精品解析： 湖南省常德市芷兰实验学校等多校2024—-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年湖南省常德市芷兰实验学校等多校九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 2. 方程x2﹣5x=0的解是（ ） A. x1=0，x2=﹣5 B. x=5 C. x1=0，x2=5 D. x=0 3. 在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，它的一个根为﹣1，则（ ） A. a＋b＋c＝0 B. a＋b﹣c＝0 C. a﹣b＋c＝0 D. a﹣b﹣c＝0 5. 已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积为（ ） A. 12 B. 10 C. D. 6 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 9. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若是反比例函数，则的值为______． 12. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为___________． 13. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 14. 如图，已知为反比例函数的图像上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为3，则的值为______． 15. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 16. 已知a，b，c分别是的三边，其中，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的形状是______． 17. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是12，则k的值为__． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解方程 （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中x满足． 21. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 22. 如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求三角形的面积． 23. 学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至100℃时自动停止加热，进入冷却期，水温降至25℃时自动加热，水温升至100℃又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间为（分）与对应的水温为（℃）函数图象关系，已知段为线段，段为双曲线一部分，点为，点为，点为． （1）求出段加热过程的与的函数关系式和的值． （2）若水温（℃）在时为不适饮水温度，在内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？ 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个解为0，求k的值； （2）求证：方程有两个不相等的实数根； （3）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 25. 将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，所以5是“完美数”． （1）数52______“完美数”（填“是”或“不是”）； （2）已知（x，y是整数，k是常数）要使s为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； （3）如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒，求S的最大值． 26. 如图，矩形的顶点分别在轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，动点在轴的上方，且满足. (1)若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标; (2)连接，求的最小值; (3)若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省常德市芷兰实验学校等多校九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，再由反比例函数图象的性质得到在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其解析式， ∴在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为， A、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； B、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、，该点在反比例函数的图象上，符合题意； D、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：C． 2. 方程x2﹣5x=0的解是（ ） A. x1=0，x2=﹣5 B. x=5 C. x1=0，x2=5 D. x=0 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：在方程左边两项中都含有公因式x，所以可用提公因式法得： x（x﹣5）=0，解得x1=0，x2=5． 故选C． 3. 在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的图象与性质结合三点的横坐标进行判断即可． 【详解】解：∵函数（k为常数，且）中， ∴函数图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减少， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，它的一个根为﹣1，则（ ） A. a＋b＋c＝0 B. a＋b﹣c＝0 C. a﹣b＋c＝0 D. a﹣b﹣c＝0 【答案】C 【解析】 【分析】把代入方程即可得到正确答案． 【详解】解：把代入方程得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5. 已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与系数间的关系，解题的关键是熟练掌握函数的性质． 先由函数中y随x的增大而减小得到，且函数的图象经过第二、四象限，然后可知函数的反比例系数大于零，从而得知反比例函数图象经过第一、三象限，即可得到结果． 【详解】解：函数中y随x的增大而减小， ，且函数的图象经过第二、四象限， 函数的反比例系数大于零， 反比例函数图象经过第一、三象限， 故选：B． 6. 某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一般增长后的量增长前的量×（1+增长率），如果该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示二、三月份的产量，然后根据题意可得出方程． 【详解】解：依题意得二、三月份的产量为、， ． 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 7. 若一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积为（ ） A. 12 B. 10 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，先利用因式分解法解方程得到三角形的两条边长分别3、5，再计算出第三边长为4，然后根据三角形面积公式计算该三角形的面积． 【详解】解：， ， 或， 所以，， 即三角形的两条边长分别3、5， 所以第三边长为， 所以该三角形的面积． 故选：D． 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 9. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点，从这一点分别向、轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数的几何意义可得，根据可得，根据的面积为10列方程即可得答案．正确得出是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴，即， 解得：． 故选：C． 10. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得出，设，则，再根据题意先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，即可得解，理解题意，准确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵阴影部分的面积为64， ∴， 设，则， 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为， 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若是反比例函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：． 故答案为：． 12. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为___________． 【答案】x(x－1)＝1056 【解析】 【分析】全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056． 故答案为：x（x-1）=1056． 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．读懂题意，找到等量关系是解题关键． 13. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于m的方程即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数是(k为常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴ ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知为反比例函数的图像上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为3，则的值为______． 【答案】-6 【解析】 【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质确定k的值． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAB＝|k|＝3， 而k＜0， ∴k＝−6． 故答案为−6． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 15. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键，解题时应注意把当成一个整体，利用了整体的思想． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ∴， 故答案为：． 16. 已知a，b，c分别是的三边，其中，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的形状是______． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定方法，解答关键是根据根的判别式构造方程求解． 根据题意可知，方程根的判别式值为0，则b值可求，进而问题可解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 17. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】k≤5且k≠1 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根， ∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0， 解得：k≤5且k≠1. 故答案为：k≤5且k≠1. 18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是12，则k的值为__． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的的意义，设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 设点的坐标为， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点、灵活选用解方程的方法是关键． （1）用配方法求解； （2）用因式分解法求解； 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ，， ， 20. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式的加减乘除混合运算法则及运算顺序是解答此题的关键． 先根据分式混合运算法则进行化简，然后解一元二次方程，求出x的值，再代入求值即可． 【详解】解： 原式 ； ∵x满足， ∴， ∴，， 又∵、， ∴当时，原式． 21. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两个根时，，是答题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 22. 如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，熟练的求解函数解析式是解本题的关键． （1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数过点， ∴，即； 将，代入，得 ∴点A的坐标为， ∴将点A，B的坐标代入一次函数中， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：在直线中，当时， ， ∴， ∴点C的坐标为，即， ∴． 23. 学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至100℃时自动停止加热，进入冷却期，水温降至25℃时自动加热，水温升至100℃又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间为（分）与对应的水温为（℃）函数图象关系，已知段为线段，段为双曲线一部分，点为，点为，点为． （1）求出段加热过程的与的函数关系式和的值． （2）若水温（℃）在时为不适饮水温度，在内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？ 【答案】（1）， ；（2） 【解析】 【分析】（1）设线段解析式为，双曲线的解析式为，然后把，代入，把代入求解即可； （2）把分别代入一次函数与反比例函数解析式求出对应的x的值，有次求解即可． 【详解】（1）设线段解析式为，双曲线的解析式为 代入得 ， 解得 ∴线段AB的解析式， 代入得，解得 ∴双曲线的解析式为 ∴ 解得； （2）反比例函数解析式为， 当时，代入线段 ，解得， 代入反比例函数得，解得x=20 所以不适宜饮水的持续时间为分． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个解为0，求k的值； （2）求证：方程有两个不相等的实数根； （3）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 【答案】（1）， （2） 由题意得：， ∴方程有两个不相等的实数根； （3）12或3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键． （1）把代入原方程求解即可； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出进而可证出方程有两个不相等的实数根； （3）利用因式分解法可求出的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【小问1详解】 解：把代入原方程得：， 解得：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，即， 解得：，， 当为直角边时，，解得：， 当为斜边时，， 解得：，（不合题意，舍）， 综上：k的值为12或3； 25. 将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，所以5是“完美数”． （1）数52______“完美数”（填“是”或“不是”）； （2）已知（x，y是整数，k是常数）要使s为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； （3）如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒，求S的最大值． 【答案】（1）是 （2） 当时，s为完美数，理由： ∵s是完美数， ∴是完全平方数，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用， 掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键； （1）根据“完美数”的定义得出52可以得出两个数平方和，即可得出结论； （2）先将代数式配方，再根据新定义求解即可； （3）根据的面积为，运动时间为t秒，利用三角形的面积公式列出方程，利用配方求出最大值即可． 【小问1详解】 ， 5是“完美数”， 故答案为：是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 ，，． 的面积为，运动时间为t秒， ∴． ∴当时，s有最大值． 26. 如图，矩形的顶点分别在轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，动点在轴的上方，且满足. (1)若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标; (2)连接，求的最小值; (3)若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标. 【答案】（1）点P的坐标为(6,2)；（2）；（3）Q (4−,5)，Q (4+,5)，Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)． 【解析】 【分析】(1)首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m(m>0)，根据，构建方程即可解决问题； (2)过点(0,2)，作直线l⊥y轴,由(1)知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O'，则OO'=4，连接AO'交直线l于点P，此时PO+PA的值最小； (3)分两种情形分别求解即可解决问题； 【详解】(1)∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3， ∴点B的坐标为(4,3)， ∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上 ∴k=12， ∴y=， 设点P的纵坐标为m(m>0)， ∵． ∴⋅OA⋅m=OA⋅OC⋅， ∴m=2， 当点，P在这个反比例函数图象上时，则2= ， ∴x=6 ∴点P的坐标为(6,2)． (2)过点(0,2)，作直线l⊥y轴． 由(1)知，点P的纵坐标为2， ∴点P在直线l上 作点O关于直线l的对称点O'，则OO'=4， 连接AO'交直线l于点P，此时PO+PA的值最小， 则PO+PA的最小值=PO'+PA=O'A=． (3) ①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知AB=AP=PQ=BQ=3，P (4−,2)，P (4,2)， ∴Q (4−,5)，Q (4+,5)． ②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P (4−2,2)，P(4+2,2)， ∴Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)． 综上所述，点Q的坐标为Q (4−,5)，Q (4+,5)，Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)． 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，菱形的性质，矩形的性质，解题关键在于作辅助线和分情况讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $