精品解析：2024-2025学年人教版九年级数学上册10月月考 试卷

九年级（上）10月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 3. 下列事件中发生的可能性为0的是（　　） A. 抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上 B. 今天黄冈市最高气温为 C. 路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦） D. 不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球 4. 如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 定义运算，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 年月日是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次．进书院人次逐月增加，到第三个月进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C D. 8. 已知和是方程的两个根，则的值为（ ） A B. 2021 C. D. 2023 9. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次方程与，下列判断不正确的是（ ） A. 若方程有两个实数根，则方程也有两个实数根； B. 如果是方程的一个根，那么是的一个根； C. 如果方程与有一个根相等，那么这个根是1； D. 如果方程与有一个根相等，那么这个根是1或-1. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知函数是二次函数，则_______． 12. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是_________． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 14. 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=____°． 15. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接、，则下列结论：①；②；③；④；其中正确是______（填序号） 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） （2） 17. 西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． （1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； （2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）将平移得到，且的坐标是，画出； （2）将绕点A逆时针旋转得到，画出； （3）小娟发现绕点P旋转也可以得到，请直接写出点P坐标． 19. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 20. 小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质． （1）请你帮小强先将该二次函数化成形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象． x … 0 1 … y … 0 0 … （2）根据图象回答问题： ①该图象是一条抛物线，也是______图形，它的对称轴是______； ②该图象的顶点坐标为______，该函数有最______值（填“大”、“小”）； ③当x______时，y随x的增大而减小 21. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为元，标价为元： （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以元售出，求每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每台售价为元时，平均每天能售出台，当每台售价每降元时，平均每天就能多售出台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 22. 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______． ②已知实数a，b满足：，则______． （2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围． （3）设实数a，b分别满足，且，求的值． 23. 如图1，在中，，点D，E分别在边上，，连接，点M，P，N分别为的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_______，位置关系是_______； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级（上）10月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：A 3. 下列事件中发生的可能性为0的是（　　） A. 抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上 B. 今天黄冈市最高气温为 C. 路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦） D. 不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了事件的可能性，根据题意逐项分析即可． 【详解】A、抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上，是随机事件； B、今天黄冈市最高气温为88℃是不可能事件，可能性为0； C、路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦），可能性为1， D、不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球，是随机事件； 故选：B． 4. 如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转后得到的图形与原图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心组成的夹角为旋转角，进行判断即可． 【详解】解：∵把绕点O旋转得到， ∴，，，， 故只有选项C不一定成立； 故选：C． 5. 定义运算，例如，则方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得：， ，，， ， 原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方. 【详解】把方程移项，得 ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得：. 故选：. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程.配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数. 7. 年月日是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次．进书院人次逐月增加，到第三个月进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是实际问题与一元二次方程中的增长率问题，解题关键是理解题意． 根据题意用表示第三个月进书院人次即可列出方程． 【详解】解：依题得进书院人次的月平均增长率为， 书院对外开放的第一个月进书院人次， 则第二个月进书院人次为， 第三个月进书院人次为， 又第三个月进书院人次， 有， 故选：． 8. 已知和是方程两个根，则的值为（ ） A. B. 2021 C. D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，由一元二次方程根的定义可得，即可求解； 【详解】和是方程的两个根， ， ， ，， 故选A． 【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键． 9. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线，求出关于直线的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断，，的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小；关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答． 10. 已知关于的一元二次方程与，下列判断不正确的是（ ） A. 若方程有两个实数根，则方程也有两个实数根； B. 如果是方程的一个根，那么是的一个根； C. 如果方程与有一个根相等，那么这个根是1； D. 如果方程与有一个根相等，那么这个根是1或-1. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论． 【详解】A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0． ∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，正确； B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴，∴是cx2+bx+a=0的一个根，故正确； C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0． ∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C错误，D正确． 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知函数是二次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如，这样的函数叫做二次函数，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵函数二次函数， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，正确列举符合条件的等可能性结果是解答本题的关键．根据题意画出树状图，列举符合条件的等可能性结果，再利用概率的计算公式计算即可． 【详解】 如图，先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，共有4种等可能性结果，即正正，正反，反正，反反，其中结果为正反的只有1种，所以抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，第二次反面朝上的概率为， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解关于原点对称的点坐标问题，由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是． 故答案为：． 14. 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=____°． 【答案】90 【解析】 【分析】利用旋转的性质可得∠CAF=60°，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】根据旋转的性质可知∠CAF=60°， 根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和的性质，得： ∠AFB=∠C+∠CAF =30°+60° =90°． 故答案为：90． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形外角的性质，抓住对应点与旋转中心形成的角是旋转角是解题的关键． 15. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接、，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：由题意知，绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴，，，，； 故①符合题意； ∴，， ∴； 故③符合题意； ∴， ∴， ∴； 故②符合题意； ∴； 故④不符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边对等角，平行线的判定，熟练掌握旋转转的性质和全等三角形的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）移项，然后提公因式利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或， 解得，． 17. 西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． （1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； （2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：一共有4种等可能性，西安音乐厅只有一种等可能性， 甲同学选择参观西安音乐厅的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学选择不同场馆参观的结果有12种， ∴甲，乙两名同学选择不同场馆参观的概率为． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）将平移得到，且的坐标是，画出； （2）将绕点A逆时针旋转得到，画出； （3）小娟发现绕点P旋转也可以得到，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的坐标是，即可画出； （2）根据绕点A逆时针旋转90°得到，即可画出； （3）连接两对对应点，分别作两条连线的垂直平分线，其交点P即为所求，进而得出坐标． 【小问1详解】 由点和其对应点可知由向左平移4个单位后再向下平移4个单位． 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 将绕点A逆时针旋转． 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 连接，，分别作，的垂直平分线，交点为P． 如图所示，点P即为所求，点P的坐标为． 【点睛】本题考查网格作图，即图形变换问题，解题的关键是找到平移条件和旋转条件及掌握平移和旋转的性质． 19. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出BD的长 【小问1详解】 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 20. 小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质． （1）请你帮小强先将该二次函数化成形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象． x … 0 1 … y … 0 0 … （2）根据图象回答问题： ①该图象是一条抛物线，也是______图形，它的对称轴是______； ②该图象的顶点坐标为______，该函数有最______值（填“大”、“小”）； ③当x______时，y随x的增大而减小 【答案】（1），，2，画图见解析；（2）①轴对称，直线；②，大；③ 【解析】 【分析】（1）先把二次函数化为顶点式，然后分别求出当时，，当时，，最后画出函数图像即可； （2）①利用二次函数的性质求解即可； ②利用二次函数的性质求解即可； ③利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）， 当时，，当时，，解得或（舍去）， 函数图像如下所示： 故答案为：-2，2； （2）①∵二次函数解析式为， ∴它的图像是轴对称图形，它的对称轴是直线， 故答案为：轴对称，直线； ②∵二次函数解析式为，， 该图象的顶点坐标为，该函数有最大值， 故答案为：，大； ③ 根据图像可知当，y随x的增大而减小． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质． 21. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为元，标价为元： （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以元售出，求每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每台售价为元时，平均每天能售出台，当每台售价每降元时，平均每天就能多售出台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可求解； （）设每台冰箱下调个元，根据题意列出方程求出的值，进而即可求出每台冰箱的定价； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每台冰箱下调个元， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴每台冰箱下调元， ∴每台冰箱的定价应为元． 22. 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______． ②已知实数a，b满足：，则______． （2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围． （3）设实数a，b分别满足，且，求的值． 【答案】（1）①，；② （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查韦达定理，一元二次方程的解，分式的计算与求值．读懂材料是解题的关键． （1）①直接根据韦达定理求解； ②根据材料2可得a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据韦达定理得到，，进而根据分式的加减法则计算后代入求值即可； （2）由材料2可得m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，从而，，，结合，可求出t的取值范围，将展开代入整理后即可求解； （3）方程可变形为，从而得到a，是方程的两个不相等的实数根，根据韦达定理得到，，将所求式子变形整理后代入即可解答． 【小问1详解】 解：①∵一元二次方程的两根分别为， ∴根据韦达定理，可得 ，． 故答案为：， ②∵， ∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 解：∵实数m、n、t满足：， ∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根， ∴，即， ，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， 且， ∴； 【小问3详解】 解：∵实数a，b分别满足，且， ∴， ∴方程可变形为， ∴a，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 23. 如图1，在中，，点D，E分别在边上，，连接，点M，P，N分别为的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_______，位置关系是_______； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2位置，连接，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1），； （2）是等腰直角三角形，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，由，可得出，再根据，，得到，，由，从而得出，即可得到结论； （2）先判断出，得出，同（1）类似方法进行证明，即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，进而得出结论． 【小问1详解】 解：∵点P，N是的中点， ∴，， ∵点P，M是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形． 理由：连接，， 由旋转知，， ∵，， ∴， ∴， ∵点P、M、N是、的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法得，，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：由（2）知，是等腰直角三角形，， ∴最大时即最大时，面积最大， ∴面积最大时，点D在的延长线上，此时， ∵，， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴的最大值． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，属于几何变换综合题，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$