山东省聊城市东阿县姜楼中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级上学期10月月考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，则四边形的面积是的面积的(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，，若内接正方形的边长是，则、、的数量关系为(    ) A. B. C. D. 4.如图，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是  (    ) A. B. C. 或 D. 或 5.如图，在中，，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 6.如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为(    ) A. B. C. D. 7.已知在中两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是            (    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，，两地隔河相望，原来从地到地需要经过桥，沿折线到达地，现在与桥平行上建了新桥，可沿从地直达地，已知，桥，，则的长是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，是的直径，点是上一点，点是弧的中点，弦于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交、于点、，连接给出下列结论：；；点是的外心；其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长，交于点，则           ． 12.如图，在中，，，是上一点，，在上取一点，使，，三点组成的三角形与相似，则          ． 13.在中，若，则          ． 14.如图，的顶点、的坐标分别是、，且，，则顶点的坐标是______． 15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高为          ． 16.圆内接四边形中，：：：：，则           17.日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成如图，它可以看作如图所示的几何图形已知，，垂足为点，，垂足为点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 18.如图是梅华中学校门口的双翼闸机，当它的双翼完全打开时，双翼边缘点与之间的距离为，，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为          ． 三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在中，，，，求的长． 20.本小题分 如图，学校操场旁立着一个路灯线段小明拿着一根长的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点竖起竹竿线段，这时他量了一下竹竿的影长正好是，他沿着影子的方向走了到达点，又竖起竹竿线段，这时竹竿的影长正好是请利用上述条件求出路灯的高度． 21.本小题分 如图，在中，过点作于点，连接，点为线段上一点，且B. 求证：∽ 若，，，求的长． 22.本小题分 如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点，分别在，上，已知，． 求证：∽； 求正方形的边长与面积． 23.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上． 请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； 写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______； 请在图中画出，使之满足如下条件： 与关于点位似，且与的位似比为； 与位于点的同侧． 24.本小题分 图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度如图，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．    求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； 若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险请说明理由． 结果精确到，参考数据：，，， 25.本小题分 【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图，和是的两条弦即折线是圆的一条折弦，，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点， 又 ≌ 又 即 根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ______， ______， ______； 【理解运用】如图，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则______； 【变式探究】如图，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为，求长． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12. 或  13.   14.   15.   16.   17.   18.   19. 解：过点作，垂足为， 中， ，， ， 中， 由勾股定理得：， 在中， ， 由勾股定理得：， ．  20. 在中，，，易得在与中，，，，∽，． 设，，则． 又， 联立两式，解得，， 路灯的高度为．  21. 证明：四边形为平行四边形， ，， ． 又， ， ， ∽． 解：在中，． ∽， ， 即，解得． ，， ，即． 在中，由勾股定理， 得 ．  22. 【小题】 证明：四边形是正方形，， ，，∽． 【小题】 解：如答图，设与交于点． ， 四边形是矩形，设正方形的边长为． ∽，， ，解得． 正方形的边长为，面积为．  23. 解：如图，点即为所求． 由图可得，． ， 与的位似比为， 与的面积比为． ． 故答案为：；；． 24. 如图，作，垂足为点    在中 ， 平行线间的距离处处相等 答：车后盖最高点到地面的距离为． 没有危险，理由如下： 过作，垂足为点    ， 在中， ． 平行线间的距离处处相等 到地面的距离为． 没有危险．  25. 【问题呈现】 相等的弧所对的弦相等 同弧所定义的圆周角相等 有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等 故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等； 【理解运用】，即，即，解得：， ， 故答案为：； 【变式探究】． 证明：在上截去，连接、、、， 是弧的中点， ，． 又 ≌ ， 又， ， ， 即； 【实践应用】 如图，是圆的直径，所以． 因为，圆的半径为，所以． 已知，过点作于点， 则， 所以． 所以． 如图，同理易得． 所以的长为或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$