精品解析：山东省聊城市东阿县实验中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024—2025学年八年级上学期数学学科第二次学情检测题 （时间：130分钟，分值：150分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大6倍 B. 扩大3倍 C. 不变 D. 扩大9倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值扩大9倍， 故选D． 3. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM， A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意； D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 4. 如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用得到与全等，由全等三角形的对应边相等得到，由，即，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， 则，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照分式的基本性质逐项排除即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握给分式分子分母同乘（除）一个不为0的数或代数式，原分式大小不变是解答本题的关键． 6. 在中，与相邻的外角是130°，要使为等腰三角形，则的度数是（ ） A. 50° B. 65° C. 50°或65° D. 50°或65°或80° 【答案】D 【解析】 【分析】依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可，注意分三种情况进行讨论． 【详解】解：∠A=180°-130°=50°． 当AB=AC时，∠B=∠C=（180°-50°）=65°； 当BC=BA时，∠A=∠C=50°，则∠B=180°-50°-50°=80°； 当CA=CB时，∠A=∠B=50°． ∠B的度数为65°或80°或50°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键． 7. 如图，在中，，平分，交于点D．已知，，则的面积为（ ） A. 80 B. 40 C. 20 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵，平分， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 8. 如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　） A. 20° B. 35° C. 40° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°． 【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°， ∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=∠ACB=35°． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键． 10. 如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，     ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 11. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 4.5cm2 D. 5cm2 【答案】C 【解析】 【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可． 【详解】延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ∠ABP＝∠EBP BP＝BP ∠APB＝∠EPB， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 12. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若分式的值为0，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴ ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键． 14. 如图，已知，，，B、D、E在同一直线上，则的度数为______． 【答案】##52度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键，由已知条件可证明，可知，在等腰中可求得，利用外角的性质可求得，在中利用三角形内角和可求得． 【详解】解：∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 15. 如图，，，垂足分别为B，E，、相交于点F，若，，连接，则图中阴影部分面积为_______． 【答案】17.5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．先利用等角的余角相等得到，则可根据“”判断，所以，然后根据三角形面积公式计算图中阴影部分面积． 【详解】解：，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴， 图中阴影部分面积． 故答案为：17.5． 16. 如图，中，，，是中线，，则是_______度． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 已知：如图所示，边长为6的等边△ABC，以BC边所在直线为x轴，过B点且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A点坐标为____． 【答案】（，） 【解析】 【分析】此题根据等边三角形三边的特点建立坐标系即可． 【详解】 如图，作AD BC， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°，BD=DC= AB， 又AB=BC=AC=6， ∴BD=3，AD= ， ∴点A坐标为（3，）， 故答案为：（3，）． 【点睛】此题考查等边三角形三边的特点，难度一般． 18. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或． 三、解答题（共9小题） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）2 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （3）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （4）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．已知△ABC的三个顶点均在格点上，且A、B两点的坐标分别为、． （1）在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点C的坐标为 ； （2）已知点P在x轴上，且，则点P的坐标为 ； （3）若点Q在x轴上，且使得最小，则点Q的坐标为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，线段垂直平分线，路径最短问题等，熟练掌握相关的知识是解题的关键．（1）根据A、B两点的坐标分别为、，可找出原点，即可求出点C坐标；（2）作线段AC的线段垂直平分线即可找出P的坐标；（3）作A点的对称点，连接，即可找出Q点坐标． 【小问1详解】 解：∵A、B两点的坐标分别为、； ∴即可找出原点的位置并建立直角坐标系，如图所示； ∴点C的坐标为：． 【小问2详解】 ∵P在x轴上，且； ∴作线段AC的垂直平分线，交x轴于P点， 如图，此时点P即为所求，坐标为． 【小问3详解】 作A点的对称点，连接交x轴于点Q， 如图，此时Q点即为所求； 此时Q点坐标为． 21. 如图，是的中线，，垂足为E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明,得出，结合，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即的长为2． 22. 如图，在中，，，平分，于点D，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，先证明得到为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得到结论．解题的关键是证明为等腰三角形． 【详解】略 23. 如图所示，在中，，点O为的三条角平分线的交点，于点D，于点E，于点F，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是角平分线的性质，由角平分线的性质易得，再利用面积法即可求得的长，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：点O为的三条角平分线的交点，且于点D，于点E，于点F， ， ， ， 设， ， 可得，解得， ． 24. 如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． （1）若是的中点，求证：； （2）若，求证：为等边三角形． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接，证明是等边三角形，进而得出，即可得出结论； （2）先证明为等边三角形，进而证明，再由等边三角形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2） ①解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年八年级上学期数学学科第二次学情检测题 （时间：130分钟，分值：150分） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大6倍 B. 扩大3倍 C. 不变 D. 扩大9倍 3. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 4. 如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，与相邻的外角是130°，要使为等腰三角形，则的度数是（ ） A. 50° B. 65° C. 50°或65° D. 50°或65°或80° 7. 如图，在中，，平分，交于点D．已知，，则的面积为（ ） A. 80 B. 40 C. 20 D. 10 8. 如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 9. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　） A. 20° B. 35° C. 40° D. 70° 10. 如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 4.5cm2 D. 5cm2 12. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若分式的值为0，则_______． 14. 如图，已知，，，B、D、E在同一直线上，则的度数为______． 15. 如图，，，垂足分别为B，E，、相交于点F，若，，连接，则图中阴影部分面积为_______． 16. 如图，中，，，是中线，，则是_______度． 17. 已知：如图所示，边长为6的等边△ABC，以BC边所在直线为x轴，过B点且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A点坐标为____． 18. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 三、解答题（共9小题） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．已知△ABC的三个顶点均在格点上，且A、B两点的坐标分别为、． （1）在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点C的坐标为 ； （2）已知点P在x轴上，且，则点P的坐标为 ； （3）若点Q在x轴上，且使得最小，则点Q的坐标为 ． 21. 如图，是的中线，，垂足为E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，，，平分，于点D，求证：． 23. 如图所示，在中，，点O为的三条角平分线的交点，于点D，于点E，于点F，且，求的长． 24. 如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． （1）若是的中点，求证：； （2）若，求证：为等边三角形． 25. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $