安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考（11月）数学试题

六安一中2025届高三年级第三次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，其中i是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为 ，若，则（     ） A．54 B．63 C．72 D．135 3．已知平面向量满足，，且．则向量与向量的夹角是（     ） A． B． C． D． 4．在等比数列中，已知，，，则n的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知数列满足，且，则的最小值是（ ） A．-15 B．-14 C．-11 D．-6 6．如图是边长为1的正三角形，是上一点且，则（     ） A． B． C． D．1 7．数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（     ） A． B． C． D． 8．已知是所在平面内一点，且,,,则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（     ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（     ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中最小项为 11．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则下列说法错误的是（     ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设正项等比数列的前项和为，若，则的值为 . 13．已知数列中，，，则数列前2024项的和为 . 14．在中，内角A, B, C所对的边分别为().已知,则的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 设等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，若，求m． 16．（本小题满分15分） 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角A； （2）若，求的长. 17．（本小题满分15分） 已知数列的前n项和为，. （1）求证：数列为等差数列； （2）在数列中，，若的前n项和为，求证：. 18．（本小题满分17分） 设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列. （1）求证：，并求出数列的通项公式（用表示）； （2）设为实数，对满足且的任意正整数，不等式都成立．求证：的最大值为. 19．（本小题满分17分） 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若，且在R上恒成立，求的最大值； （3）设，证明：. . 六安一中2025届高三年级第三次月考 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C B A A B B AB ABD ABC 6．A 【详解】，，且， 而三点共线，，即，， 所以.故选：A. 7．B 【详解】依题意，，，则，当时，， 两式相减得，即，因此数列是以512为首项，为公比的等比数列， 于是，显然数列单调递减，当时，，当，， 所以当或时，数列的前n项积最大，最大值为. 故选：B 8．B 【详解】设与的夹角为,与的夹角为， 的最大值为 或由 10．ABD 【详解】根据题意：，即， 两式相加，解得：，当时，最大，故A正确； 由，可得到，所以， ，所以，故C错误； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，； 所以使得成立的最小自然数，故B正确. 当，或时，；当时，； 由， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD. 11．ABC 【详解】数列是各项为正数的等比数列，则公比为， 由题意，得， 时，，有，，数列单调递增，A选项错误； 时，，，若数列单调递增，则， 即，由，需要，故B选项错误；时，，解得， 时，，由，若数列单调递减，则， 即，而 不能满足恒成立，C选项错误；时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确.故选：ABC 12．91 13．2024 14． 【详解】由得； ;令；则， ，可得为的极大值点，的最大值为. 15．（1）；（2）. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 根据题意，有，解得，所以； ……………………6分 （2）令，所以， ……………………9分 根据，可得， 整理得，因为，所以. ………………13分 16．(1) (2)或 【详解】（1）由得， 则由余弦定理得，，.…………5分 （2）由，解得①， ，，则②， …………9分 联立①②可得，，或. ，，则，且， 所以， 当时，，则长为； 当时，，则长为. 综上所述，的长为或. ……………………15分 17．（1）由题意： 又 ∴数列{}为等差数列.或由原式递推得 ……………6分 又，可证. （2）由（1）知：， ………………8分 ∴ ∴ ∴. …………15分 18． 【详解】（1）由题意知：， ， 化简，得： …………6分 ， 当时，，适合情形． 故所求 …………9分 （2）， 恒成立． 又且，，故， …………15分 当时，， ，由基本等式可得即，而，故， 故，故即的最大值为． …………17分 19． 【详解】（1）令，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，单调递增，则； …………5分 （2）令，；由得出；由得出 ； 令,；,易得是的极大值点。，的最大值为； ………………11分 （3）由（1）知，，令，则，即，设，则满足，所以，即，所以所以 即. ………………17分 4 学科网（北京）股份有限公司 $$