精品解析： 浙江省杭州市拱墅区拱宸中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学七年级（上）期中数学试卷 一、选择题；本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目． 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2的相反数是-2. 故选：B. 2. 四个有理数，，，，其中最小的数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最小的数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键． 3. 2022年全国教育事业统计主要结果发布，统计数据显示，全国共有各级各类学校万52.93万所，将52.93万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示为的形式，其中，为整数，求解即可． 【详解】解：52.93万＝52.93×10000＝， 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4. 下列各组数大小关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数比较大小，绝对值的化简，根据多重符合化简，绝对值的性质化简，再根据有理数比较大小的方法正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，进行比较即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴，正确，符合题意； B、∵， ∴，原选项错误，不符合题意； C、∵， ∴，原选项错误，不符合题意； D、∵，， ∴，原选项错误，不符合题意； 故选：A ． 5. 实数在哪两个相邻的整数之间（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 6. 下列说法正确的有（ ） A. 是整式 B. 是单项式 C. 不是整式 D. 是多项式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式、整式、单项式，熟练掌握相关概念是关键． 【详解】解：、是整式，原说法正确，符合题意； 、是多项式，原说法错误，不符合题意； 、是整式，原说法错误，不符合题意； 、是分式，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 7. 若，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据非负数性质求出a、b值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查非负数性质，立方根，代数式求值，熟练掌握绝对值的非负性，偶次方的非负性，求立方根是解题的关键． 8. 点在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③⑤ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，由数轴可得，，进而根据有理数的运算法则即可判断求解，掌握有理数运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴①②③⑤正确 故选：． 9. 为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 设，则，然后由即可求解． 【详解】解：设 ∴， 得： ∴，即， 故选：． 10. 如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（ ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11. 单项式的系数是_________，次数是_________. 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】直接根据单项式系数及次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是3， 故答案为：，3． 【点睛】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键． 12. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 13. 单项式与单项式是同类项，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m+1=3，n-1=2，分别解方程求出m，n的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴m+1=3，n-1=2， 解得：m=2，n=3， ∴m+n=2+3=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了同类项的概念，一元一次方程，代数式求值，正确理解同类项的定义是解题的关键． 14. 已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，且，则＝___． 【答案】-9 【解析】 【详解】解：已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，且 所以x+y=0，mn=1，=9 所以原式=＝-9 故答案为：-9． 【点睛】本题考查相反数，倒数，绝对值的概念及应用和有理数的混合运算，掌握概念正确计算是解题关键． 15. 已知：，，若，则__，__． 【答案】 ①. 10或 ②. 或 【解析】 【分析】根据题意，因为，，可得，，因为，所以，，或，，据此算出、的值．本题考查了有理数的乘法、绝对值、有理数的加法、有理数的减法，解决本题的关键是求出、的值． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ， ， ，或，， ∴，， 或，． 故答案为：10或；或． 16. 已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，且，则，其中正确的是 __（写出正确的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． ①除0外，互为相反数的商为，可作判断；②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与都为负数，即小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；③由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断；④由绝对值大于绝对值，分情况讨论，即可作出判断；⑤先根据，得，由和有理数乘法法则可得，，分情况可作判断． 【详解】解：①若，且，互为相反数，则，本选项正确； ②若，则与同号，由，则，，则，本选项正确； ③，即， ，即，本选项错误； ④， ， ， ，， 当时，， ，不符合题意； 所以，， ， 则， 本选项正确； 则其中正确的有3个． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共8小题，共72分．其中：17题14分，18-19每题6分，20-22每题8分，23题10分，24题12分． 17. 计算． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）16 （2）5 （3）3 （4） （5） （6） 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算． （1）根据去绝对值和有理数减法法则运算即可； （2）根据乘法交换律和有理数乘法运算法则运算即可； （3）根据开平方和开立方及有理数加减混合运算法则运算即可； （4）根据乘方立方和去绝对值运算法则运算即可； （5）根据乘法分配律运算即可； （6）根据含乘方的有理数混合运算法则运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 【小问4详解】 【小问5详解】 【小问6详解】 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，然后合并同类项，最后将，代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，掌握去括号法则与合并同类项是解题的关键． 19. 已知的立方根是，的平方根是． （1）求的值． （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义可得，求解即可； （2）将的值代入，然后根据平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是，的平方根是． ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根． 【点睛】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，掌握平方根的定义及立方根的定义是解题的关键． 20. 某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：元/箱）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 ＋4 －3 －5 ＋7 －8 ＋21 －6 （1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？ （2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？ （3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元/箱，那么该果农本周总共收入多少元？ 【答案】（1）45箱； （2）因为 所以达到了计划数量； （3）5840元 【解析】 【分析】（1）由题知预设前五天共卖出50箱，再加上前五天每天多售出的与不足的量即可得； （2）只需计算每天多售的与不足的量的和与0比较大小即可得； （3）根据收入=销售额-运费即可得． 【详解】解：（1）（箱）； （2）略 （3）（元）． 【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数加减混合运算的应用；关键在于掌握正负数在实际生活中的计数应用，并利用有理数加减法进行简单的计算． 21. 已知，为有理数，如果规定一种运算“*”，即，试根据这种运算完成下列各题． （1）求； （2）求； （3）任意选择两个有理数，，分别计算和，比较运算结果，你有何发现？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入计算即可； （2）先计算，再计算； （3）计算后比较结果即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题中的新定义得：； 【小问2详解】 解：根据题中的新定义得： ； 【小问3详解】 解：由题得，， ． 【点睛】本题考查了定义新运算，解决本题的关键是正确理解新运算的运算法则． 22. 如图1所示的是一个长为2a，宽是2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个同等大小的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 　 　； （2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积． 方法一：　 　； 方法二：　 　． （3）观察图2，你能写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的数量关系吗？ （4）当＝b＝3，求阴影部分的面积． 【答案】（1）a﹣b；（2）（a+b）2﹣4ab；（a﹣b）2；（3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（4）36 【解析】 【分析】平均分成后，每个小长方形的长为a，宽为b． （1）正方形的边长＝小长方形的长﹣宽； （2）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的边长乘边长； （3）利用（2）中两种不同的方法表示的是同一个图形的面积解答即可； （4）利用平方根的定义，求出a，b，然后代入（2）中结论可求解． 【详解】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝a﹣b； 故答案为：a﹣b； （2）方法①（a+b）2﹣4ab；方法②（a﹣b）2； 故答案为：（a+b）2﹣4ab；（a﹣b）2； （3）这三个代数式之间的等量关系是：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （4）∵＝b＝3， ∴a=9，b=3， ∴S阴影=（a﹣b）2＝（9﹣3）2＝36， ∴阴影部分面积为36． 【点睛】本题考查了列代数式的知识，读懂题意、利用图形的面积和边的关系建立等量关系，理解平方根的定义是解题的关键． 23. 数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）已知，，求代数式的值； （3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 【答案】（1）-1；（2）42；（3）-10 【解析】 【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）根据已知条件先求出a-c的值，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得2a+4b=9，再整体代入到所求代数式中即可． 【详解】解：（1）因为x2-3x=2， 所以1+3x-x2=1-（x2-3x） =1-2=-1 故答案为：-1． （2）∵a-b=5，b-c=3， ∴a-b+b-c=a-c=5+3=8， ∴（a-c）2-3a+2+3c=（a-c）2-3（a-c）+2=82-24+2=64-24+2=42； （3）∵当x=-1，y=2时，代数式ax2y-bxy2-1的值为8， 即2a+4b-1=8， 所以2a+4b=9， ∴当x=1，y=-2时，代数式ax2y-bxy2-1=-2a-4b-1=-（2a+4b）-1=-9-1=-10． 【点睛】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是运用整体代入思想． 24. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是_____，小数部分是_____； （2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算的值； （3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4；； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学七年级（上）期中数学试卷 一、选择题；本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目． 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 2. 四个有理数，，，，其中最小的数是( ) A. B. C. D. 3. 2022年全国教育事业统计主要结果发布，统计数据显示，全国共有各级各类学校万52.93万所，将52.93万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数大小关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数在哪两个相邻的整数之间（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 6. 下列说法正确的有（ ） A. 是整式 B. 是单项式 C. 不是整式 D. 是多项式 7. 若，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 5 D. 8 8. 点在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③⑤ D. ②③④ 9. 为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（ ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11. 单项式的系数是_________，次数是_________. 12. 16的算术平方根是___________． 13. 单项式与单项式是同类项，则_______． 14. 已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，且，则＝___． 15. 已知：，，若，则__，__． 16. 已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，且，则，其中正确的是 __（写出正确的序号）． 三、解答题：本题共8小题，共72分．其中：17题14分，18-19每题6分，20-22每题8分，23题10分，24题12分． 17. 计算． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知的立方根是，的平方根是． （1）求的值． （2）求的平方根． 20. 某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：元/箱）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 ＋4 －3 －5 ＋7 －8 ＋21 －6 （1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？ （2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？ （3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元/箱，那么该果农本周总共收入多少元？ 21. 已知，为有理数，如果规定一种运算“*”，即，试根据这种运算完成下列各题． （1）求； （2）求； （3）任意选择两个有理数，，分别计算和，比较运算结果，你有何发现？ 22. 如图1所示的是一个长为2a，宽是2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个同等大小的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 　 　； （2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积． 方法一：　 　； 方法二：　 　． （3）观察图2，你能写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的数量关系吗？ （4）当＝b＝3，求阴影部分的面积． 23. 数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）已知，，求代数式的值； （3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 24. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是_____，小数部分是_____； （2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $