精品解析：2024-2025学年苏科版九年级数学上册期中模拟卷

2024-2025学年九年级数学（上）期中模拟卷（苏科版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：苏科版九年级上册第1章-第4章． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面内半径为，点到圆心O的距离为，则点P与的位置关系为（ ） A. 圆内 B. 圆外 C. 圆上 D. 无法确定 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 3. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ） A. 众数是6吨 B. 平均数是5吨 C. 中位数5.5吨 D. 方差是1.2 4. 将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线是（ ） A. B. C D. 5. 若是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线位于直线以下的图象沿直线向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线的交点少于4个，则a的取值范围是（　　） A. 或 B. C. D. 或 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 一元二次方程的较大的根为______． 10. 一元二次方程 的根是___________． 11. 5个裁判员对某一体操运动员的打分数据是： 9.0、8.9、8.8、8.8、9.1，则这组数据的众数是_________． 12. 已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系，则代数式的值等于_____． x … 0 … y … … 13. 任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是______． 14. 在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数的图象和函数的图象交于A、B两点（A、B在第一象限），与x轴交于点C，设点C的坐标为，若，则m的值为__________． 15. 如图，是⊙O的内接三角形，，直径垂直于弦于点E，连接．若，则的长为______． 16. 如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ______，当时，x的值为 ______． 17. 如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，是三角点阵中前行的点数之和当三角点阵中点数之和是时，则三角点阵点的行数为______． 18. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是______． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 为全面落实“双减”政策，某中学调查本校学生周末平均每天做作业所用时间情况，随机调查了名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分，请根据以上信息，解答下列问题． （1）请你补全条形统计图； （2）在这次调查的数据中，做作业所用时间的众数是______小时，中位数是______小时，平均数是______小时； （3）若该校共有名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天作业时间在小时内（含小时）的同学共有多少人？ 21. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： 0 2 5 （1）求二次函数解析式； （2）求该函数图象与x轴的交点坐标； 22. 如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 23. 2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89； 抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】A，B两班的数据整理如下： A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图 B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图 【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 平均数 中位数 众数 方差 A班 88 a 86 104.8 B班 88 87.5 b 106.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图； （2）假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； （3）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 24. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， （1）求m取值范围； （2）若，求m的值． 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 26. 如图，是的直径，点C在上，点D在的延长线上，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像交轴于点和点，交轴于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点是直线下方抛物线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，点是直线上一点，且在右侧，满足，求周长的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿方向平移2个单位后，得到一个新的抛物线，点为新抛物线上一点，点关于直线的对称点为，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标． 28. 对于平面直角坐标系中的点M和图形，给出如下定义：点P为图形上一点，点Q为图形上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形，的“中立点”如果点，，那么“中立点”M的坐标为．已知，点、，． （1）连接 ，在点，，中，可以成为点A和线段的“中立点”的是______； （2）已知点，的半径为2，如果直线上存在点K可以成为点A和的“中立点”，求点K的坐标； （3）以点C为圆心，半径为2作圆，点N为直线上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与的“中立点”，直接写出点N的横坐标n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学（上）期中模拟卷（苏科版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：苏科版九年级上册第1章-第4章． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面内的半径为，点到圆心O的距离为，则点P与的位置关系为（ ） A. 圆内 B. 圆外 C. 圆上 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点P到圆心的距离，点P在圆内，根据点与圆的位置关系直接作出判断． 【详解】∵的半径为，点到圆心O的距离为， 即点到圆心O的距离小于圆的半径， ∴点在内， 故选：A． 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ） A. 众数是6吨 B. 平均数是5吨 C. 中位数5.5吨 D. 方差是1.2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，解题的关键是熟练掌握定义和计算公式． 根据众数、平均数、中位数和方差的定义进行计算，即可得出答案． 【详解】解：A、吨出现了3次，出现的次数最多， 众数是6吨，故选项正确，不符合题意； B、平均数是吨，选项正确，不符合题意； C、把这些数从小到大排列为3，4，5，6，6，6， 则中位数是吨，故选项正确，不符合题意； D、这组数据的方差为，选项错误，符合题意； 故选：D． 4. 将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 按照“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：由题意得，平移后的抛物线解析式为：， 即：， 故选：B． 5. 若是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知，，将代数式变形后得到，由此即可求解．本题主要考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ， ， 故选：C． 6. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是用列表法或画树状图法求概率．先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出两个红球的情况，再利用概率公式计算即可． 详解】解：画树状图得： 因为共有12种等可能的结果，其中摸出两个红球的有2种情况， 所以摸出1个白球的概率是． 故选：C． 7. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：A 8. 将抛物线位于直线以下的图象沿直线向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线的交点少于4个，则a的取值范围是（　　） A 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数性质、函数图象交点以及根据函数值确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．分别求出新图象与直线的交点有3个时a的值，再结合图象可得答案． 【详解】解：如图， 在中，令得， 解得：或， ∴， 由图可知，当直线经过B时，新图象与直线的交点有3个， 此时， ∴， 当直线为直线时，新图象与直线的交点有3个， 此时有两个相等实数根， 即的判别式， ∴， ∴， 由图可知，若新图象与直线的交点少于4个，则或， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 一元二次方程的较大的根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】 ∴ ∴， ∴一元二次方程的较大的根为， 故答案为：． 10. 一元二次方程 的根是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解． 【详解】解： ，， 故答案为：，． 11. 5个裁判员对某一体操运动员的打分数据是： 9.0、8.9、8.8、8.8、9.1，则这组数据的众数是_________． 【答案】8.8 【解析】 【分析】本题考查众数，根据众数是一组数据中出现次数最多的数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：众数为8.8； 故答案为：8.8 12. 已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系，则代数式的值等于_____． x … 0 … y … … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由表格可得时，据此求解即可． 【详解】解：∵时， ∴． 故答案为：． 13. 任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率．根据概率公式即可求解． 【详解】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中奇数有1，3，5共3种结果， ∴朝上的面的点数为奇数的概率是． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数的图象和函数的图象交于A、B两点（A、B在第一象限），与x轴交于点C，设点C的坐标为，若，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标，根据题意列出关于m的方程是解题的关键．根据C的坐标，根据题意表示出A、B的坐标，由即可得到关于m的方程，解得即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴点，点； 当时，， 解得，，， 即的图象与x轴交于点和， 则， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 即 故答案为：． 15. 如图，是⊙O的内接三角形，，直径垂直于弦于点E，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质、含度角的直角三角形等知识点，根据题意可推出，进而得是等边三角形，据此即可求解. 【详解】解：连接，如图所示： ∵直径垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形； ∵， ∴； 故答案为：． 16. 如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ______，当时，x的值为 ______． 【答案】 ①. 9 ②. 4或11 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，二次函数与运动图形的综合应用，由图象可知，当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，说明梯形的高为定值，说明高为的长，即当时，点与点重合，当时，点与点重合，说明，进而求出三段函数的解析式，求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分， 当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值， 即：高为， ∴， ∴当时，，则， ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积：， 当时，， 解得：（舍去）； 当时，，， ∴， 当时，， ∴（舍去）； 当时，则：， ∴， 当时，， 解得：或（舍掉）； 故答案为：9；4或11． 17. 如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，是三角点阵中前行的点数之和当三角点阵中点数之和是时，则三角点阵点的行数为______． 【答案】24 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 由于第一行有个点，第二行有个点第行有个点，则前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程得到的值； 【详解】解：解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 则前五行共有个点， 前10行共有个点， ， 前行共有个点， 然后求它们的和， 前行共有个点， 根据题意，有， 整理这个方程，得：， 解方程得：，（舍去）， 故答案为：． 18. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再由根的判别式，即可确定的值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ，， ，即， 解得：． 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、公式法，熟练掌握用这两种方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：； 整理得：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 20. 为全面落实“双减”政策，某中学调查本校学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分，请根据以上信息，解答下列问题． （1）请你补全条形统计图； （2）在这次调查的数据中，做作业所用时间的众数是______小时，中位数是______小时，平均数是______小时； （3）若该校共有名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天作业时间在小时内（含小时）的同学共有多少人？ 【答案】（1）见解析 （2），， （3）人 【解析】 【分析】（1）先求出每天作业用时是小时的人数，再补全统计图即可； （2）根据中位数、众数、平均数的定义求解即可； （3）利用该校的总人数乘以每天作业时间在小时内（含小时）的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：每天作业用时是小时的人数是：（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 每天作业用时是小时的人数最多，有人， 众数是小时； 从小到大排列后排在第和第位的人每天作业用时都是小时， 中位数是小时； 平均数是（小时）， 故答案为：，，； 【小问3详解】 （人）， 故估计该校全体学生每天作业时间在小时内（含小时）的同学共有人． 【点睛】本题考查了条形统计图，平均数，中位数，众数的定义，样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识． 21. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： 0 2 5 （1）求二次函数的解析式； （2）求该函数图象与x轴的交点坐标； 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）求出时的值，即可得出答案； 本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质以及抛物线与轴的交点；求出二次函数的解析式是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：由题意，当 ∴得． 将点，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：或， 该函数图象与轴的交点坐标，； 22. 如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， 在直角中，由勾股定理得， ， 解得， ， ． 23. 2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89； 抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】A，B两班的数据整理如下： A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图 B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图 【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 平均数 中位数 众数 方差 A班 88 a 86 104.8 B班 88 87.5 b 106.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图； （2）假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； （3）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1），88.5，98，图见解析 （2）450人 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆心角度数、中位数、众数定义求解即可； （2）根据样本估计总体进行计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可； 本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． 小问1详解】 解：抽取的A班学生对于两会精神“了解”的有6人， 非常了解： 圆心角度数： 中位数 B两班的成绩最多的数是98，所以众数为：98 补全条形统计图如图： 【小问2详解】 （人）． 答：估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生有450人． 【小问3详解】 从平均数看，A，B两班学生测试成绩的平均水平一样；从中位数看，B班学生测试成绩的中位数低于A班学生测试成绩的中位数，说明A班的整体水平好一些；从众数看，A班学生测试成绩的众数低于B班学生测试成绩的众数，说明B班学生测试成绩的高分集中趋势高一些；从方差看，A班学生测试成绩的方差低于B班学生测试成绩的方差，说明A班学生测试成绩的波动小一些． 24. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式的性质、根与系数的关系，牢记一元二次方程的根的判别式的性质、根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可知，该一元二次方程的根的判别式大于等于，据此列式可求得答案． （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，可用含的代数式表示出，，再根据即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ， ， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， ，， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴的值为1． 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 【答案】（1）且； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的根的判别式． （1）由方程有实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围； （2）由，求出的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把代入方程可求得；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由可求出，两种情况都根据三角形的三边关系检验． 【小问1详解】 解：， 方程有实数根， 且， 且， 解得且； 【小问2详解】 解：根据题意得且， 解得且， 当时，方程的一根是3，把代入方程得， 解得， 此时方程的另一根为， ， 三角形存在； ； 当， ， 方程为． 解得， 一腰长为3， 不合题意， 综上，． 26. 如图，是的直径，点C在上，点D在的延长线上，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，求不规则图形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用： （1）连接由是直径，可得，再证从而有，即可证明； （2）阴影部分的面积即为直角三角形的面积减去扇形的面积． 【小问1详解】 证明：连接 ∵是直径， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）得 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像交轴于点和点，交轴于点，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点是直线下方抛物线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，点是直线上一点，且在右侧，满足，求周长的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿方向平移2个单位后，得到一个新的抛物线，点为新抛物线上一点，点关于直线的对称点为，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2）的周长最大值为，； （3）符合条件的点的横坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点E作交的延长线于点F，求出直线的解析式，设，则，用ｍ表示的长度，根据周长列出函数关系式，根据二次函数的性质解答； （3）根据平移的性质得到新的抛物线解析式为，推出是等边三角形，设，分两种情况：当点M在y轴右侧时，当点M在y轴左侧时， 分别求出n的值 【小问1详解】 将点和点代入中，得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 过点E作交的延长线于点F， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴，，， ∴，， ∴ ∴周长 ∵， ∴当时，的周长最大，最大值为，此时； 【小问3详解】 ∵将抛物线沿方向平移2个单位后，得到一个新的抛物线， ∴抛物线向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴新的抛物线解析式为， ∵点关于直线的对称点为，， ∴是等边三角形， 设， 当点M在y轴右侧时，如图,过点作于点H， ∴，， ∴， ∴， ∴ 解得(负值舍去)； 当点M在点时，点M的纵坐标为， 此时，解得（负值舍去）； 当点M在y轴左侧时，如图，过点作于点H， ∴, ∴ 解得(正值舍去)； 当点M在点时，点M的纵坐标为， 此时，解得（正值舍去）； 综上，符合条件的点的横坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，解直角三角形，考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形，二次函数的最值，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 28. 对于平面直角坐标系中的点M和图形，给出如下定义：点P为图形上一点，点Q为图形上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形，的“中立点”如果点，，那么“中立点”M的坐标为．已知，点、，． （1）连接 ，在点，，中，可以成为点A和线段的“中立点”的是______； （2）已知点，的半径为2，如果直线上存在点K可以成为点A和的“中立点”，求点K的坐标； （3）以点C为圆心，半径为2作圆，点N为直线上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与的“中立点”，直接写出点N的横坐标n的取值范围． 【答案】（1）点D，点F （2）点K的坐标为或 （3）存在，点N的横坐标的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据“中立点”的定义，画出图形即可判断； （2）如图2中，点A和的“中立点”在以O为圆心，1为半径的圆上运动，因为点K在直线上，设，则有，求出m的值即可解决问题； （3）如图3中，由题意，当点N确定时，点N与的“中立点”是以的中点P为圆心1为半径的，当与y轴相切时，点N的横坐标分别为或，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1中， 观察图象可知，满足条件的点在的平行于的中位线上， 故成为点A和线段的“中立点”的是D、F． 故答案为：D、F． 【小问2详解】 解：如图2中，点A和的“中立点”在以O为圆心，1为半径的圆上运动， 因为点K在直线上，设， 则有， 解得或1， ∴点K坐标为或． 【小问3详解】 解：如图3中，由题意，当点N确定时，点N与的“中立点”是以的中点P为圆心1为半径的， 当与y轴相切时，点N的横坐标分别为或， 所以满足条件的点N的横坐标的取值范围为，即． 【点睛】本题考查一次函数综合题、圆的有关知识、三角形的中位线定理、“中立点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$