专题五 概率与统计 第1讲　计数原理与概率-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第1讲　计数原理与概率（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点一】排列与组合问题 3 【考点二】二项式定理 4 【考点三】概率 5 【专题精练】 7 考情分析： 1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主. 2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查. 3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用． 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 2．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 3．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 二、填空题 6．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 7．（2024·全国·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 8．（2024·全国·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 9．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 10．（2022·全国·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 11．（2022·全国·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ． 12．（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 考点突破 【考点一】排列与组合问题 核心梳理： 解决排列、组合问题的一般过程： (1)认真审题，弄清楚要做什么事情； (2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类； (3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素． 一、单选题 1．（23-24高三上·河南焦作·期末）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（    ） A．48 B．32 C．24 D．16 2．（23-24高二上·河南·期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 二、多选题 3．（2024·山西晋中·模拟预测）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法 B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法 C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法 D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法 4．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）正方体的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合，则（    ） A．中元素的个数为58 B．中每个四面体的体积值构成集合，则中的元素个数为2 C．中每个四面体的外接球构成集合，则中只有1个元素 D．中不存在四个表面都是直角三角形的四面体 三、填空题 5．（2024·河北沧州·一模）有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答） 6．（2024·江苏南通·模拟预测）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有 种． 规律方法： 排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化． 【考点二】二项式定理 核心梳理： 1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路： (1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简． (2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k. (3)代回通项公式即得所求． 2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式 用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解． 一、单选题 1．（2024·浙江·二模）展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．6 B．8 C．27 D．33 二、多选题 3．（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 4．（2024·广西来宾·一模）的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．二项式系数最大项为第五项 B．各项系数和为0 C．含项的系数为4 D．所有项二项式系数和为16 三、填空题 5．（23-24高三上·山东滨州·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 6．（2024·云南楚雄·一模）除以的余数是 ． 规律方法： 二项式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中C是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数． 【考点三】概率 核心梳理： 1．古典概型的概率公式 P(A)＝. 2．条件概率公式 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0， 则P(B|A)＝. 3．全概率公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． 一、单选题 1．（2024·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母的球的概率分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·二模）一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取球（不放回），记事件表示“第次取出的球是黑球”，，则下面不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（21-22高三上·江苏南通·阶段练习）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（    ） A． B． C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 4．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（    ） A． B．     C． D． 三、填空题 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为 . 6．（2024·湖南衡阳·二模）已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ． 规律方法： 求概率的方法与技巧 (1)古典概型用古典概型概率公式求解． (2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解． (3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解． 专题精练 一、单选题 1．（2023·福建·模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．88 D．100 2．（2023·广东·模拟预测）如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（    ） A．96种 B．64种 C．32种 D．16种 3．（2023·辽宁沈阳·一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 4．（2024·甘肃陇南·一模）已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有（    ） A．336 种 B．284种 C．264 种 D．186种 5．（2023·广东深圳·一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·山东德州·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·四川南充·二模）在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2021·全国·模拟预测）的展开式中的系数是（    ） A．60 B．80 C．84 D．120 二、多选题 9．（2024·山西·三模）已知函数，则（    ） A． B．展开式中，二项式系数的最大值为 C． D．的个位数字是1 10．（2023·山东·二模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 11．（2023·山东威海·一模）已知事件A，B满足，，则（    ） A．若，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 三、填空题 12．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 13．（2023·山东·一模）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为 ． 14．（2023·福建·模拟预测）若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲　计数原理与概率（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 8 【考点一】排列与组合问题 8 【考点二】二项式定理 12 【考点三】概率 16 【专题精练】 21 考情分析： 1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主. 2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查. 3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用． 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 2．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 3．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 二、填空题 6．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 7．（2024·全国·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 8．（2024·全国·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 9．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 10．（2022·全国·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 11．（2022·全国·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ． 12．（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B C A D B 1．B 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 2．C 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 3．A 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 4．D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 5．B 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 6． 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 7．5 【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 8． 24 112 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果. 9．64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 10．. 【分析】根据古典概型的概率公式即可求出． 【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率． 故答案为：． 11．/0.3 【分析】根据古典概型计算即可 【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 12．-28 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 考点突破 【考点一】排列与组合问题 核心梳理： 解决排列、组合问题的一般过程： (1)认真审题，弄清楚要做什么事情； (2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类； (3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素． 一、单选题 1．（23-24高三上·河南焦作·期末）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（    ） A．48 B．32 C．24 D．16 2．（23-24高二上·河南·期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 二、多选题 3．（2024·山西晋中·模拟预测）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法 B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法 C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法 D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法 4．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）正方体的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合，则（    ） A．中元素的个数为58 B．中每个四面体的体积值构成集合，则中的元素个数为2 C．中每个四面体的外接球构成集合，则中只有1个元素 D．中不存在四个表面都是直角三角形的四面体 三、填空题 5．（2024·河北沧州·一模）有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答） 6．（2024·江苏南通·模拟预测）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有 种． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C ACD ABC 1．C 【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解. 【详解】1与4相邻，共有种排法， 两个2之间插入1个数， 共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法， 则总共有种密码． 故选：C 2．C 【分析】分类当丙站在左端时及丙不站在左端时的情况计算即可得. 【详解】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法； 当丙不站在左端时，有种站法. 由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法. 故选：C. 3．ACD 【分析】利用捆绑法解决选项A，利用插空法解决选项BC，利用特殊元素优先法解决选项D. 【详解】选项A，将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列， 则有（种），故A正确； 选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法， 先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中， 则有（种），故B错误； 选项C，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中， 则有（种），故C正确； 选项D，将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中， 先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列， 则有（种），故D正确. 故选：ACD. 4．ABC 【分析】由8个顶点中选取4个不共面顶点，确定中元素的个数判断选项A；由每个四面体的结构特征，计算体积值判断选项B；由每个四面体的外接球特征判断选项C；寻找四个表面都是直角三角形的四面体判断选项D. 【详解】正方体的8个顶点中任取4个，共有种情况， 其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，不构成四面体， 所以中元素的个数为58，A选项正确； 四面体的体积有以下两种情况： 第一种情况如下图所示，四面体的四点在相对面且异面的对角线上，如四面体， 若正方体棱长为，则四面体体积为 ，    第二种情况如下图所示，四面体的四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，如四面体， 若正方体棱长为，则四面体体积为，    所以中每个四面体的体积值构成集合，则中的元素个数为2，B选项正确； 每个四面体的外接球都是原正方体的外接球，中只有1个元素，C选项正确； 如下图， 四面体的每个面都是直角三角形，D选项错误.    故选：ABC 5． 【分析】根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以顺序. 【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论， 当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种； 当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种； 合计有种不同分配方案， 故答案为：. 6．36 【分析】根据分步计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出． 【详解】根据题意，设5人为甲乙丙丁戊， ①，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况， ②，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法， ③，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有种安排方法， 不同的安排方案共有种； 故答案为： 规律方法： 排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化． 【考点二】二项式定理 核心梳理： 1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路： (1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简． (2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k. (3)代回通项公式即得所求． 2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式 用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解． 一、单选题 1．（2024·浙江·二模）展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．6 B．8 C．27 D．33 二、多选题 3．（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 4．（2024·广西来宾·一模）的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．二项式系数最大项为第五项 B．各项系数和为0 C．含项的系数为4 D．所有项二项式系数和为16 三、填空题 5．（23-24高三上·山东滨州·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 6．（2024·云南楚雄·一模）除以的余数是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A D AB BD 1．A 【分析】写出二项展开式的通项公式，令的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故选：A. 2．D 【分析】解法一：将原展开式可以看作与展开式各项的乘积，然后根据二项式定理展开式的通项，分别求出两个二项式展开式中含的项，即可得出答案；解法二：化为，然后反复根据二项式定理展开式求解即可得出答案. 【详解】解法一： 因为，即原展开式可以看作两个二项式展开式各项的乘积. 展开式的通项为， 则，展开式中含的项为，含的项为，含的项为； 展开式的通项为， 则，展开式中含的项为，含的项为，含的项为. 综上所述，的展开式中的项为，系数为. 解法二： 因为，展开式的通项为. 要使展开式中含，则可取或. 当时，，展开式的通项为， 显然时，展开式含，该项为； 当时，，展开式的通项为， 显然时，展开式含，该项为. 综上所述，的展开式中的项为，系数为. 故选：D． 3．AB 【分析】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A；二项式系数的最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式，再对赋值，即可确定C；令，可求出所有项的系数的和，从而确定D. 【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确； 对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确； 对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误； 对于D,令，则所有项系数和为，故D错误. 故选：AB. 4．BD 【分析】利用二项式系数的性质判断AD；利用赋值法判断B；利用二项式定理得到的展开通项，从而求得含项的系数判断C. 【详解】对于A，因为展开式一共五项，所以二项式系数最大项为第三项，故A错误； 对于B，令时，，所以各系数的和为0，故B正确； 对于C，因为的展开通项公式为， 令，得，故含项的系数为，故C错误； 对于D，所有项的二项式的系数和为，故D正确. 故选：BD. 5． 【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数. 【详解】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： 6．24 【分析】利用二项式定理得到，故求出余数. 【详解】 ， ∴除以1000的余数是24． 故答案为：24 规律方法： 二项式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中C是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数． 【考点三】概率 核心梳理： 1．古典概型的概率公式 P(A)＝. 2．条件概率公式 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0， 则P(B|A)＝. 3．全概率公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． 一、单选题 1．（2024·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母的球的概率分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·二模）一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取球（不放回），记事件表示“第次取出的球是黑球”，，则下面不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（21-22高三上·江苏南通·阶段练习）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（    ） A． B． C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 4．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（    ） A． B．     C． D． 三、填空题 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为 . 6．（2024·湖南衡阳·二模）已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A D ACD ABD 1．A 【分析】利用古典概型的概率及全概率公式求出后可得正确的选项. 【详解】设为“甲摸到标有字母的球”，为“乙摸到标有字母的球”，则， 而， 故. 故选：. 2．D 【分析】根据给定条件，借助排列、组合应用问题，利用古典概率、条件概率公式逐项计算即得. 【详解】依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是，它们等可能， 对于A，表示第3次取出黑球，，A正确； 对于B，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，B正确； 对于C，，， 所以，C正确； 对于D，，所以，D错误. 故选：D 3．ACD 【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念，以及对应的概率计算公式可以得到答案. 【详解】因为，A正确，B错误； 由独立事件定义，若A，B独立，则，，C正确； 若A，B互斥，则，，，D正确． 故选：ACD 4．ABD 【分析】对于A项，重复一次操作，甲袋中有1红的情况有两种，运用互斥事件的概率加法公式计算即得；对于B项，运用条件概率公式，分别算出和代入公式计算即得；对于C项，运用独立事件的概率乘法公式计算即得；对于D项，运用相容事件的并的概率公式计算即得. 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白． 对于A项，重复1次操作，甲口袋中有1红的概率，故A项正确； 对于B项，，，，故，故B项正确； 对于C项，因事件与相互独立，则，，故C项错误； 对于D项，，故D项正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：对所求事件所包含的情况的判断，求若干事件的并的概率，需要判断互斥还是相容，对于条件概率题，要么用样本空间中基本事件数计算，要么用概率公式计算，对于积事件的概率应先判断两事件的独立性，再用公式求. 5． 【分析】结合全概率公式与条件概率公式计算即可得. 【详解】设表示“取到的零件是第台车床加工”，表示“取到的零件是次品”， 则 ， ， 故. 故答案为：. 6． 【分析】确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果. 【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜； 若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 所以盒中恰有7个球的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果. 规律方法： 求概率的方法与技巧 (1)古典概型用古典概型概率公式求解． (2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解． (3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解． 专题精练 一、单选题 1．（2023·福建·模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．88 D．100 2．（2023·广东·模拟预测）如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（    ） A．96种 B．64种 C．32种 D．16种 3．（2023·辽宁沈阳·一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 4．（2024·甘肃陇南·一模）已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有（    ） A．336 种 B．284种 C．264 种 D．186种 5．（2023·广东深圳·一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·山东德州·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·四川南充·二模）在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2021·全国·模拟预测）的展开式中的系数是（    ） A．60 B．80 C．84 D．120 二、多选题 9．（2024·山西·三模）已知函数，则（    ） A． B．展开式中，二项式系数的最大值为 C． D．的个位数字是1 10．（2023·山东·二模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 11．（2023·山东威海·一模）已知事件A，B满足，，则（    ） A．若，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 三、填空题 12．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 13．（2023·山东·一模）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为 ． 14．（2023·福建·模拟预测）若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A D D C D BD ACD 题号 11 答案 BD 1．D 【分析】由题意可知，若甲去点，则剩余4人，可只去两个点，也可分为3组去3个点.分别求出安排种法，相加即可得出甲去点的安排方法.同理，即可得出甲去点的安排方法，即可得出答案. 【详解】若甲去点，则剩余4人，可只去两个点，也可分为3组去3个点. 当剩余4人只去两个点时，人员分配为或， 此时的分配方法有； 当剩余4人分为3组去3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有， 综上可得，甲去点，不同的安排方法数是. 同理，甲去点，不同的安排方法数也是， 所以，不同的安排方法数是. 故选：D. 2．B 【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果. 【详解】根据题意，分3步进行， 第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有种排法； 第二步，排第一步中剩余的一组数，共有种排法； 第三步，排数字5和6，共有种排法； 由分步计数原理知，共有不同的排法种数为. 故选：B. 3．C 【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案. 【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种. 故选：C. 4．A 【分析】根据题意考虑两端的位置排的是男生或女生的情况，结合女同学不相邻，求出各种情况的排法数，根据分类计数加法原理，即可求得答案. 【详解】当2名女生站在两端时，3名男生和1名老师排在中间， 共有种排法； 当有1名女生排在一端，另一端排男生时， 共有种排法； 当男生排在两端时，共有种排法； 故不同的排法共有（种）， 故选：A 5．D 【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案. 【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人； 当分为3,1,1人时，有种实习方案， 当分为2,2,1人时，有种实习方案， 即共有种实习方案， 其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种， 故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为， 故选：D. 6．D 【分析】将化为，利用二项式通项公式可求得，判断A；根据二项式的系数和式的特征，利用赋值法可分别判断B，C，D. 【详解】由题意可知，故，A错误； 由， 令，可得，B错误； 令，则， 故，C错误； 令，则， 故，D正确， 故选：D 7．C 【分析】根据二项式系数和求得n，利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】在二项式 展开式中，二项式系数的和为， 所以. 则即，通项公式为， 故展开式共有9项，当时，展开式为有理项， 把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻， 即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有种, 故有理项都互不相邻的概率为, 故选：C 8．D 【解析】的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可. 【详解】的展开式中的系数是 因为且，所以， 所以， 以此类推，. 故选：D. 【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用. 9．BD 【分析】对于A：根据二项展开式分析求解；对于B：根据二项式系数的性质分析求解；对于C：利用赋值法，令、即可得结果；对于D：因为，结合二项展开式分析求解. 【详解】对于选项A：的展开式的通项为， 令，可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为为偶数，可知二项式系数的最大值为，故B正确； 对于选项C：令，可得； 令，可得； 所以，故C错误； 对于选项D：因为， 且的展开式的通项为， 可知当，均为20的倍数，即个位数为0， 当时，，所以的个位数字是1，故D正确； 故选：BD. 10．ACD 【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误. 【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”， 为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则，，故A正确. ，，故B错误. 而，故C正确. 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件， 故D正确. 故选：ACD. 11．BD 【分析】对于A，由题意可得，从而即可判断； 对于B，由互斥事件的概率计算公式计算即可； 对于C，先求得，再根据独立事件的计算公式计算即可； 对于D，判断是否成立即可. 【详解】解：对于A，因为，，， 所以，故错误； 对于B，因为A与B互斥，所以，故正确； 对于C，因为，所以，所以，故错误； 对于D，因为，即，所以， 又因为，所以， 所以A与B相互独立，故正确. 故选：BD 12．0.85 【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案. 【详解】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． 故答案为：0.85． 13． 【分析】根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占，进而由对立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占， 在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率， 在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率， 则小张决定采购该企业产品的概率； 故答案为：． 14． 【分析】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，；同时每次运动点不是由上底面运动来，就是由下底面运动来的，则可由全概率公式得到递推关系，然后构造数列求通项即可. 【详解】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”， 设，则， 由题意知，， 则由全概率公式可得，， 则， 即，两边同减去可得，， 又已知， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 故当时，. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$