精品解析：上海市上海交通大学附属中学等四校联考2024-2025学年高一上学期10月数学试卷

2024-2025学年度第一学期10月四校联考 高一数学试卷 （说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 已知全集，集合，则______. 2. 不等式 的解集是__________． 3. 已知，关于的不等式的解集为，则______． 4. 已知方程的两实根为，则的值为__________． 5. 若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是__________． 6. 化简：______.（其中，） 7. 已知且，则的最小值为______ 8. 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是______． 9. 已知实数，且，则的取值范围是__________． 10. 若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为___________. 11. 已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数，，，下列说法正确的是___________（把所有正确选项都填上） ①可能均为有理数 ②可能均为无理数 ③可能恰有一个为有理数 ④可能恰有两个为有理数 12. 已知二次函数，若集合中恰有两个元素，则的取值范围为__________． 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 下列结论中错误的有（ ） A. 若a，b为正实数，，则 B. 若a，b，m为正实数，，则 C. 若，则； D. 当时，的最小值为 14. 下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（ ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A. B. C. D. 15. 设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 16. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤． 17. 设集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数满足 （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数a的取值范围． 19. 某种商品原来每件售价为元，年销售万件． （1）据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？ （2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价． 20. 已知为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解决（3）中的实际问题. （1）请根据基本不等式（），证明：； （2）请利用（1）的结论，证明：； （3）如图，将边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，再折成一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？ 21. 对于集合，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合和，满足，，其中和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”. （1）判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程)； （2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）若集合是“可分集合”. ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期10月四校联考 高一数学试卷 （说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 已知全集，集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 通过全集，计算出，根据交集的定义即可． 【详解】因为，，所以 所以． 故答案为：． 2. 不等式 的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分式不等式可转化为整式不等式求解，但要注意分母不为零. 【详解】不等式等价于 ，解得. 故解集为：. 故答案为： 3. 已知，关于的不等式的解集为，则______． 【答案】-7 【解析】 【分析】由一元二次方程的根与一元二次不等式解集的关系即可求得结果. 【详解】由题意知，与是的两根， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 4. 已知方程的两实根为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系写出，，由即可求值. 【详解】方程的两实根为，则有，， 所以. 故答案为：. 5. 若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由是的充分非必要条件，由集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】不等式，即，解得， 若是的充分非必要条件， 所以集合是集合的真子集， 则有，不同时取等号，解得， 实数m的取值范围是. 故答案为： 6. 化简：______.（其中，） 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，，则. 故答案为：. 7. 已知且，则的最小值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用1的代换的方法，结合基本不等式求的最小值. 【详解】且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 8. 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式有意义可得，解的根，解为正数解，进而确定的范围，再根据为整数，确定的值，即可求解. 【详解】由去分母得，解得， 关于x的分式方程有正数解，则，解得， 又是增根，当时，，即，所以， 由二次根式有意义，则，解得， 因此且，因为为整数，所以可以为：， 所以符合条件的整数的和是. 故答案为： 9. 已知实数，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可得，，代入，可求得的取值范围． 【详解】因为，且，可得，， 所以，两边除以， 有，得， 所以的取值范围是. 故答案为：． 10. 若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解即可求解. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 因为不等式的解集中恰有个整数，所以或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 11. 已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数，，，下列说法正确的是___________（把所有正确选项都填上） ①可能均为有理数 ②可能均为无理数 ③可能恰有一个为有理数 ④可能恰有两个为有理数 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据实数的定义解答即可. 【详解】a，b，c不全为无理数, 可以都为有理数，此时三个数，，均为有理数，故①正确； 若中有2个无理数一个有理数时，此时三个数，，可能均为无理数，故②正确； 若中有一对为相反数的无理数，一个有理数，则三个数，，恰有一个为有理数，故③正确； a，b，c不全为无理数, 与b或a与c，或b与c不可能均互为相反数. 关于三个数，，，不可能有两个为有理数.故④错误. 故答案为：①②③ 12. 已知二次函数，若集合中恰有两个元素，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，在上有两个零点，记为，则，，由，讨论的取值范围. 【详解】集合中恰有两个元素，则在上有两个零点， 设这两个零点为，且，则， 则有，， 由，则，， 当，即时，有最小值， 而，只有当或才成立，不满足条件， 所以. 得的取值范围为. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是：在上有两个零点，把转化为，由，求的取值范围. 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 下列结论中错误的有（ ） A. 若a，b为正实数，，则 B. 若a，b，m为正实数，，则 C. 若，则； D. 当时，的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用作差比较可检验选项AB，利用不等式的性质可检验选项C，利用基本不等式检验选项D． 【详解】，为正实数，，则， 所以，A正确； ，，为正实数，，则，有，B错误； ，则，一定成立，C正确； 时，，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，D正确． 故选：B． 14. 下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（ ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件分别列出x，y，z与a，b的关系，再根据基本不等式比较大小，得到答案. 【详解】由问题甲，结合圆的面积公式可得，有，即， 由问题乙，设每圈的长度为，则，整理为可得， 由问题丙，设天平左边的杠杆长为m，右边的杠杆长为n， 则，可得，即， 因为、是不相等的正数，则有，可得， 根据重要不等式可知，得， 则有，所以. 故选：B． 15. 设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，从中选择1个元素，再加入一个新元素，即可得到中元素个数最少，求解即可． 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 【点睛】方法点睛： 由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意. 16. 已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题 C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题； 记， 当时，，因为，，，所以； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，，当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以，依次类推， 当时，，，，所以， 下面讨论时，集合中元素与集合的关系， 因为，有，，且，所以， 综上所述，，有， 即，故②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤． 17. 设集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式，明确集合的元素，结合集合之间关系，建立不等式组，可得答案； （2）利用分类讨论的思想，根据集合之间的关系，分情况建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 ， 由，可得， 当时，得，解得. 综上，得实数的取值范围是. 【小问2详解】 ， ①当时，得，解得. ②当时，或，解得或. 综上，得实数的取值范围是. 18. 已知函数满足 （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）运用零点分区间法，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式可得所求解集； （2）由题意可得，由绝对值不等式的性质可得的最小值，解不等式可得所求范围． 【小问1详解】 当时，， 等价为或或， 解得或或， 则不等式的解集为或； 【小问2详解】 恒成立等价为． 由， 当时，上式取得等号， 则，解得或． 所以实数a的取值范围为. 19. 某种商品原来每件售价为元，年销售万件． （1）据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？ （2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价． 【答案】（1）元 （2）改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件 【解析】 【分析】（1）设每件定价为元，则，解之即得所求； （2）依题意可列（），分离参数可得有解，应用均值不等式求不含参数这一边的最值即得所求 【小问1详解】 设每件定价为元， 则， 整理得， 要满足条件，每件定价最多为元； 【小问2详解】 由题得当时：有解， 即：有解． 又， 当且仅当时取等号， 即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件 20. 已知为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解决（3）中的实际问题. （1）请根据基本不等式（），证明：； （2）请利用（1）的结论，证明：； （3）如图，将边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，再折成一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？ 【答案】（1）因为,当且仅当时等号成立, 所以当且仅当 时等号成立. 所以 当且仅当时等号成立, 所以,当且仅当时等号成立. （2）由于,当且仅当时等号成立,令 , 得﹐ 即﹐故. 所以﹐当且仅当时等号成立. （3）. 【解析】 【分析】（1）用基本不等式，整理化简可得答案； （2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证； （3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 做成的长方体的底面是一个边长为的正方形,高为. 所以. 由（2）中已证的不等式 , 可知 当且仅当时等号成立. 所以 ， 因此 , 当且仅当 时等号成立. 综上所述 , 当, 长方体盒子的容积 V 取到最大值. 21. 对于集合，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合和，满足，，其中和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”. （1）判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程)； （2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）若集合是“可分集合”. ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值. 【答案】（1）集合不是，集合是； （2）不妨设， 若去掉的是，则集合可以分成或，即：①或② 若去掉的是，则集合可以分成或，即：③或④， 由①③得，矛盾；由①④，矛盾； 由②③得，矛盾；由②④，矛盾； 所以五个元素的集合一定不是“可分集合”； （3）①证明：设集合所有元素之和为， 由题可知，均为偶数， 所以的奇偶性相同， 若为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数； 若为偶数，则也均为偶数，此时设，则也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合中的元素个数为奇数. 综上所述，集合中的元素个数为奇数. ②7. 【解析】 【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论； （2）不妨设，分去掉的元素是时得①，或②，去掉的元素是得③，或④，进而求解得矛盾，从而证明结论. （3）①设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，所以的奇偶性相同，进而分类讨论为奇数和为偶数两类情况，分析可得集合中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证时集合是否为“可分集合”从而证明. 【小问1详解】 对于集合，去掉元素，剩余的元素组成的集合为，显然 不能分为两个集合和，满足，，其中和的所有元素之和相等，故不是“可分集合” 对于集合，去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；故是可分集合. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②当时，显然任意集合不是 “可分集合”； 当时，第二问已经证明集合不是 “可分集合”； 当时，第一问已验证集合是“可分集合”. 所以集合中元素个数的最小值为. 【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设，以去掉元素和两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $