重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期期中复习数学试题

重庆八中 2024——2025 学年度（上）高二年级 期中复习题 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．若复数 z 满足 1 1 = − z i （ i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．底面积是 ，侧面积是3 的圆锥的体积是 ( ) A． 2 2 B． 2 C． 2 3  D． 2 2 3  3．已知向量 (cos ,sin )a  = ， (2, 1)b = − ，若 a b⊥ ，则 sin cos sin 3cos     + + 的值为（ ） A． 1 3 B． 3 5 C． 4 5 D． 2 3 4．已知椭圆 ( ) 2 2 2 : 1 0 4 x y C m m + =  的离心率为 2 2 ，则椭圆 C的焦距为（ ） A．4 B．2 或 2 C．4 或 22 D． 2 5．已知直线 : ( 1) ( 1) 3 1 0l m x m y m− + + − + = 与圆 2 2: 30O x y+ = 交于 A ，B 两点，当 | |AB 最小时，过 A ， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于C ， D 两点，则 | | (CD = ) A．8 5 B．9 5 C．10 5 D．11 5 6．在三棱锥 P ABC− 中， 90BAC = ， 2 2AB = ，E ，F 分别为 BC ，PB 的中点，异 面直线 EF 与 AC 所成的角为30， EF AB⊥ ， 2 3PB = ， PAC 为钝角，则三棱锥 P ABC− 的外接球的表面积为（ ） A．32 B． 28 C． 24 D． 20 7．如图，一束平行光线与地平面的夹角为 60 ，一直径为 24cm的篮球在这束光线的照射 下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为（ ） A． 3 3 B． 3 2 C． 2 2 D． 1 2 8．已知椭圆 2 2 : 1 4 3 x y C + = 的右焦点为 F ，O 为坐标原点，点 P ，Q为椭圆C 上的两点， 且 4 3 0OP OQk k + = ， R 为 PQ中点，则 | |RF 的最小值为 ( ) A． 2 2 B．1 C． 3 1− D． 2 1− 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的． 9．已知圆 2 21 : ( 1) ( 2 ) 9C x y a− + − = ，圆 2 2 2 2 : 8 2 12 0,C x y x ay a a R+ − + + + =  ，则下列 选项正确的是（ ） A．直线 1 2C C 恒过定点 (3,0) B．当圆 1C 和圆 2C 外切时，若 ,P Q 分别是圆 1 2,C C 上的动点，则 max| | 10PQ = C．若圆 1C 和圆 2C 共有 2 条公切线，则 4 3 a  D．当 1 3 a = 时，圆 1C 与圆 2C 相交弦的弦长为 3 6 2 10．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，E ，F 分别为棱 1 1B C ， 1BB 的中点， G 为线段 1A D 上的一个动点，则下列说法正确的是 ( ) A．三棱锥 1F EGB− 的体积为定值 B．存在点G ，使平面 / /EFG 平面 1ACD C．设直线 FG 与平面 1 1ADD A 所成角为 ，则 sin 的最大值为 2 2 3 D．平面 DEF 截正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 所得截面的面积为 2 6 3 3+ 11．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b + =   的长轴长为 4，离心率为 1 2 1 , , 2 F F 分别为椭圆C 的左、 右焦点，过点 2F 的直线 l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，则下列说法正确的是 ( ) A．椭圆C 的标准方程为 2 2 1 4 3 x y + = B．椭圆C 上存在点 M ，使得 1 2MF MF⊥ C． P 是椭圆C 上一点，若 1 2 7 | | | | 2 PF PF = ，则 1 2 6 2 PF FS = D．若△ 1 2AF F ，△ 1 2BF F 的内切圆半径分别为 1r ， 2r ，当 1 22r r= 时，直线l 的斜率 3 2 k =  三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12．椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b + =   的右焦点为 (3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于 A、B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1, 1)− ,则 E 的方程为 ． 13．已知平面向量 ,a b 的夹角为 ，b a− 与 a 的夹角为3 ， | | 1a = ， a 和b a− 在b 上的 投影数量分别为 x， y ，则 ( sin )x y + 的取值范围是 ． 14．椭圆 1 2 2 2 2 =+ b y a x 的左右焦点为 21 , FF ，若在椭圆上恰好存在 6 个不同的点 P，使 PFF 21 为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，点 D 在边 BC 上，且点 D 是 靠近C 的三等分点， 90DAB = ． （1）若 45B = ， ADC 的面积为 1，求b ； （2）求 tan tan A B 的值． 16．已知圆 2 2: 4 6 12 0C x y x y+ − − + = ． （1）过点 (3,5)P 作圆C 的切线 l ，求 l 的方程； （2）直线 : 3 8 0+ − =l x y 与圆C 相交于 A，B两点，点Q是圆 2 2( 4) ( 3) 10x y+ + − = 上 的点，求QAB 面积的最大值． 17．如图，在四棱锥 P ABCD− ， 2PA PD AD AB= = = = ， 2 3BD BC CD= = = ， E 为 PC 的中点． （1）证明：直线 / /BE 平面 PAD ； （2）若平面 PBD ⊥平面 ABCD ，求直线 AB 与平面 PCD所成 角的正弦值． 18．已知椭圆 1 36 : 22 =+ yx C 的右焦点为 F，过 )0,2(N 的直线 l与 C交于 A，B两点． （1）若点M为 C上一动点，求|MF|+|MN|的最大值与最小值； （2）若 NBAN 2= ，求直线 l的斜率； （3）在 x 轴上是否存在定点 Q，使得 QBQA  为定值？若存在，求出定点 Q 的坐标；若 不存在，请说明理由． 19．点 )0,2(−A ， )0,2(B ，动点 ),( yxM 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 2 1 − ，记 M 的 轨迹为曲线 C. （1）求 C的方程，并说明 C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 C于 P，Q两点，点 P在第一象限，PE x⊥ 轴，垂足为 E，连 结 QE并延长交 C于点 G. ①证明： PQG 是直角三角形；②求 PQG 面积的最大值.