精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第一中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024－2025学年度上学期阶段质量检测 八年数学卷 一、单选题 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 有两边及一角对应相等的两个三角形全等 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 4. 如图，已知和BF交于点D，①≌；②≌，③D在的平分线上，则以上结论中正确的是（ ） A. 只有① B. 只有①② C. 有①②③ D. ①和③ 5. 如图，AB⊥BC，EC⊥BC，AD⊥DE，AD=DE，AB=3，BC=8，则CE长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 6. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ） A. 1：1：1 B. 2：4：3 C. 4：6：5 D. 4：6：10 7. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最大时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下六个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°；⑤；⑥AD平分∠EDB．其中结论正确的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 9. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ） A. 9 B. 6 C. 5 D. 4 10. 如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知点在第四象限，其坐标是，且．试写出2个满足这些条件的点：__________． 12. 过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画_________条对角线，且把n边形分成 _________个三角形． 13. 如图，点A、C分别是y轴、x轴正半轴上的动点、．将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则的最小值是____． 14. 某运动员站在镜子前，胸前的号码在镜子中的像为，那么他胸前的号码是_________． 15. 如图，，若要证明，则需添加的一个条件是______． 16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E、F是AD上的两点，AD＝6cm，BC＝5cm，则图中阴影部分的面积之和为______． 17. 如图，分别是与它的邻补角的平分线，，垂足为点，，垂足为点，分别交边于点和．若，则的长为______． 18. 如图，在中，为中点，，，交于，，，那么______． 19. 在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则________ 20. 如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是__． 三、解答题 21. 尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）： （1）如图，在中，作的角平分线交于点； （2）在（1）条件下，求作，使得，且点与对应，点在上． 22. 在图中平面直角坐标系中： （1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A'B'C'，其中点A，B，C的对称点分别为点A'，B'，C'． （2）AB＝　 　；S△ABC＝　 　；点B'的坐标为　 　． 23. 如图A,B,D在同一条直线上，∠A=∠D=90°，AB=DE,∠BCE=∠BEC, （1）求证：△ACB≌△DBE （2）求证：CB⊥BE 24. 如图，和都是等腰直角三角形，且，．求证：． 25. 如图，在等腰中，，点，，在同一直线上，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 26. 如图，点在一条直线上，，，．写出与之间的关系，并证明你的结论． 27. 在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，∠EDF=45°，E、F分别在AC、BC的延长线上，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N． （1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF； （2）如图2，求证：CD2=CE·CF； （3）若CD =，CF=1，求DN的长． 28. 如图，在等腰中，，D、E分别为上的点，且满足． （1）求证：； （2）连接，试判断与的位置关系，并证明． 29. （1）尺规作图：如图，作出的角平分线、中线；（保留作图痕迹） （2）已知，，则中线的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度上学期阶段质量检测 八年数学卷 一、单选题 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出第三条边的长度的范围，再与选项作比较分析，即可作答． 【详解】解：∵三角形的两条边的长度分别是和 ∴第三条边的长度 即第三条边的长度 只有B选项在此范围内， 故选B 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 有两边及一角对应相等的两个三角形全等 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内心的定义、平行四边形的定义、全等三角形的判定定理、菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意． 故选∶D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的判定定理、定义． 4. 如图，已知和BF交于点D，①≌；②≌，③D在的平分线上，则以上结论中正确的是（ ） A. 只有① B. 只有①② C. 有①②③ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，由已知OA=OB，OE=OF，一对公共角∠O=∠O，即可判断△OAE和△OBF全等； 对于②，由≌，可得∠A=∠B，再根据OA=OB，OE=OF，不难得到AF=BE，由对顶角∠ADF=∠BDE，继而可得≌； 对于③，可连接OD，由≌，得AD=BD，再由OA=OB，OD=OD，也不难得到△OAD和△OBD全等，故∠AOD=∠BOD，根据角平分线的定义可判断，综上所述即得答案. 【详解】对于①，由已知OA=OB，OE=OF，一对公共角∠O=∠O，即可判断△OAE和△OBF全等； 对于②，由≌，可得∠A=∠B，再根据OA=OB，OE=OF，不难得到AF=BE，由对顶角∠ADF=∠BDE，继而可得≌； 对于③，可连接OD，由≌，得AD=BD，再由OA=OB，OD=OD，也不难得到△OAD和△OBD全等，故∠AOD=∠BOD，根据角平分线的定义可判断，D在的平分线上. 故选:C. 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判断，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键； 5. 如图，AB⊥BC，EC⊥BC，AD⊥DE，AD=DE，AB=3，BC=8，则CE长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由“AAS”可证△ADB≌△DEC，可得AB=DC=3，BD=CE，即可求解． 【详解】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，AD⊥DE， ∴∠B=∠C=∠ADE=90°， ∴∠A+∠ADB=90°=∠ADB+∠EDC， ∴∠A=∠EDC， 在△ADB和△DEC中， ， ∴△ADB≌△DEC（AAS）， ∴AB=DC，BD=CE， ∵AB=3， ∴DC=3， ∵BC=8 ∴BD=CE=BC-DC=5， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 6. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ） A. 1：1：1 B. 2：4：3 C. 4：6：5 D. 4：6：10 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质可得OE＝OF＝OD，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是三个角的角平分线的交点， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△AOC ＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD ＝AB：BC：AC ＝8：12：10 ＝4：6：5， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及三角形的面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 7. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最大时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案． 【详解】解： 如图，作点关于直线的对称点， 则有， ∴； ∵， ∴当、、三点共线时，取到最大值； 连接， 设， 则有， 解得， ∴， 联立， 解得， 即此时． 8. 已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下六个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°；⑤；⑥AD平分∠EDB．其中结论正确的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】①由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△与△全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由△与△全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案；⑤由△与△全等可得两个三角形面积相等；⑥求得∠ADE＝∠ADB＝45°，可得结论正确． 【详解】解：①， ，即， 在和中，， （SAS）， ，本选项正确； ②为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，本选项正确； ③， ， ， 则，本选项正确； ④， ，故此选项正确， ⑤ ∴，本选项正确； ⑥∵BD⊥CE，∠ADE＝45°， ∴∠ADB＝90°−45°＝45°， ∴∠ADE＝∠ADB， ∴AD平分∠EDB，本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定方法有：SSS、ASA、SAS、AAS和HL． 9. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ） A. 9 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，本题过作于，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点到的距离为4． 故选D 10. 如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理得到，利用角平分线性质得到，利用三角形内角和定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，进而得到，再证明，利用全等三角形性质得到，即可求得的长． 【详解】解：，， ， 是的角平分线，于点，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 二、填空题 11. 已知点在第四象限，其坐标是，且．试写出2个满足这些条件的点：__________． 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据点所在的象限确定x、y的取值范围，根据给出符合的x、y的值即可得到答案. 【详解】∵点在第四象限，其坐标是， ∴x>0，y<0， ∵， ∴当x=1时，y=-1；当x=2时y=-2， 故答案为：或（答案不唯一）. 【点睛】此题考查了直角坐标系中点的坐标特点：第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数，再根据给出符合的值即可解决问题. 12. 过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画_________条对角线，且把n边形分成 _________个三角形． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据四边形可以条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引条对角线，被分成个三角形． 【详解】从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形 故答案为：，． 【点睛】本题考查了多边形的规律问题，掌握对角线和三角形的性质、多边形的规律是解题的关键． 13. 如图，点A、C分别是y轴、x轴正半轴上的动点、．将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则的最小值是____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过点B作于点D，连接．由旋转的性质易证是等边三角形，从而可求出，进而可求．最后由三角形三边关系可得出，且当点B，O，D在同一直线上时取等号，即得出的最小值是． 【详解】如图，连接，过点B作于点D，连接． 由旋转的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴点D为中点， ∴， ∴． ∵，且当点B，O，D在同一直线上时取等号， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，以及三角形三边关系的应用．正确作出辅助线并理解当点B，O，D在同一直线上时最小是解题关键． 14. 某运动员站在镜子前，胸前的号码在镜子中的像为，那么他胸前的号码是_________． 【答案】96 【解析】 【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的数与96成轴对称，所以它的实际号码是96． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，理解轴对称的性质，是解题的关键． 15. 如图，，若要证明，则需添加的一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法()即可求解. 【详解】已知，， 若添加，则可根据证明； 若添加，则可根据证明； 若添加，则可根据证明； 若添加，则，根据可证明. 故答案为：或或或 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E、F是AD上的两点，AD＝6cm，BC＝5cm，则图中阴影部分的面积之和为______． 【答案】7.5 【解析】 【分析】根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形ABC面积的一半． 【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，AD是角平分线， ∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴， ∴S△CEF=S△BEF， ∴S阴影=S△ABD=， ∵AB=AC，AD是角平分线， ∴AD是BC边上的高， ∵BC=5cm，AD=6cm， ∴S△ABC= ==15cm2， ∴S阴影==cm2． 故答案为7.5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用对称性质发现并利用△CEF和△BEF的面积相等是解答本题的关键． 17. 如图，分别是与它的邻补角的平分线，，垂足为点，，垂足为点，分别交边于点和．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，由此可证四边形是矩形，根据矩形的性质，等腰三角形的性质可得，是的中位线，由此即可求解． 【详解】解：∵分别是与它的邻补角的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中位线的性质等知识的综合，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 18. 如图，在中，为中点，，，交于，，，那么______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，连接，过点作延长线于点，由垂直平分线的性质，角平分的性质定理得到，，可证，得到，再证，得到，则有，解得，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作延长线于点， ∵为中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：10 ． 19. 在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明，勾股定理的灵活运用，本题中证明三角形全等得到相邻两个正放的正方形面积和等于这两个正方形间斜放的面积是解题的关键．由正方形的性质证明，则可得，同理得，，由此即可求解． 【详解】解：如图，由题意知，； ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 同理得，， ∴； 故答案为：4． 20. 如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是__． 【答案】##48度 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到，过点E作交延长线于F，作于G，作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出是的平分线，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵和的角平分线相交于点E， ∴， 由三角形的外角性质得，， ， ∴， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 过点E作交延长线于F，作于G，作于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出是外角的平分线． 三、解答题 21. 尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）： （1）如图，在中，作的角平分线交于点； （2）在（1）条件下，求作，使得，且点与对应，点在上． 【答案】 （1）如图所示，射线即为所求 （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交线段BC于点D； （2）作，根据AA判断． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线、作一个角等于已知角，涉及相似三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 22. 在图中平面直角坐标系中： （1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A'B'C'，其中点A，B，C的对称点分别为点A'，B'，C'． （2）AB＝　 　；S△ABC＝　 　；点B'的坐标为　 　． 【答案】（1） 如图，△A'B'C'即为所求； （2），，（-1，-1） 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可； （2）利用勾股定理，分割法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 AB=， S△ABC==，B′（-1，-1）． 【点睛】本题考查轴对称变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 23. 如图A,B,D在同一条直线上，∠A=∠D=90°，AB=DE,∠BCE=∠BEC, （1）求证：△ACB≌△DBE （2）求证：CB⊥BE 【答案】 证明：（1）∵∠BCE=∠BEC ∴BC=EB 在Rt△ACB和Rt△DBE中 ∴Rt△ACB≌Rt△DBE （2）∵Rt△ACB≌Rt△DBE ∴∠ABC=∠DEB ∵∠D=90° ∴∠DEB＋∠DBE=90° ∴∠ABC＋∠DBE=90° ∴∠CBE=180°－（∠ABC＋∠DBE）=90° ∴CB⊥BE 【解析】 【分析】（1）根据等角对等边可得：BC=EB，再利用HL即可证出Rt△ACB≌Rt△DBE； （2）由Rt△ACB≌Rt△DBE，可得：∠ABC=∠DEB，再根据∠DEB＋∠DBE=90°，从而得出：∠ABC＋∠DBE=90°，即可得出∠CBE=90°，即CB⊥BE. 【详解】略 【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性质和垂直的定义，掌握等角对等边、用HL判定两个三角形全等、直角三角形的两锐角互余是解决此题的关键. 24. 如图，和都是等腰直角三角形，且，．求证：． 【答案】 证明：和都是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在和中 ， ． 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质可求得，利用全等三角形的判定可证得结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 25. 如图，在等腰中，，点，，在同一直线上，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则在和中， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质和角的代换可得，进而证得结论； （2）根据全等三角形的性质和已知条件可得，，设，根据三角形的外角性质结合三角形的内角和定理可得关于x的方程，解方程进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题关键． 26. 如图，点在一条直线上，，，．写出与之间的关系，并证明你的结论． 【答案】 解：，，证明如下： ∵， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴，， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定，先求出，再根据证明，得出，，再根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得出． 【详解】略 27. 在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，∠EDF=45°，E、F分别在AC、BC的延长线上，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N． （1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF； （2）如图2，求证：CD2=CE·CF； （3）若CD =，CF=1，求DN的长． 【答案】 （1）证明：∵∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD=∠BCD=45°，∠ACF=∠BCE=90°， ∴∠DCF=∠DCE=135°， 在△DCF和△DCE中， ， ∴△DCF≌△DCE（SAS）， ∴DE=DF； （2）证明：∵∠DCF=135°， ∴∠F+∠CDF=45°， ∵∠FDE=45°， ∴∠CDE+∠CDF=45°， ∴∠F=∠CDE， ∵∠DCF=∠DCE，∠F=∠CDE， ∴△FCD∽△DCE， ∴， ∴CD2=CE•CF； （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD=45°，证明△DCF≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论； （2）证明△FCD∽△DCE，根据相似三角形的性质列出比例式，整理即可证明结论； （3）作DG⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出DG，由（2）的结论求出CE，证明△ENC∽△DNG，根据相似三角形的性质求出NG，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：如图2，过点D作DG⊥BC于G， ∵∠DCB=45°，∠CGD=90°，CD=， ∴CG=DG=CD=1， 由（2）可知，CD2=CE•CF， ∵CF=1， ∴CE==2， ∵∠ECN=∠DGN=90°，∠ENC=∠DNG， ∴△ENC∽△DNG， ∴， 即， 解得，NG=， 由勾股定理得，DN=． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 28. 如图，在等腰中，，D、E分别为上的点，且满足． （1）求证：； （2）连接，试判断与的位置关系，并证明． 【答案】（1）详见解析 （2）垂直平分，详见解析 【解析】 【分析】（1）由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明，得； （2）由，，推导出，则，再根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【小问1详解】 解：证明：在和中， ， ， ． 【小问2详解】 连接，， 证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 29. （1）尺规作图：如图，作出的角平分线、中线；（保留作图痕迹） （2）已知，，则中线的取值范围是________． 【答案】 解：（1）如图所示， （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，得到线段的中点D，连接即可．利用尺规作出的角平分线即可． （2）延长到E，使，连接，然后利用“”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】（1）略 （2）延长到E，使，连接， ∵AD是BC边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形的角平分线，中线，三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $