精品解析：浙江省宁波市华师艺术实验学校2024-—2025学年九年级上学期10月考数学试卷

艺术实验2024学年第一学期初三数学月度学习效果自我评估（2024.10） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 投掷一枚质地均匀的硬币两次，对两次朝上一面的描述，下列说法正确的是（ ） A. 都是正面的可能性较大 B. 都是反面的可能性较大 C. 一正一反的可能性较大 D. 上述三种的可能性一样大 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 以坐标原点为圆心，5为半径作圆，则下列各点中，一定在内的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，，则的度数为（　　　） A. 30° B. 70° C. 80° D. 120° 5. 如图，已知是的直径，弦，若的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移个单位后，再向上平移个单位，得到新抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 已知是抛物线上的点，则（　　） A. B. C. D. 8. 若拋物线经过，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（ ） A. 函数图象的横轴表示的长 B. 当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C. 两段抛物线的形状不同 D. 图象上点的横坐标为时，纵坐标为 10. 若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为( ) A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 若线段，，则、的比例中项为_____________． 12. 半径为，圆心角为的扇形面积是______． 13. 如图，为一个正多边形的相邻四个顶点，是正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______． 14. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_____ 15. 如图，在中，，，，以点N为圆心，长为半径画弧，交斜边于点B．则弧的长为____． 16. 如图，若，且，，．则______． 17. 若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在x轴上截得的“弦长”．则在下列抛物线中：①；②；③，其中“弦长”最短的抛物线是______（填题序号即可）． 18. 折纸是中国的传统文化之一．已知图1是等腰直角三角形纸片，其中，按以下步骤折叠纸片，第一步，使得点A与点C重合（如图2），把纸片展平，得到折痕．第二步，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C恰好落在上的点处，再把纸折片展平（如图3），得到折痕，则图3中的______° 19. 如图，、为圆形纸片中两条互相垂直的直径，将圆形纸片沿折叠，使与圆心重合，折痕与相交于．连结、，得到了以下结论：①四边形是菱形；②为等边三角形；③，其中正确的是________（填写序号）． 20. 如图，点在线段上，，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为腰作等腰，连接，则长的取值范围是______． 三、解答题（共8小题） 21. 已知二次函数的图象如图所示． （1）写出c的值； （2）求出二次函数的表达式 22. 已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点，，； （1）用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点； （2）若为等腰三角形，且，，求该圆板的半径． 23. 将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． （1）计算的结果为0的概率； （2）甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 24. 如图，是的内接三角形，是的直径，． （1）求的度数． （2）若的半径为1，求图中阴影部分的面积． 25. 矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． （1）如图1，若，且．求证：点G是的中点； （2）如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 26. 下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取的值为，使得函数值满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，则点，的横坐标就是方程的解．观察如图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为． 【任务】 （1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合 B．分类讨论 C．统计思想 D．转化思想 （2）先完成下表，并判断： 方程的解分别在哪两个相邻的整数之间 的值 0 1 的值 （3）若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 27. 已知二次函数，（p为实数） （1）若函数与x轴交于不同的两点，，，求实数p的取值范围． （2）若，，是方程的两根，当函数的图像分别与直线相交于A，B两点，与直线相交于C，D两点，当时，求p的值． （3）若关于x方程有4个不相等的实数根，求p的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 艺术实验2024学年第一学期初三数学月度学习效果自我评估（2024.10） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 投掷一枚质地均匀的硬币两次，对两次朝上一面的描述，下列说法正确的是（ ） A. 都是正面的可能性较大 B. 都是反面的可能性较大 C. 一正一反的可能性较大 D. 上述三种的可能性一样大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据概率公式求概率，先求出可能出现的结果有正正、正反、反正、反反共4种，即可求解． 【详解】解：正面朝上和反面朝上的可能性相同，都是 ，掷两次硬币，可能出现的结果有正正、正反、反正、反反共4种，这4种情况是等可能的． 两次都是正面朝上的可能性是；两次都是反面朝上的可能性是；一正一反的可能性是； ∴一正一反的可能性较大 故选：C． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，代入进行求解即可．熟练掌握外项积等于内项积，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. 以坐标原点为圆心，5为半径作圆，则下列各点中，一定在内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，计算圆心（坐标原点）到各个选项中点的距离，然后与半径比较，当距离时，点在圆内，熟记两点之间距离公式是解决问题的关键． 【详解】解：A、坐标原点到的距离为，一定在内，符合题意； B、坐标原点到的距离为，在上，不符合题意； C、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意； D、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意； 故选：A． 4. 已知，若，，则的度数为（　　　） A. 30° B. 70° C. 80° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据，从而推出对应角相等求解． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴ 故选:C. 【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键. 5. 如图，已知是的直径，弦，若的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆中求角度问题，涉及平行线性质和圆周角定理，首先由平行线性质“两直线平行，内错角相等”得到，再由“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可得到答案，熟练掌握平行性质及圆周角定理是解决问题的关键． 【详解】解：，的度数是， ， 在中，，则， 故选：D． 6. 将抛物线向左平移个单位后，再向上平移个单位，得到新抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线的平移遵循“上加下减，左加右减”，如果是一般是最好采用配方法将原式进行变形，本题根据几何变换规则直接可得答案 【详解】向左平移个单位后为 再向上平移个单位为 【点睛】抛物线的平移遵循“上加下减，左加右减”，用配方法将公式进行简单的变形跟有利于解题. 7. 已知是抛物线上的点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线的对称轴为直线然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．利用二次函数的增减性和对称性解题是关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：C． 8. 若拋物线经过，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 根据题意可知抛物线对称轴为直线，则有点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为：，然后根据二次函数性质：当抛物线开口向下时，离对称轴越远，对应点的函数值越小，进行分析判断即可． 【详解】解： 抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为：， 抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， A、若， ，∴，故选项A结论不正确，不符合题意； 、若，，∴，故选项B结论正确，符合题意； 、若， ，∴，故选项C结论不正确，不符合题意； 、若， ，∴，故选项D结论不正确，不符合题意； 故选：B． 9. 如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（ ） A. 函数图象的横轴表示的长 B. 当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C. 两段抛物线的形状不同 D. 图象上点的横坐标为时，纵坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像．理解拐点在图形中表示的意义是解题的关键． 第二个图形中点再结合第一个图形，可得此时点P移动到点C，H在的中点，那么的面积为．所以横轴表示的长，故A错误；当P为的中点时，作于点D，可得，根据平行线分线段成比例定理可得，那么，H为的四等分点，那么B错误；根据P在和上，分别计算出的面积，得到相应函数解析式，看二次项的比例系数的绝对值是否相等，若相等，则形状相同；把代入点P在上的函数解析式中可求得面积的值，判断出D是否正确． 【详解】解：∵在两段函数中， ∴点P点C重合． ∵等边的边长为1，， ∴． ∴， ∴． ∵符合所给点． ∴横轴表示的长，故A错误； 如图：作于点D． 又∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵P为中点， ∴． ∴． ∴． ∴点H为的四等分点，故B错误； 当P在上时，为x，则， ∴． 当P在上时，为x，则， ∴， ∴． ∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等， ∴形状相同，故C错误； 当时，点P在上， ∴，故D正确． 故选D． 10. 若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为( ) A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．设这个二次函数的“优和点” 坐标为，将点坐标代入二次函数，根据题意分类讨论，再求的范围即可． 【详解】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入可得： ； 整理得：， 令， 二次函数的“优和点”有且仅有一个， 与x轴只有一个公共点， 第一种情况是与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上， ，且，解得：，且， ； 第二种情况是与x轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上， 对称轴在y轴左侧，且交于y轴的负半轴， 且， 解得， 综上，的取值范围为或． 故选：C 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 若线段，，则、的比例中项为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例中项的定义，设比例中项为，根据比例关系列方程，求解即可． 【详解】解：设、的比例中项为， 则， 即， 由比例的性质，得， 解得或（舍去）． 故答案为：． 12. 半径为，圆心角为的扇形面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，熟记公式是解题的关键．根据扇形的面积公式进行计算． 【详解】解：扇形的半径，圆心角为， ∴该扇形面积． 故答案为： 13. 如图，为一个正多边形的相邻四个顶点，是正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，设正多边形的外接圆为，连接，，所以，则这个正多边形为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ∵， ∴， ∴这个正多边形为， 故答案为：． 14. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_____ 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式． 用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴落入黑色部分的概率是． ∴据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：12． 15. 如图，在中，，，，以点N为圆心，长为半径画弧，交斜边于点B．则弧的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求弧长．根据直角三角形的性质，可得，再由弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：由作法得：， ∵，，， ∴， ∴弧的长为． 故答案为： 16. 如图，若，且，，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 根据，先计算，然后即可求解． 【详解】解：∵，， ， ， ， ． 故答案为：． 17. 若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在x轴上截得的“弦长”．则在下列抛物线中：①；②；③，其中“弦长”最短的抛物线是______（填题序号即可）． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点．解方程得到抛物线与x轴的两交点坐标分别为，，则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为5；解方程得到抛物线与x轴的两交点坐标分别为，，则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为6；解方程得到抛物线与x轴的两交点坐标分别为，，则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为4，从而得到“弦长”最短的抛物线． 【详解】解：①， 当时，， 解得，， 抛物线与x轴的两交点坐标分别为，， 该抛物线在x轴上截得的“弦长”为； ②， 当时，， 解得，， 抛物线与x轴的两交点坐标分别为，， 该抛物线在x轴上截得的“弦长”为； ③， 当时，， 解得，， 抛物线与x轴的两交坐标为，， 该抛物线在x轴上截得的“弦长”为； “弦长”最短的是抛物线③； 故答案为：③． 18. 折纸是中国的传统文化之一．已知图1是等腰直角三角形纸片，其中，按以下步骤折叠纸片，第一步，使得点A与点C重合（如图2），把纸片展平，得到折痕．第二步，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C恰好落在上的点处，再把纸折片展平（如图3），得到折痕，则图3中的______° 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握轴对称的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 根据轴对称的性质，矩形的判定和性质以及直角三角形的边角关系． 【详解】解：如图3，过点作，交的延长线于点， 由第1次折叠可得，，， ，，， 四边形是矩形， ， 由第2次折叠可知，，， 取的中点Q，连接， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴， ， ， 故答案为：15． 19. 如图，、为圆形纸片中两条互相垂直的直径，将圆形纸片沿折叠，使与圆心重合，折痕与相交于．连结、，得到了以下结论：①四边形是菱形；②为等边三角形；③，其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】①根据折叠性质，利用圆半径相等即可得到，从而由菱形的判定定理确定①正确；②由折叠性质，结合边的关系，利用特殊角的正弦值即可求出，进而结合圆周角定理得到，再由中垂线的性质确定是等腰三角形即可证得②正确；③设圆的半径为，利用含的直角三角形性质，得出圆和三角形面积，作比即可得到③错误． 【详解】解：由折叠可知， 圆心， ， ，即四边形是菱形，①正确； 由折叠可知， ， 在中，，，则由可知， ， 菱形中，， ， ， ， 是圆的直径，且， 由垂径定理可知，即是的垂直平分线， ， 为等边三角形，②正确； 设圆的半径为，则， 在中，，，则，， ， ，③错误； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查圆综合，涉及折叠性质、菱形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、特殊角的三角函数、含直角三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式和圆的面积等知识，熟练掌握圆的性质及相关定理是解决问题的关键． 20. 如图，点在线段上，，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为腰作等腰，连接，则长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，以为顶点，为边向上方作等腰直角，连接、，证明得出，从而得到点在以点为圆心，为半径的圆上，作射线交于、，，则，，即可得解． 【详解】解：如图，以为顶点，为边向上方作等腰直角，连接、， ， 则，，， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 作射线交于、， 则，， 长的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 21. 已知二次函数的图象如图所示． （1）写出c的值； （2）求出二次函数的表达式 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键． （1）将点代入即可求出c； （2）把点代入即可求出函数表达式． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点； ∴将点代入得；． 【小问2详解】 解：设函数的表达式为， ∵函数图象经过点， ∴把点代入得； ； ∴函数的表达式为：． 22. 已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点，，； （1）用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点； （2）若为等腰三角形，且，，求该圆板的半径． 【答案】（1） 如图所示， （2）圆板的半径为 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，勾股定理； （1）分别作线段，的垂直平分线，交点即为所求的点； （2）设交于点，根据垂径定理得出，进而勾股定理求得，设圆板的半径为，在中，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设交于点， ∵为等腰三角形，且，， 又， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 设圆板的半径为，在中，， ∴ ∴ 解得：． ∴圆板的半径为． 23. 将形状、大小完全相同，分别标有数字，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． （1）计算的结果为0的概率； （2）甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 【答案】（1） （2） 解：由树状图得共有12种的等可能结果，其中共有2种等可能结果，所以甲胜的概率为；共有4种等可能结果，所以乙胜的概率为； ∵ ∴游戏规则不公平； 公平的游戏规则为：若x，y满足，则甲胜；若x，y满足，则乙胜． 此时甲胜和乙胜的概率都是， ∴此游戏规则公平． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率等知识． （1）画树状图得到共有12种的等可能结果，其中的结果为0的共有2种等可能结果，根据概率公式即可求解； （2）分别计算出甲胜的概率为，乙胜的概率为，据此即可得到游戏规则不公平；新的游戏规则只要保证甲胜和乙胜的概率相等即可符合题意． 【小问1详解】 解：画树状图如下， 由树状图得共有12种的等可能结果，其中的结果为0的共有2种等可能结果， ∴的结果为0的概率是； 【小问2详解】 略 24. 如图，是的内接三角形，是的直径，． （1）求的度数． （2）若的半径为1，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和推论，扇形面积，三角形内角和定理， （1）由圆周角定理得，根据得，根据得，根据三角形内角和定理即可得； （2）连结，根据得，根据的半径为1得，根据阴影部分面积等于扇形面积减去三角形的面积即可得； 掌握圆周角定理，扇形面积，添加辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：连结， ∵是直径， ， ∵， ， ∵， ， ． 【小问2详解】 解：如图所示，连结， ∵， ， ∵的半径为1， ， ． 25. 矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． （1）如图1，若，且．求证：点G是的中点； （2）如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 点是的中点； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证矩形是正方形，得，，再证，得，结合中点及正方形的性质即可得证； （2）延长交的延长线于点，由，得，证明，得即，从而，同理，利用相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交的延长线于点， ， ， 四边形是矩形，点是的中点， ，， ，， ， 即， ， ， 同理可证：， ， ， ． 26. 下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取的值为，使得函数值满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，则点，的横坐标就是方程的解．观察如图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为． 【任务】 （1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合 B．分类讨论 C．统计思想 D．转化思想 （2）先完成下表，并判断： 方程的解分别在哪两个相邻的整数之间 的值 0 1 的值 （3）若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 【答案】（1）A，D （2） 填表如下： x的值 0 1 的值 13 3 1 根据上表可得，； （3）方程有两个不相等的实数根，且， 【解析】 【分析】本题考查了数学思想和二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意结合数学思想可得答案； （2）分别把x的值代入即可填表，根据表格可得答案； （3）根据二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【小问1详解】 根据例5求解过程，可知求解过程中，主要运用的数学思想是数形结合，转化思想 故答案为：A，D； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 当时，， 又， 方程有两个不相等的实数根，且，． 27. 已知二次函数，（p为实数） （1）若函数与x轴交于不同的两点，，，求实数p的取值范围． （2）若，，是方程的两根，当函数的图像分别与直线相交于A，B两点，与直线相交于C，D两点，当时，求p的值． （3）若关于x方程有4个不相等的实数根，求p的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数图象与x轴交于不同的两点可知的两个不相同的根，利用判别式求出p的取值范围，再根据可知两根之和小于0求解即可； （2）先求出，的值，再根据题意分别可得到、，最后根据求解即可； （3）令，可得到关于t的一元二次方程，根据原方程有4个不相等的实数根可知有两个不相同的实数根，最后根据判别式求解即可． 【小问1详解】 解：与x轴交于不同的两点，， ，是方程的两个不相同的根， ， 或， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， 解得，， ，，是方程的两根， ，， 当函数的图像分别与直线相交于A，B两点时， 即， 解得，， ， 当函数的图像分别与直线相交于C，D两点时， 即， 解得，， ， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 令， 则原方程可化为， （当t取某个常数时）最多只有两个不相等的实数根， 要保证有4个不相等的实数根，t必须要有两个不同的数， 即必须要有两个不相等的实数根， ， 或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，换元法；掌握二次函数的图象与x轴的交点横坐标就是二次函数所对应的一元二次方程的解是关键；学会用换元法求解方程也是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $