广西壮族自治区南宁市2024—2025学年七年级上学期数学阶段培优卷(三)

南宁市2024—2025学年七年级上学期阶段培优卷(三) 数 学 （考试时间120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡纸上。 2．请将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效。回答选择题时请用2B铅笔在答题卡上将选定的答案选项涂黑；回答非选择题时请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡纸一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1．一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上 这个数的次数是 A．99 B．100 C．101 D．102 2．若 ，则 的值为 A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 3．对于每个正整数n，设 表示 的末位数字，例如： （ 的末位数字）， （ 的末位数字）， （ 的末位数字）…，则 的值是 A． B． C． D． 4．三个互不相等的有理数，既可以表示为1， ， 的形式，也可以表示为0， ， 的形式，则 的值是 A．0 B．1 C．2 D． 5．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为 A． B． C． D． 6．把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为 ，一张B纸片的面积为 ，若 ，则图2中阴影部分面积为 A．10 B．12 C．14 D．16 7．如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按摇一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•“的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为 ，第3幅图形中“•”的个数为 ......以此类排， 的值为 A． B． C． D． 8．下列关于代数式“ ”所表示的意义的说法中正确的是 A． 与1的和 B． 与1的和的相反数 C． 与1的差 D． 与-1的差的相反数 9．已知 ，那么代数式 的是 A． B．0 C．3 D．9 10．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是 A．3 B．6 C．2 D．8 11．七年级某班的学生共有49人，军训时排列成 的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（    ） A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 B．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 12．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，接着再输入整数 ，则显示 的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是 ．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． 下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k．若k的最大值为 ，则k的最小值为 ． 其中正确的个数有多少个 A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．把答案填在答题卡上的横线上．） 13．在数轴上，点A，B分别表示数a，b，若 ， ，且b是负数，则A、B两点间的距离为 ▲ ． 14．已知 ，则 ▲ ． 15．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是 ，则最后输出的结果为 ▲ ． 16．国庆节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察下列演变过程，当 时，s= ▲ ． 17．将 ， ， ， ， 这 个自然数，任意分成 组，每组两个数，现将每组中的两个数记为 ， 代入 中进行计算，求出结果，可得到 个值，则这 个值的和的最大值为 ▲ ． 18．用 表示组成 的所有数字的乘积，例如： ， ， ．则 ▲ ． 三、解答题（本大题共8小题，满分共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题满分6分）计算： （本题满分8分）求 的最小值． 21．（本题满分8分）观察下列各式： 第1个等式： ；第2个等式：－ ； 第3个等式： ；… (1)根据上述规律写出第5个等式：　　　　； (2)第n个等式：　　　　；（用含n的式子表示） (3)计算： ． 22．（本题满分8分）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价 元，乒乓球每盒定价 元，“国庆节”假期期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的 付款． 某客户要到该商场购买乒乓球拍 副，乒乓球 盒（ 且为整数）． (1)用含 的代数式表示按两种方案购买各需付款多少元？ (2)若 ，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算； (3)当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 23．（本题满分10分）定义“*”运算： ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 据此回答下列问题： (1)计算：① ；② ； (2)归纳两数进行“*”运算的法则（文字语言或符号语言均可）； (3)若整数m、n满足 ，直接列出所有的m与n的值．（格式： ） 24．（本题满分10分）观察下列式子： ； ； ； ；… (1)用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为： ______． (2)利用规律计算： ． (3)利用规律计算： ． (4)探究并计算： ． 25．（本题满分10分）已知a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如2的差倒数是 ．现已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数． (1)填空： ， ， ； (2)根据（1）的计算结果，请求出 的值． (3)化简： ． 26．（本题满分12分）对于一个两位数 （十位和个位均不为0），将这个两位数 的十位和个位上的数字对调得到新的两位数 ，称 为 的“对调数”，将 放在 的左侧得到一个四位数，记为 ，将 放在 的右侧得到一个四位数，记为 ，规定 ，例如：34的对调数为43， ． （1）填空： ______； （2）请证明对于任意一个两位数 （十位和个位均不为0）， 都能够被9整除； （3）若 （ 为整数， ）， （ 为整数， ）， 和 的十位、个位均不为0， 的对调数与 的对调数之和能被9整除，请求出 的值． 答 案 1．【答案】C 解：设点A所表示的数为a， 则第1次爬行后的点所表示的数为 ， 第2次爬行后的点所表示的数为 ， 第3次爬行后的点所表示的数为 ， 第4次爬行后的点所表示的数为 ， …， ∴第2n次爬行后的点所表示的数为 ， 故第2022次爬行后的点所表示的数为 ， 则第2023次爬行后的点所表示的数为 ． ∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处， ∴ ， 则 ， 即点A所表示的数为 ． ∵ ， ∴表示 的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度． ∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处， 第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处， 第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处， ……， ∴第 次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且 ， 即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为 ， ∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过 这个数． ∵ ， ∴小虫爬行过程中经过数轴上 这个数的次数是101． 2．【答案】D 解：∵ ， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式 ； ②三个都为负数，则原式 ； ③一个正数，两个负数，假设 为正数， 为负数， 则原式 ； ④一个负数，两个正数，假设 为负数， 为正数， 则原式 ； 综上， 的值为 或 ， 3．【答案】D 解：由题意可得， 因为 ， ， 所以 ， 以此类推，得 ， ， ， ， ， ， ， …… ∵ ， ∴ ， 4．【答案】A 解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1， ， b的形式，也可以表示为0， ，a的形式， ∴这两组的数分别对应相等， ①当 ，则 ， 那么， ， ， ， 此时， ， ②当 ， 若 与三个互不相等的有理数矛盾， 若 则 不成立， ③当 ，则 与三个互不相等的有理数矛盾， 5．【答案】C 6．【答案】C 解：将B向左推，可得如图， 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c， 根据图2是正方形，得 ， 即 ， 由图（2）两个A的位置，可得 即 ， ∴图2正方形边长为 ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ 7．【答案】D 由已知 ， ， ， ， 以此类推可知： ， 则有 ， ∴ = = + = + = + ， 当n=23时， 有 ， 8．【答案】A 解：A、x的相反数与1的和的代数式为“-x+1”，故本选项正确； B、x与1的和的相反数的代数式为“-（x+1）”，故本选项错误； C、-x与1的差表示为 与题干不符，故本选项错误； D、x与-1的差表示为 与题干不符，故本选项错误． 9．【答案】D 解：∵ ， ∴ ， 即 ， ， ∴ ． 10．【答案】B 解：由题知，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6， EMBED Equation.DSMT4 为偶数， ， 第3次输出的结果是3， 为奇数， ， 第4次输出的结果是8， EMBED Equation.DSMT4 为偶数， ， 第5次输出的结果是4， EMBED Equation.DSMT4 为偶数， ， 第6次输出的结果是2， EMBED Equation.DSMT4 为偶数， ， 第7次输出的结果是1， 为奇数， ， 第8次输出的结果是6， 综上可知，除第1次外，剩下的输出结果6个一循环，且循环规律为6、3、8、4、2、1， ， 第2024次输出的结果是6． 11．【答案】A 解：假设站立记为“ ”，则蹲下为“ ”，开始时49个“ ”，其乘积为“ ”． 每次改变其中的 个数，经过m次点名， ①当 为偶数时， 若有偶数个“ ”偶数个“ ”，变为偶数个“ ”偶数个“ ”，其积的符号不变； 若有奇数个“ ”奇数个“ ”，变为奇数个“ ”奇数个“ ”，其积的符号不变； 故当 为偶数时，每次改变其中的 个数，其积的符号不变，那么m次点名后，乘积仍然是“ ”， 故最后出现的“ ”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当 为奇数时， 若有偶数个“ ”奇数个“ ”，变为偶数个“ ”奇数个“ ”，其积的符号改变； 若有奇数个“ ”偶数个“ ”，变为奇数个“ ”偶数个“ ”，其积的符号改变； 故当 为奇数时，每次改变其中的 个数，其积的符号改变， 那么m次点名后， 若 为偶数，乘积仍然是“ ”，故最后出现的“ ”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若 为奇数，乘积最后是“ ”，故最后出现的“ ”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项A正确，选项B、C、D均错误； 12．【答案】D 解：依次输入1，2，3，4，运算结果依次为 ， ， ，∴最后输出的结果是2，①正确，故符合要求； 将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3，第三次输入为6时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为 ，②正确，故符合要求； 令 为最大的正整数，当 时，k的最大值为 ， 解得， 或 （舍去）， 此时k的最小值为 ； 当 时，k的最大值为 ， 解得， 或 （舍去）， 此时k的最小值为 ； 综上所述，k的最小值为 ， ∴③正确，故符合要求； 13．【答案】2或12；12或2 解： ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， b是负数， ， 当 时，A、B两点间的距离为 ， 当 时A、B两点间的距离为 ， A、B两点间的距离为2或12． 14．【答案】 解：∵ ， ∴ 异号， 为负数， ∴ 一个为1，一个为 ， ， ∴原式 ； 15．【答案】 解：由题意知，第一次输入的数是 ， ∴ ， ∵ ， ∴第二次输入的数是 ， ∴ ， ∵ ， ∴输出结果为 ， 16．【答案】94 解：∵ ， ， ， ， …， ∴当 时， ， 17．【答案】 解：每组中的两个数记为 ， 当 时 ， 当 时 ， ∵将每组中的两个数 ， 分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较大的数， ∴这 个值的和的最大值为： ， 18．【答案】 解：∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， 19．解： ． 20．解：根据分析，可得 （1）当 时， ， ∵ ， ∴ ， ， 则当 时， 的最小值为 ． （2）当 时， 则此时 的值为9． （3）当 时， ， ∵ ， ∴ ， 则当 时， 的最小值为 ． （4）当 时， ， ∵ ， ∴ ， 则当 时， 的最小值为 ． 综上，可得 的最小值为9． 21．（1）解：第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； ……， 以此类推，可知，第n个等式： （n为正整数）， ∴第5个等式： ； （2）解：由（1）可得第n个等式： ； （3）解： ． 22．（1）方案一需付费： ，即 元； 方案二需付费： ，即 元 （2）当 时： 方案一需付费： 元； 方案二需付费： 元； ∵ ， ∴按方案一购买较合算 （3）先按照方案一购买乒乓球拍 副，送乒乓球 盒；再按照方案二购买 盒乒乓球； 则需付费： （元） 23．（1）解：① ； ② ； （2）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得负，异号得正，并把两数的平方相加．特别地，0和任何非0数进行*运算，或任何非0数和0进行*运算，等于这个数的平方，两个0的*运算得0． （3）解：存在， ∵ ， ∴ 与 异号， ， ∵m，n是整数， ∴ ，或 ，或 ，或 ， ∴ ，或 ，或 ，或 ． 24．（1）解：由式子规律得： ； （2）解：原式 EMBED Equation.DSMT4 ； （3）解： ； （4）解： ． 25．（1）∵ ， ∴ ， ， ， （2）由（1）可得：从第1个数开始，每3个数循环出现，且 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； （3）由题意得： ∵ ， ∴ ， ， ， ∵ , ∴ ， ， ， ∴ ． 26．解：（1） ＝63， （2）设这个两位数m＝10a＋b，a，b为整数，1≤a≤9，1≤b≤9， 则m的对调数为10b＋a， ∴m′＝100（10b＋a）＋10a＋b＝1001b＋110a， m″＝100（10a＋b）＋10b＋a＝1001a＋110b， ∴ ＝ ＝ ＝9|b−a|． ∴F（m）都能够被9整除； （3）∵p＝65＋a（a为整数，1≤a≤9）中十位、个位均不为0， ∴a≠5， 当1≤a≤4时，p的对调数为：10（5＋a）＋6． ∵q的对调数为20b＋3（b为整数，1≤b≤4）， ∴10（a＋5）＋6＋20b＋3 ＝10a＋20b＋59 ＝9a＋18b＋54＋a＋2b＋5 ＝9a＋2b×9＋6×9＋a＋2b＋5， ∵p的对调数与q的对调数之和能被9整除， ∴a＋2b＋5能被9整除， ∵1≤a≤4，a为整数，b为整数，1≤b≤4， ∴a＝2，b＝1， ∴p＝67，q＝32， ∴ ＝9， ＝9， ∴ ＝1； 当6≤a≤9时，p的对调数为：10（a−5）＋7， ∵q的对调数为20b＋3（b为整数，1≤b≤4）， ∴10（a−5）＋7＋20b＋3 ＝10a＋20b−40 ＝9a＋18n−36＋a＋2b−4 ＝9a＋9×2b−4×9＋a＋2b−4． ∵p的对调数与q的对调数之和能被9整除， ∴a＋2b−4能被9整除， ∵6≤a≤9，a为整数，b为整数，1≤b≤4， ∴a＝7，b＝3或a＝9，b＝2， 当a＝7，b＝3时，p＝72，q＝36， ∴ ＝45， ＝27， ∴ ＝ ； 当a＝9，b＝2时，p＝74，q＝34， ∴ ＝27， ＝9， ∴ ＝3． 的值：1或 或3． 七年级数学上学期阶段培优卷(三)试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 七年级数学上学期阶段培优卷(三)试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 $$