精品解析：河南省郑州外国语学校2025届高三上学期调研考试（五）数学试卷

郑州外国语学校2025届高三调研考试试卷（五） 数学 （120分钟 150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列举法表示集合，再求. 【详解】，，∴. 故选：D 2. 已知复数是实数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算得到，再根据实数的定义求解即可. 【详解】 因为是实数， 所以，即. 故选：D. 3. 设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由化简得出，从而得出与共线，当与共线时，，，不一定相等，最后由充分条件和必要条件的定义作出判断. 【详解】当时，，化简得，即，，即与共线 当与共线时，则存在唯一实数，使得 ，，与不一定相等，即不一定相等 故“”是“与共线”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于熟练掌握向量的数乘、数量积运算以及向量共线定理. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据辅助角公式求得，结合角的范围可得，继而利用两角差的余弦公式，即可求得答案. 【详解】因为， 故，则， 而，故， 故 ， 故选：B 5. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断是奇函数且在上为增函数，所以由可得，由当时，得，构造函数，，然后分，和三种情况求解即可 【详解】解：的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 因为函数在上均为增函数， 所以在上为增函数，所以在上为增函数， 由得， 所以， 所以，即， 当时，， 令， 当时，，舍去， 当时，对称轴为， 当时，即，则有，解得，所以， 当时，即，有，得，所以， 当时，即，有，得，所以， 综上，， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想和分类思想，解题的关键是利用函数在上为增函数且为奇函数，将恒成立转化为恒成立，然后构造函数，利用二次函数的性质讨论求解即可，属于中档题 6. 定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是奇函数，可得是偶函数，得到，令，得到，得出在上单调递增，再由，求得的周期为的周期函数，根据，得到，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是奇函数，可得是偶函数， 又因为，所以， 令，可得，所以在上单调递增， 因为且是奇函数， 可得，则， 所以的周期为的周期函数， 因为，所以， 则不等式，即为，即， 又因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C． 7. 已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得的关系，消再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设. 由已知，在单调递增， 当时，；当时，. 由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根， 即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点； 由题意，则当时，；当时，. 所以是方程的根，则，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值是. 故选：B. 8. 已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据已知可得，且，从而可得动点的轨迹为圆，由圆心到直线的距离可解. 【详解】如图，连接， 由，是圆上的两个动点，且， 即， 又，则，可得， 所以， 则动点的轨迹方程为， 且圆心到直线的距离为， 所以的最小值为. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算求解判断，注意与某个向量平行的单位向量有两个，它们是相反向量． 【详解】由题意，A正确； ，，B正确； 与平行的单位向量有两个，它们是相反向量，C错； ，向量在向量上的投影向量与同向， ，而，所以向量在向量上的投影向量为，D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，则下列说法不正确的是（ ） A. 在区间上至多有3条对称轴 B. 的取值范围是 C. 在区间上单调递增 D. 的最小正周期可能为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性，周期性，单调性逐一判断即可. 【详解】由，得， 因为函数在区间上有且仅有3个对称中心， 所以，解得， 所以，所以，，故选项B，D不正确； 当，即时，函数有3条对称轴， 当，即时，函数有4条对称轴， 所以函数在区间上至少有3条对称轴，故选项A错误； 当，时，， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增，故C正确． 故选：ABD. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，其周长为；显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，易知最大值为；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，可知其轨迹长度为；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为三角形，易知长度的最大值为. 【详解】对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形， 动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，所以错误； 对于B，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为，所以，B错误； 对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示， 当点在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 弧长度，故点的轨迹长度为，故正确； 对于D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 因为平面平面，故平面， ，平面平面，故平面； 又平面，故平面平面； 又， 故平面与平面是同一个平面. 则点的轨迹为线段： 在三角形中， 则， 故三角形是以为直角的直角三角形； 故，故长度的最大值为，故正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是偶函数，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据偶函数的定义计算化简即可求解. 【详解】由题函数的定义域为， 且， 故，进而， 故. 故答案为：2 13. 在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简可得，再由基底法求数量积可知，结合三角形面积，可得各边边长，由点在线段上， 可知，代入，结合基本不等式可得最小值. 【详解】由已知， 即， 又在中，，， 则，，即， 所以， 即， 又，所以， 所以， 则， 即， 又点在线段上，则，即，且，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用中位线的性质得到，且，根据得到，然后利用点到直线的距离公式得到，最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到，即可得到双曲线方程. 【详解】因为，，且为中点， 所以，且，， 因为， 所以，解得， 直线的方程为，所以，则， 在直角三角形中利用勾股定理得， 解得，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知公差不为0的等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）令，记为数列的前项和，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式并结合通项公式求得，再得出通项公式； （2）用分组求和法求和． 【小问1详解】 由题意，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以． 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值及函数的对称中心； （2）设，若对任意的都有，求实数的取值范围. 【答案】（1），对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的公式化简及图象性质易得结果； （2）将题干不等式转化为，分别求出和的相应最值，可得参数的范围. 【小问1详解】 ， 因为的最小正周期为，所以，故. 所以， 令，解得. 所以的对称中心为. 【小问2详解】 因为对任意的都有， 所以. 因为， 令，当时，， 得函数. 则； 当时，，则， 所以，即 即解得， 故实数的取值范围是. 17. “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. （1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； （2）设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围. 【答案】（1）分布列： 2 3 数学期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到的所有可能取值为2，3，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）分别求，结合，运算求解即可. 【小问1详解】 因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3， ， ， 的分布列为 2 3 所以. 【小问2详解】 由题意知， . 由，得， 且，则，可得， 整理得，解得， 所以的取值范围为. 18. 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质，离心率定义，以及点在曲线上，建立方程求得，即可得解； （2）分斜率存在与不存在两类进行直线方程的处理，将转化为两点的横坐标的比：，利用，结合韦达定理，求出的范围，从而得解. 【小问1详解】 依题意，可设椭圆的方程为. 由得，又因为，所以，则， 因为椭圆经过点，代入上述方程解得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 当斜率不存在时，若点与重合，与重合.此时. 若点与重合，与重合，则. 当直线斜率存在时，设直线， 联立得消去可得，显然， 则，可得， 整理可得， 因为，可得， 令，则，解得，即， 所以. 综上，的取值范围为. 19. 若函数的定义域为，有，使且，称函数为恒切函数． （1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由； （2）若函数为恒切函数． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：．（参考数据：） 【答案】（1） 设函数为恒切函数，则有， 使且，即， 解得，故函数是恒切函数. （2）（i）； （ii）当时，， 函数为恒切函数.又， 所以存在，使得，即. 令，则， 当时，递减；当时，递增. 所以当时， ，， 故在上存在唯一， 使得，即. 又由， 得， 由得，所以. 又，所以当时，有唯一零点， 故由得，即. . 【解析】 【分析】（1）对求导，利用恒切函数的定义求出，即可判断； （2）（i）根据恒切函数的定义解方程，用表示，再利用导数即可求解的取值范围； （ii）由的值可得的值，从而可得的解析式，利用新定义，可得，令，求出的取值范围，由，从而可得的取值范围，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由函数为恒切函数可知， 存在，使得且， 即解得，， 设，， 当时，递增；当时，递减. ，即实数的取值范围是. （ii）略 【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着很好的效果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025届高三调研考试试卷（五） 数学 （120分钟 150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是实数，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 8. 已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，则下列说法不正确的是（ ） A. 在区间上至多有3条对称轴 B. 的取值范围是 C. 在区间上单调递增 D. 的最小正周期可能为 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是偶函数，则__________. 13. 在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为______． 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知公差不为0的等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）令，记为数列的前项和，求 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值及函数的对称中心； （2）设，若对任意的都有，求实数的取值范围. 17. “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. （1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； （2）设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围. 18. 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 19. 若函数的定义域为，有，使且，称函数为恒切函数． （1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由； （2）若函数为恒切函数． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $