与BC的长． 【详解】由题意知C△ABC＝18 cm，AC＝4 cm，∴AB＋BC＝14 cm①， ∵点D为AC的中点，∴AD＝DC， ∵C△ABD－C△BCD＝2 cm， ∴(AB＋BD＋AD)－(BC＋BD＋DC)＝2 cm，即AB－BC＝2 cm②， 由①②得AB＝8 cm，BC＝6 cm 【点睛】此题考查了三角形的中线与周长．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 24. 如图，E为上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 在与， ， ∴(AAS)， ∴． 【解析】 【分析】先由平行线的性质得，再由角的和与差得，根据AAS定理可得，最后根据三角形全等的性质可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键． 25. 如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=CE． （1）∠ABC的度数． （2）求证：BE=FE． 【答案】（1）60°； （2）∵CF=CE， ∴∠F=∠CEF， ∵∠ACB=60°=∠F+∠CEF， ∴∠F=30°， ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC， ∴∠EBC=30°， ∴∠F=∠EBC， ∴BE=EF； 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，即可得出∠ABC的度数； （2）根据BE=FE得出∠F=∠CEF=30°，再等边三角形的性质得出∠EBC=30°，即可证明； 【详解】（1）∵BE⊥AC于E，E是AC的中点， ∴△ABC是等腰三角形，即AB=BC， ∵AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°； （2）略 【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 27. （1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②； （2），，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，为中边上的高， ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴ ∴，， ∴，． ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由全等三角形的性质得出，，由角的和差关系即可求出．由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； ② ∵， ∴； （2）略 （3）∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度初三上学期期中考试 数学试题 考生注意：考试时间90分钟；本题共计五道大题，满分120分． 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 等腰三角形中，有一个角是，则另外两个角分别为__________． 2. 两边长分别为，的等腰三角形的周长是__________． 3. 如图，在中，，， ，则________ ． 4. 如图，，则______，______ ；若，，则______． 5. 如图，、相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是______． 6. 点M（﹣2，1）关于x轴对称的点N的坐标是__，直线MN与x轴的位置关系是__． 7. 已知中，，则________. 8. 如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则的面积为______． 9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为______． 10. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 二、选择题（每小题3分，计30分） 11. 年全国民航工作会议介绍了年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A. 春秋航空 B. 东方航空 C. 厦门航空 D. 海南航空 12. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 13. 一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ） A. 1080° B. 540° C. 2700° D. 2160° 14. 从多边形的一个顶点出发的所有对角线把这个多边形分成了4个三角形，则这个多边形的边数为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 15. 某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带④去 17. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 18. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连结AD，则∠CAD=（ ） A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 19. 如图，已知是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且，，则（ ） A. 30° B. 20° C. 15° D. 10° 20. 如图，已知，直角的顶点是的中点，两边分别交于点．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ①③④ 三、作图题（共18分） 21. 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）． 医疗站必须满足下列条件：（1）使其到两公路距离相等，（2）到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹） 22. 如图是由边长为的若干个小正方形拼成的方格图，的顶点，，均在小正方形的顶点上. （1）在图中建立恰当的平面直角坐标系，且使点的坐标为，并写出，两点的坐标； （2）在（1）中建立的平面直角坐标系内画出关于轴对称的； （3）求的面积. 四、解答题（满分42分） 23. 如图，BD是△ABC的中线，△ABD的周长比△BCD的周长多2 cm.若△ABC的周长为18 cm，且AC＝4 cm，求AB和BC的长．. 24. 如图，E为上一点，，，．求证：． 25. 如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=CE． （1）∠ABC的度数． （2）求证：BE=FE． 26. 如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是______． 27. （1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $