精品解析：陕西省西安市高新逸翠园初级中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

西安高新逸翠园初级中学 2024-2025学年度第一学期期中考试九年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 某几何体如图水平放置，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，看的见的棱用实线，看不见的棱用虚线．据此可得答案． 【详解】解：主视图为． 故选：A 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，由题意得一次项系数是． 【详解】解：∵方程为一般形式， ∴一次项系数是， 故选：B 3. 有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，利用反比例函数的定义，一般地，形如，的函数是反比例函数，对每个式子逐一判断即可得出结论． 【详解】解：反比例函数形式为：， 则①是反比例函数，②不是反比例函数，③是反比例函数， ④是反比例函数，⑤不是反比例函数，⑥不是反比例函数， 故①③④是反比例函数， 故选：C． 4. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的应用；由黄金分割知：，由此可求得的长． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， 即， 故选：A． 5. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数值．根据互余两个角的三角函数值的关系进行解答即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故选C． 6. 一不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中黄球约有（ ）个． A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，由概率结果还原事件．解决问题的关键是熟练掌握频率估计概率，利用概率公式构建方程，求出黄球个数． 设黄球有x个，根据口袋中装有10个红球，摸到红球的频率为0.4，根据用频率估计概率得到，解方程即可． 【详解】设黄球有x个， ∵大量重复实验，摸到红球的频率为0.4， ∴摸到红球的概率的估计值为0.4， ∴， 解得，． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴口袋中黄球约有15个． 故选：D． 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当时，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选：A． 8. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A. 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 【答案】C 【解析】 【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过秒时, 与相似, 则 , 当 时, , 即 解得： 当 时, , 即 解得： 综上所述：经过或秒时,与相似 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．由已知比例，可将b用a表示，代入所求分式化简即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是___． 【答案】k≥﹣1且k≠0 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根， ∴ 解得k≥﹣1且k≠0． 故答案为：k≥﹣1且k≠0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 11. 如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设BG=x，则BE=x，即BC=x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2. 【详解】设BG=x， 则BE=x， ∵BE=BC， ∴BC=x， 则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2. 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，图形相似的性质.解此题的关键在于根据正方形的性质得到相关边长的比. 12. 已知三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件， 先利用因式分解法解方程得到或，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的范围，进而确定第三边的长即可得到答案． 【详解】解：解方程得或， ∵三角形两边的长是2和4， ∴第三边长， ∵第三边的长是方程的根， ∴第三边长为4， ∴该三角形的周长是， 故答案为：10． 13. 在平面直角坐标系中，点是函数与的图象的一个交点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，代入代数式即可求解； 【详解】解：∵点是函数与的图象的一个交点， ∴，即， ∴ 故答案为：． 三、简答题（共81分） 14. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，能根据方程的特点选择适当的解方程的方法是关键． （1）利用直接开方法求解即可； （2）先化为一般形式，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ 解得：； 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案． 【详解】解： ． 16. 把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ． （2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率． 【答案】（1） （2） 所有可能出现的结果画树状图如图： 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，树状图法求随机事件发生的概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：从中随机抽取一张牌是红心的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 共有12个等可能的结果，抽取的两张牌牌面数字之和大于9的结果有4个， ∴抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率为． 17. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出顶．若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】每顶头盔应降价元； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据利润等于利润单价乘以数量列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设每顶头盔应降价元，由题意可得， ， 解得：，， ∵售价不高于元， ∴不符合题意舍去， ∴， 答：每顶头盔应降价元． 18. 在中，，是边上的中线，，求和． 【答案】.，， 【解析】 【分析】利用，是边上的中线，先求解 证明再利用勾股定理求解 再由等角的三角函数值相等，从而可得答案. 【详解】解：如图，，是边上的中线， 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的定义，掌握锐角的正弦，余弦，正切的定义是解题的关键. 19. 已知是坐标原点，、的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； （2）若点在线段上，点对应点的坐标为________． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得出、，再顺次连接即可； （2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点在线段上，点D对应点的坐标为． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 21. 某校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜小明刚好看到大雁塔的顶端M的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和塔顶M在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点N、C、B、F、D在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 【答案】大雁塔的高度为64米 【解析】 【分析】设米，证明，推出，可得，再证明，推出，构建方程求解即可． 【详解】解：设米． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 答：大雁塔的高度为64米． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 22. 某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． （1）求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 【答案】（1）与之间的函数表达式为 （2）该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程． 23. 已知：如图，在中，点D在边上，，，与交于点F． （1）求证：； （2）连接，如果，求证∶． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，即可得出； （2）先推导出，证明，得，即可证明进而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，． （1）求双曲线的解析式． （2）已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点H的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数k系数的几何意义； （1）作轴于H．根据解析式确定，由三角形面积可求，，代入反比例函数解析式求解； （2）作轴于M，轴于E．设．由，可得，于是，根据绝对值性质分情况求解，得H的坐标为或． 【小问1详解】 （1）如图1中，作轴于H，连接． ∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图2中，作轴于M，轴于E．设． ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，整理得，解得或（舍弃）， 当时，整理得，解得或3（舍弃）． 综上所述，满足条件的点H的坐标为或． 25. 如图，的顶点坐标分别为，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作分别交、于点M、N，连接、．设运动时间为t（秒）． （1）点M的坐标________（用含t的式子表示）； （2）是否存在这样的直线l，总能平分四边形的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由； （3）连接，当时，求点N到的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过M点作轴于G点．过A点作轴于D点，利用三角形相似的判定定理证明两个三角形相似，根据对应边成比例，从而可得答案； （2）根据坐标先求解长度，再证明 再利用相似三角形的性质证明 证明四边形为平行四边形，则当直线l过的对角线交点时，总能平分其面积；再利用平行四边形的性质求解对角线的中点坐标，从而可得答案； （3）当＜时，证明，利用三角形相似，对应边成比例，求解时间 再利用等面积法求解点到直线的距离即可．当、时，与是重合的，不合题意，舍去． 【小问1详解】 解：如图所示，过M点作轴于G点．过A点作轴于D点．则， ， ， ∴ 四边形为矩形， ∴， ，， ∴，， ， ， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接 交于 ∵， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形 过的任意直线都平分的面积， ∴由中点坐标公式可得：，即l过点H， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当＜时， ∵ ∴ ∴，即， ∴， 经检验；是原方程的根，是增根，舍去， 此时： 如图，过作于 当和时，即与是重合的，不符合 的前提， ∴、不合题意． 综上，到的距离为． 【点睛】本题考查了平面图形中动点的综合性问题，涉及动点的轨迹，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的定义与性质，矩形的判定与性质，图形与坐标，列二次函数的关系式，二次函数的性质，解题的关键是：灵活应用基础知识；注意知识的系统化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安高新逸翠园初级中学 2024-2025学年度第一学期期中考试九年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 某几何体如图水平放置，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3. 有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 一不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中黄球约有（ ）个． A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A. 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 已知，则________． 10. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是___． 11. 如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为_____． 12. 已知三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是_____． 13. 在平面直角坐标系中，点是函数与的图象的一个交点，则的值为________． 三、简答题（共81分） 14. 解方程： （1）． （2）． 15. 计算： 16. 把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ． （2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率． 17. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出顶．若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 18. 在中，，是边上的中线，，求和． 19. 已知是坐标原点，、的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； （2）若点在线段上，点对应点的坐标为________． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21. 某校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜小明刚好看到大雁塔的顶端M的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和塔顶M在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点N、C、B、F、D在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 22. 某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． （1）求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 23. 已知：如图，在中，点D在边上，，，与交于点F． （1）求证：； （2）连接，如果，求证∶． 24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，交双曲线于点，． （1）求双曲线的解析式． （2）已知点是双曲线上一动点，若，求点的坐标． 25. 如图，的顶点坐标分别为，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作分别交、于点M、N，连接、．设运动时间为t（秒）． （1）点M的坐标________（用含t的式子表示）； （2）是否存在这样的直线l，总能平分四边形的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由； （3）连接，当时，求点N到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $