精品解析：内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

鄂尔多斯市西四旗2024~2025学年第一学期期中联考试卷 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章~第二章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程直接确定倾斜角. 【详解】由直线与轴垂直，即其倾斜角为. 故选：B. 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由，得 ∵，， ∴，解得 故选：D 3. 过点且与直线垂直的直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解. 【详解】因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为-1， 又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：， 即， 故选：C 4. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 5. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行可得，即可根据平行线间距离公式求解. 【详解】由于与平行，故，解得， 故两直线为，， 故距离为， 故选：C 6. 用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型分析求解. 【详解】将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，共6种， 其中偶数有，共4种， 所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为． 故选：C． 7. 正四面体的棱长为3，点为棱靠近点的三等分点，点为的重心，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，求出，得到答案. 【详解】因为， 所以 ， 所以． 故选：A． 8. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明平面，以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立的空间直角坐标系，利用点到面的距离可求解. 【详解】解：由题意得： 因为，为中点 所以 又，与交于点A，平面，平面 所以平面 以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故， 所以 所以 又，，设平面的法向量，则 令，则，，所以.点到平面的距离为，解得或（舍） 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，；B选项，；C选项，，C正确；D选项，若相互独立，则相互独立，利用进行求解. 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则事件互斥， 所以，B错误； C选项，因为，所以，则相互独立，C正确； D选项，若相互独立，则相互独立，且， 所以，D错误． 故选：AC． 10. 已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用直线的截距式，结合基本不等式可得解. 【详解】由题意知直线在，轴上的截距存在且大于， 可设的方程为（，）， 由直线过点，得， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 即，所以， 故选：CD. 11. 在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（ ） A. 若点在平面内，则 B. 若，则 C. 当时，三棱锥的体积为 D. 当时，长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得，，进而结合即可求解判断B；由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，进而可得当时，到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D. 【详解】对于选项A，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故A正确； 对于选项B，由题意易得， ，且， 又，即， 故，解得，故B正确； 对于选项C，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故C错误； 对于选项D，由B知， ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用空间向量的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得，设，从而得解. 【详解】因为，所以，则存在实数，使， 即，解得，所以 故答案为： 13. 在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式计算即可得解. 【详解】在中，连接任意两个顶点的线段除了12条棱之外， 还有每个面上各有两条面对角线，共，还有4条体对角线，共28条线段， 其中它们所在的直线与平面平行的有共3条面对角线所在直线， 故这些线段所在的直线平行于平面的概率为． 故答案为：． 14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则 解得即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:根据题意以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： AI    易知， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则可得，即； 又，即， 又平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面的法向量，易得，即可得出证明； （2）求出，利用（1）中的法向量，即可求得直线与平面所成角的正弦值为. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 易知，则， 由（1）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知直线. （1）求恒过的定点的坐标; （2）若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）变化主元计算可求直线所过定点； （2）分类讨论结合直线在纵轴上截距及其斜率的大小计算不等式即可. 【小问1详解】 整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得所以直线恒过的定点的坐标为; 【小问2详解】 当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限，所以， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 17. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算异面直线夹角及面面夹角即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，显然， 由正三棱柱的特征可知底面，所以底面， 又底面，所以， 因为是中点，易得， 所以可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， ， 故异面直线的夹角余弦值为； 【小问2详解】 由上可知， 设面的一个法向量为， 则， 取，即， 易知面的一个法向量为， 由图象可知二面角为钝角，设其为， 所以， 则. 18. 为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响． （1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率； （2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率； （3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由事件的相互独立性的乘法公式和对立事件可求出答案。 （2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。 （3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。 【小问1详解】 记“乙至少有1个回答正确”为事件， 所以， 即乙至少有1个回答正确的概率是． 【小问2详解】 记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件 所以 ， 即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是． 【小问3详解】 记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件， 所以 ， 即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是． 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 【答案】（1） （2） 由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程； （2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系； （3）根据题意可得平面、的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 由得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量， 则，令，解得，可得， 由平面可知，平面法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，即， 则， 故平面与平面夹角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄂尔多斯市西四旗2024~2025学年第一学期期中联考试卷 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章~第二章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 过点且与直线垂直的直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 正四面体的棱长为3，点为棱靠近点的三等分点，点为的重心，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 10. 已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（ ） A. 若点在平面内，则 B. 若，则 C. 当时，三棱锥的体积为 D. 当时，长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________. 13. 在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为______． 14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知直线. （1）求恒过的定点的坐标; （2）若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 17. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求二面角的正弦值. 18. 为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响． （1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率； （2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率； （3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率． 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $