精品解析：辽宁省沈阳市浑南区2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

2024-2025学年上学期10月学业测评 九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用直接开平方法，求出一元二次方程x2-4=0的根是多少即可． 【详解】解：∵x2-4=0， ∴x2=4， ∴x=±=±2， ∴一元二次方程x2-4=0的根是x=±2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握直接开方法解方程． 2. 已知2x=3y，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断． 【详解】A．变成等积式是：xy=6，故错误； B．变成等积式是：3x+3y=4y，即3x=y，故错误； C．变成等积式是：2x=3y，故正确； D．变成等积式是：5x+5y=3x，即2x+5y=0，故错误． 故选C． 【点睛】本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可． 3. 下列图形中一定是相似图形的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个直角三角形 D. 两个正五边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握“角分别对应相等，边分别对应成比例的两个多边形相似”是解本题的关键． 根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解． 【详解】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故它们不一定相似； B、两个菱形的对应角不一定相等，故它们不一定相似； C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故它们不一定相似； D、两个正五边形，每个内角都为，边对应成比例，符合相似图形的定义，故它们一定相似． 故选：D 4. 关于的一元二次方程（）的两根为，，那么下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个不同的实数根，可知，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】∵关于的一元二次方程（）的两根为，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 故选：． 5. 如图1称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的重量为，那么能汲起水的重量B为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查比例的性质及杠杆平衡原理，根据题意得出，然后确定即可求解，理解是解题关键． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵物体A的质量为， ∴， 故选：D 6. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 7. 用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质．在图中，证是等边三角形，得出．在图中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在图1中，四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵在图2中，四边形为正方形， ∴ ∴． 故选：B． 8. 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为4.14米，则车头A与后视镜C的水平距离约为（ ） A. 1.58米 B. 2.56米 C. 3.70米 D. 3.82米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点． 利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜C到车尾B的水平距离为，再由即可求解． 【详解】解：∵汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置， ∴（米）， ∴（米）， 即车头A与后视镜C的水平距离约为1.58米． 故选：A 9. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（ ） A. 67石 B. 85石 C. 169石 D. 273石 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是通过样本去估计总体． 根据总体频率约等于样本频率列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： （石， 故选：B． 10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x的方程的一个根为，则该方程的另一个根是________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据两根之和为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个根， ∴， ∴方程为一元二次方程， 设方程的另一个根为，则：， ∴； 故答案为：3． 12. 国庆假期，小丽和家人到博物馆参观，博物馆内部路线如图所示，由于时间有限，在A展厅参观后，只能再选择一个展厅参观，假定在馆内每个路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径（比如A馆岔路口可以向左下到达B展厅，也可以向右下到达C展厅），其中A，B，C处都有岔路口，D，E，F是三个出口．那么小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是____ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率． 准确画出树状图，用符合题意的情况数除以总的情况数即可． 【详解】解：列树状图： 共有4种等可能的情况，小丽一家人从A展厅出发到达E出口有2种情况， ∴小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是， 故答案为：． 13. 在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张矩形纸片，如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 根据圆的面积公式和矩形面积公式结合两圆的面积和是剩余面积的一半，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得． 故答案为： 14. 如图，平行四边形中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在上截取，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于E，若，则点F的坐标为_____ 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交轴于点，平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，进而得到，推出四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长，勾股定理求出的长，即可得出点的坐标． 【详解】解：连接，设交轴于点，交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定和性质，勾股定理，等积法求出菱形的高，解题的关键是得到四边形为菱形． 15. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，则四边形的面积与的面积的比值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形及三角形的相似，相似比和面积比，解题的关键是根据三角形的相似比表示出三角形的面积． 根据平行四边形推出平行四边形，根据和相似，进而求出各个三角形的面积比，设，表示出其他三角形面积，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，． 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， ， ，， ， ， 同理， ． 设， 则，，，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，配方法，因式分解法和公式法是解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）先移项，再利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 17. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应 ，，； （2）以点为位似中心，在x轴上方作出，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； （3）直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查在平面直角坐标系中作轴对称图形，位似图形，理解轴对称图形与位似图形是解题的关键． （1）作出各顶点关于轴对称的点、、，依次连接即可解答； （2）延长到使，延长到使，延长到使，从而得到； （3）直接由平面直角坐标系得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，为所求； 【小问2详解】 解：如图，为所求； 【小问3详解】 解：点的坐标为． 18. 一个箱子里共个球，其中个白球，个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中随机摸出一个球后，放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请用画树状图法或列表法求两次摸出的球都是白球的概率； （2）小明向箱中放入个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了关于概率的相关知识，求某种情况出现的概率通常采用画树状图法、列表法和列举法，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键． 把个白球分别记为白球和白球，画树状图从树状图中可以看出摸两球一共可以出现种情况，其中两次都是白球的情况有种，从而可得两次都摸出白球的概率； 根据摸出一个白球的概率是可以列出关于的分式方程，解方程求出的值． 【小问1详解】 解：把个白球分别记为白球和白球， 画树状图如下： 从树状图中可以看出摸两球一共可以出现种情况，其中两次都是白球的情况有种， 所以两次摸出的球都是白球的概率是； 【小问2详解】 解：小明向箱中放入个红球后箱子中共有个球，其中白球有个， 摸出白球的概率为， ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 的值是． 19. 某商店将进价为8元的商品按每件元售出，每天可售出件，如果这种商品每件的销售价每提高元，其销售量就减少件． （1）该店主将每件售价定为多少元时，才能使该商品每天的利润为元，同时要让利于顾客？ （2）店主想要使该商品每天的利润为元，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？（说明理由） 【答案】（1）元 （2）同意，见解析 【解析】 【分析】（1）设售价定为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据该商品每天的利润为元列出方程，解方程并根据让利于顾客即可得到答案； （2）由（1）得到关于x的一元二次方程，由根的判别式可知，方程没有实数根，结论得证． 【小问1详解】 解：设售价定为元，则每件的销售利润为元， 每天的销售量为件， 依题意得，， 整理得：， 解得：，． 要让利于顾客， ． 答：该店主将每件售价定为元时，才能使该商品每天的利润为元，同时又让利于顾客． 【小问2详解】 同意，理由如下： 依题意得：， 整理得：． ， 该方程没有实数根， 该商品每天的利润不能为元，故小红的说法正确． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 20. 如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚的脚离标杆底部的距离为1m，离大树底部的距离为9m，王刚的眼离地面的高度AB为1.5m，那么大树EF的高为多少？ 【答案】大树EF的高为6m． 【解析】 【分析】作AH⊥EF于H，AH交CD于G点，利用CG∥EH判断△ACG∽△AEH，然后利用相似比计算出EH，从而得到EF的长． 【详解】解：作AH⊥EF于H，AH交CD于G点，如图， 易得BD＝1，BF＝9，四边形ABDG和四边形ABFH均为矩形 ∴DG＝HF＝AB＝1.5，AG＝BD＝1， ∴CG＝CD﹣DG＝2﹣1.5＝0.5， ∵CG∥EH， ∴△ACG∽△AEH， ∴＝，即＝，解得EH＝4.5， ∴EF＝EH+FH＝4.5+1.5＝6（m）， 答：大树EF的高为6m． 【点睛】此题考查的是相似三角形的应用，掌握构造相似三角形的方法和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键. 21. 如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，则称该方程为“倍根方程”．如的两个根是,，4是2的2倍，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“倍根方程”． ① ② （2）若关于x的方程（）是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）①它是“倍根方程”；②它不是“倍根方程” （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解与解一元二次方程，分式的化简求值，理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解方程，然后根据“倍根方程”的定义进行直接判断； （2）根据“倍根方程”的定义找出，之间的关系，进行分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：①， 因式分解，得， ∴或， 解得， ∴， ∴是“倍根方程”； ②， 因式分解，得， ∴或， 解得， ∵，， ∴不是“倍根方程”； 【小问2详解】 解：解方程得，， ∵该方程是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 即或， 当时，即， ， 当时，即， ， ∴的值为或． 22. 如图1，在等腰中，，，点E，F分别在上，连接，分别过点E，F作，垂足分别为M，N， （1）若E，F分别是中点， ①求证：四边形为矩形； ②求四边形的面积； （2）如图2，，过点M作，垂足为P，连接，若，求的长． 【答案】（1）①证明见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①先证明是的中位线得到，再由，得到，据此可证明四边形为矩形；②如图所示，连接，由三线合一定理得到，则，证明，利用相似三角形的性质求出，再由三角形中位线定理得到，则； （2）延长交于H，则，再由，得到，进而可证明，则；证明，得到；同（1）可证明四边形是矩形，则；如图所示，过点B作于R，过点A作于T，利用等面积法求出，则，；证明，推出,同理推出，设，则，则，解得，即可得到． 【小问1详解】 解：①∵E，F分别是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； ②如图所示，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵E，F分别是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2所示，延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴同（1）可证明四边形是矩形， ∴； 如图所示，过点B作于R，过点A作于T， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 同理可得， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 23. “综合与实践”课上，老师引导同学们以“如何确定正方形边长的三等分点”为主题开展探究活动．同学们手持学具（正方形纸、带刻度的直尺等）分小组展开讨论；各小组集思广益，拓展思路，利用所学知识解决问题． （1）除直接测量外，第一、二、三小组分别展示了不同方法． ①第一小组采用“平行线法”：如图所示，将刻度尺的刻度0与正方形顶点A重合，将点B 与刻度3对应点E连接，过刻度1对应点F作，交于点M．求证：点M为正方形边长的三等分点； ②第二小组的“折叠法”如下图所示， 求证：点M为正方形边长的三等分点； ③第三小组的“折叠法”如下图所示， 求证：点M为正方形边长的三等分点； （2）探究活动中，同学们利用翻折前后图形的基本元素（角、线段、三角形）之间的关联，为解决问题寻找新思路，请你利用这种解题策略探究下列问题： 正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点B落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，请直接写出的长． 【答案】（1） 解：①由题意可得，，， ∴， ∴， ∴点M是的三等分点； ②设正方形的边长为，即， 由折叠可得，， 设，则； ∵在正方形中，， 由折叠可得，，点与重合． ∴， ∴， ∵； 又在中，， ∴， 解得， 即， ∴点M为的三等分点． ③∵四边形是正方形， ∴； 设正方形的边长为，即， 设，则； 由折叠可得，， ∵在中，， ∴， 解得， 即， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点M是的三等分点． （2）4或 【解析】 【分析】（1）①根据平行线分线段成比例可得，即可得证； ②设正方形的边长为，，由折叠可得，， ，在中，根据勾股定理构造方程，求得即可得证； ③设正方形的边长为，，则，在中，根据勾股定理构造方程，求解得到，由，得到，根据相似三角形的性质求得，即可得到，得证结论； （2）分两种情况求解：①点G在上，②点G在上． ①点G在上时，连接，交于点N，先证明四边形是平行四边形，得到，根据轴对称图形的性质得到点N是的中点，根据平行线分线段成比例即可求解； ②点G在上，连接，交于点N，过点M作于点Q，设，则，先证明，得到，再证，从而得到，进而有，根据“三线合一”求得，因此，证明，求得，在中，根据勾股定理构造方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若点G在上，如图，连接，交于点N， ∵在正方形中，，即， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵由折叠有，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ②若点G在上，如图，连接，交于点N，过点M作于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵由折叠有，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， ∵在中，， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上所述，的长为4或． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期10月学业测评 九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 2. 已知2x=3y，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中一定是相似图形的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个直角三角形 D. 两个正五边形 4. 关于的一元二次方程（）的两根为，，那么下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的重量为，那么能汲起水的重量B为（ ） A. B. C. D. 6. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 7. 用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 8. 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为4.14米，则车头A与后视镜C的水平距离约为（ ） A. 1.58米 B. 2.56米 C. 3.70米 D. 3.82米 9. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（ ） A. 67石 B. 85石 C. 169石 D. 273石 10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x的方程的一个根为，则该方程的另一个根是________ 12. 国庆假期，小丽和家人到博物馆参观，博物馆内部路线如图所示，由于时间有限，在A展厅参观后，只能再选择一个展厅参观，假定在馆内每个路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径（比如A馆岔路口可以向左下到达B展厅，也可以向右下到达C展厅），其中A，B，C处都有岔路口，D，E，F是三个出口．那么小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是____ 13. 在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张矩形纸片，如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为和，圆的半径为，根据题意列方程为________． 14. 如图，平行四边形中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在上截取，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于E，若，则点F的坐标为_____ 15. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，则四边形的面积与的面积的比值为_____ 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 17. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应 ，，； （2）以点为位似中心，在x轴上方作出，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； （3）直接写出点的坐标． 18. 一个箱子里共个球，其中个白球，个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中随机摸出一个球后，放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请用画树状图法或列表法求两次摸出的球都是白球的概率； （2）小明向箱中放入个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求的值． 19. 某商店将进价为8元的商品按每件元售出，每天可售出件，如果这种商品每件的销售价每提高元，其销售量就减少件． （1）该店主将每件售价定为多少元时，才能使该商品每天的利润为元，同时要让利于顾客？ （2）店主想要使该商品每天的利润为元，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？（说明理由） 20. 如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚的脚离标杆底部的距离为1m，离大树底部的距离为9m，王刚的眼离地面的高度AB为1.5m，那么大树EF的高为多少？ 21. 如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，则称该方程为“倍根方程”．如的两个根是,，4是2的2倍，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“倍根方程”． ① ② （2）若关于x的方程（）是“倍根方程”，求代数式的值． 22. 如图1，在等腰中，，，点E，F分别在上，连接，分别过点E，F作，垂足分别为M，N， （1）若E，F分别是中点， ①求证：四边形为矩形； ②求四边形的面积； （2）如图2，，过点M作，垂足为P，连接，若，求的长． 23. “综合与实践”课上，老师引导同学们以“如何确定正方形边长的三等分点”为主题开展探究活动．同学们手持学具（正方形纸、带刻度的直尺等）分小组展开讨论；各小组集思广益，拓展思路，利用所学知识解决问题． （1）除直接测量外，第一、二、三小组分别展示了不同方法． ①第一小组采用“平行线法”：如图所示，将刻度尺的刻度0与正方形顶点A重合，将点B 与刻度3对应点E连接，过刻度1对应点F作，交于点M．求证：点M为正方形边长的三等分点； ②第二小组的“折叠法”如下图所示， 求证：点M为正方形边长的三等分点； ③第三小组的“折叠法”如下图所示， 求证：点M为正方形边长的三等分点； （2）探究活动中，同学们利用翻折前后图形的基本元素（角、线段、三角形）之间的关联，为解决问题寻找新思路，请你利用这种解题策略探究下列问题： 正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点B落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $