精品解析：吉林省四平市 双辽市 2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

2024—2025学年度上学期阶段质量检测九年级数学试题 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“£”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴选项中要有的2次方，而且不能含有其它未知数， 观察各选项，唯有C选项符合条件， 故选：C． 2. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：A． 3. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项错误； B．不是中心对称图形，故本选项正确； C．是中心对称图形，故本选项错误； D．是中心对称图形，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得出，则，根据圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知，然后问题可求解． 【详解】解：由图象可知：， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限； 故选C． 6. 春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，再根据3天的累计票房为亿元列出方程即可． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， 由题意得，， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再系数化1，最后利用直接开平方法求解，即可解题． 【详解】解： ， 故答案为：． 8. 如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据，说明一元二次方程有实数根，据此列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根 ∴ 解得 故答案为： 9. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据二次函数的顶点式的特点进行判断可以得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位得到点，点关于原点的对称点是，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，以及关于原点的对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．先根据向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变，求出点的坐标，再根据关于原点对称的点，横坐标，纵坐标都互为相反数解答即可． 【详解】解：∵将点向右平移6个单位得到点， ∴点的坐标是， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故答案为：． 11. 如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 12. 如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为___． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程．利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线开口向下， 当时，． 故答案为：． 14. 如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 _______．（结果保留π） 【答案】## 【解析】 【分析】先求出正方形对角线长度，进而得到扇形半径，再根据正方形面积减去两个扇形面积求出阴影部分面积．本题主要考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，熟练掌握正方形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， 图中阴影部分的面积为 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 用适当的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解方法，把方程化为：，可得，再化为两个一次方程求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 16. 在淘宝一年一度的“双十一”活动中，某电商在2014年销售额为2500万元，要使 2016年“双十一”的销售额达到3600万元，平均每年“双十一”销售额增长的百分率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率，参照本题，如果设平均增长率为x，根据“在2014年销售额为2500万元，要使 2016年“双十一”的销售额达到3600万元”，即可得出方程． 【详解】解：设平均每年“双十一”销售额增长的百分率是x，根据题意得 ， 解得：， （不合题意，舍去）， 答：平均每年“双十一”销售额增长的百分率是． 17. 抛物线与x轴的一个交点为． （1）求k的值； （2）求该抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法及二次函数与一元二次方程的关系等知识． （1）将点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得k的值； （2）确定出抛物线的解析式，令抛物线中，可得出关于x的一元二次方程，即可求得抛物线与x轴的另一交点的坐标． 【小问1详解】 把代入可得， ， ∴； ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵， 解得，， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标． 18. 若点与点关于原点对称，求的值． 【答案】5 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，然后求出a，b的值代入求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴①，②， ①②得，解得， 把代入①得，解得， ∴． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在下列的正方形网格中，按要求作图． （1）在图①②③中，分别画一条线段，使各网格为轴对称图形（要求所画图形互不相同）； （2）在图④中，画一条线段，使整个网格为中心对称图形． 【答案】（1） 如图①②③所示． （2） 如图④所示． 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形的定义是解答本题的关键． （1）根据轴对称图形的定义画图即可． （2）根据中心对称图形的定义画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，以为直径的分别交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵是圆O的直径， ∴， 即． 又∵， ∴是边上的中线， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，利用圆周角定理推知是等腰等边上的高线，结合等腰三角形的性质证得结论； （2）如图，连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角 的度数，然后利用弧长公式进行解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴ 的长为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理（或圆半径相等）的性质求得相关角的度数是解题的难点． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． （2）若这个方程无实数根，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，，（答案不唯一）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用判别式判断一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程有实数根得到判别式大于等于0，从而列出关于的不等式，求出的取值范围，然后再从已知的三个数中选择符合条件的数，最后解方程即可； （2）根据一元二次方程无实数根得到判别式小于0，从而列出关于的不等式，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：若关于的一元二次方程有实数根， ∴， ， ， ， 当或1时，这个方程有实数根， 当时，原方程为：， ， 或， ∴，； 当时，原方程为：， ， 解得，． 【小问2详解】 解：若关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为平方米． （1）如果花圃的面积为45平方米，那么的长为多少米？ （2）当的长为多少米时，花圃面积最大？ 【答案】（1）5米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉． （1）依据题意，可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式，再将代入其中，求出的值即可． （2）可根据（1）中解析式化成顶点式即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题可知，花圃的宽为米，则为米， 这时面积． 花圃的面积为45平方米， ． ，． 又墙的最大可用长度为10米， ． ． ，不合题意，舍去． 的长为5米． 【小问2详解】 解：． 当时，有最大值． 故当的长为时，花圃面积最大． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 天气渐热，某商家购进一种冰镇饮料，每瓶进价是4元，并规定每瓶售价不得少于6元，日销售量不低于40瓶，根据以往销售经验发现，当每瓶售价定为6元时，日销售量为60瓶，每瓶售价每提高1元，日销售量减少5瓶，设每瓶售价为x元，日销售量为p瓶． （1）当时，______； （2）当每瓶售价定为多少元时，日销售利润w（元）最大？最大利润是多少？ （3）判断命题：“日销售额最大时，日销售利润不是最大”是______命题（填“真”或“假”），并说明理由． 【答案】（1）50 （2）当每瓶售价时，日销售量最大，最大利润为240元 （3）真，理由： 设日销售额为y元， 则， ∵，， ∴当时，日销售额y有最大值为405元， 而此时日销售利润w为225元，不是最大， 所以原命题是真命题， 故答案为：真． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解决问题的关键是弄清题意，列出函数解析式并求出x的取值范围． （1）根据每瓶售价每提高1元，日销售量减少5瓶，当时，售价提高2元，则日销售量减少10瓶，即可得出结论； （2）根据每瓶利润×日销售量=总利润，可得w关于x的关系式，再根据题意求出自变量的取值范围，由二次函数性质可得答案； （3）设日销售额为y元，根据日销售额=销售单价×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出y取最大值时x的值，再求出此时的利润即可判断． 【小问1详解】 解：， 故答案为：50； 【小问2详解】 由题意可得，， 则， ∵每瓶售价不得少于6元，日销售量不低于40瓶， ∴， 解得， ∵， ∴当时，w有最大值，最大利润为240， 答：当每瓶售价定为10元时，日销售利润w（元）最大，最大利润是240元； 【小问3详解】 略 24. 如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）如果筝形的两条对角线长分别为、，求筝形的面积？ （2）已知筝形的对角线的长度为整数值，且满足．试求当的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）24平方厘米 （2）时，面积有最大值，最大为 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，二次函数的性质，能用长表示出筝形的面积是解题的关键． （1）由可得出点B和点D都在的垂直平分线上，所以，由求解即可； （2）设的长为， 则，用x表示出筝形的面积，再根据二次函数的最值求解即可． 【小问1详解】 解： ， 点在的垂直平分线上． 同理点在的垂直平分线上． 垂直平分． 所以． ，， 则 ． 又筝形的两条对角线长分别为，， 所以． 【小问2详解】 解：令，则， 由（1）知， ， 又的长度为整数值， 则当时，有最大值，最大值为． 此时． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 已知中，，矩形的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，和在同一条直线上（如图所示），不动，矩形沿射线以每秒1cm的速度向右移动，设移动后，矩形与重叠部分的面积为，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【解析】 【分析】分图1，图2，图3三种情况，利用三角形面积公式和梯形面积公式进行讨论求解即可． 【详解】运动过程中，重叠部分图形的形状在发生改变，重叠部分面积也随之而变化，由此可知题目需进行以下分类讨论： 当时，如图1所示，重叠部分为等腰直角三角形，腰长为，得：； 当时，如图2所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长为，上底长为，得：； 当时，如图3所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长即为等腰直角三角形腰长保持不变，则上底长为，得保持不变． 综上所述， 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，掌握矩形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26. 已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． （1）若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （2）已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】（1）①，；②，最大值是 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． 【小问2详解】 解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期阶段质量检测九年级数学试题 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“£”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 线段 4. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 方程的解是______． 8. 如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是________． 9. 抛物线的顶点坐标是______． 10. 在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位得到点，点关于原点的对称点是，则点的坐标是______． 11. 如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为______． 12. 如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为___． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是_______． 14. 如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 _______．（结果保留π） 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 用适当的方法解方程：． 16. 在淘宝一年一度的“双十一”活动中，某电商在2014年销售额为2500万元，要使 2016年“双十一”的销售额达到3600万元，平均每年“双十一”销售额增长的百分率是多少？ 17. 抛物线与x轴的一个交点为． （1）求k的值； （2）求该抛物线与x轴的另一个交点坐标． 18. 若点与点关于原点对称，求的值． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在下列的正方形网格中，按要求作图． （1）在图①②③中，分别画一条线段，使各网格为轴对称图形（要求所画图形互不相同）； （2）在图④中，画一条线段，使整个网格为中心对称图形． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． （2）若这个方程无实数根，求a的取值范围． 22. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为平方米． （1）如果花圃的面积为45平方米，那么的长为多少米？ （2）当的长为多少米时，花圃面积最大？ 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 天气渐热，某商家购进一种冰镇饮料，每瓶进价是4元，并规定每瓶售价不得少于6元，日销售量不低于40瓶，根据以往销售经验发现，当每瓶售价定为6元时，日销售量为60瓶，每瓶售价每提高1元，日销售量减少5瓶，设每瓶售价为x元，日销售量为p瓶． （1）当时，______； （2）当每瓶售价定为多少元时，日销售利润w（元）最大？最大利润是多少？ （3）判断命题：“日销售额最大时，日销售利润不是最大”是______命题（填“真”或“假”），并说明理由． 24. 如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）如果筝形的两条对角线长分别为、，求筝形的面积？ （2）已知筝形的对角线的长度为整数值，且满足．试求当的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？ 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 已知中，，矩形的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，和在同一条直线上（如图所示），不动，矩形沿射线以每秒1cm的速度向右移动，设移动后，矩形与重叠部分的面积为，求y与x之间的函数关系式． 26. 已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． （1）若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （2）已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $