精品解析：上海市上宝中学2024-—2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024上宝中学九年级上10月月考 时间：100分钟 满分：150分 一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分） 1. 已知在中，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键在于利用正弦的定义求解．根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴， 故选：A． 2. 如果向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的表示方法直接解答即可 【详解】解：向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为 故选D 【点睛】本题考查了向量的表示方法，理解是解题的关键． 3. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键．利用平行线分线段成比例可求得的长，则由线段的差即可求得结果． 【详解】∵， ， ， ， 故选：B． 4. 抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，，判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第四象限． 【详解】解：、， 该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴； ，， 二次函数的函数图象的对称轴是直线， 二次函数的函数图象的对称轴在y轴左侧； ∴二次函数的图象一定不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数． 5. 下列命题中, 说法正确的是（ ） A. 所有菱形都相似 B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似 C. 三角形的重心到一个顶点的距离, 等于它到这个顶点对边距离的两倍 D. 斜边和直角边对应成比例, 两个直角三角形相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质，相似三角形的判定，三角形重心的性质逐项分析判断即可 【详解】解：A. 所有菱形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意； B. 两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故该选项不正确，不符合题意； C. 三角形的重心到一个顶点的距离, 等于它到这个顶点对边中点距离的两倍，故该选项不正确，不符合题意； D. 斜边和直角边对应成比例, 两个直角三角形相似，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定，三角形重心的性质，掌握以上知识是解题的关键． 6. 如图, 点 是线段 的中点, , 下列结论中, 说法错误的是（ ） A. 与 相似 B. 与 相似 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据外角的性质可得，结合已知条件即可证明，从而判断A，进而可得，根据是中点，代换，进而根据两边成比例夹角相等可证，进而判断B，C，对于D选项，利用反证法证明即可． 【详解】解：， 又 故A选项正确 为的中点 又 故B、C选项正确 若 则 根据现有条件无法判断，故 故D选项不正确 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段是正数， ． 故答案为：8． 8. 已知，那么的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数值，代入是解题的关键． 将代入关系式即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故答案为：． 9. 抛物线与x轴的两个交点之间的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．令，可以求得相应的x的值，从而可以求得抛物线与x轴的交点坐标，进而求得抛物线与x轴两个交点之间的距离． 【详解】解：∵抛物线， ∴当时，， 解得：，． ∵， ∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为5． 故答案为：． 10. 如果两个等边三角形的周长的比是，那么他们的面积比是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质及等边三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．由两个等边三角形相似，然后根据相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵等边三角形的三个内角都相等，且等于， ∴两个等边三角形的三个内角分别相等， ∴两个等边三角形相似， ∵两个等边三角形的周长的比是， ∴两个等边三角形的边长的比是， ∴它们的面积比是， 故答案为：． 11. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表： 0 1 2 3 10 5 2 1 2 则当时，的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，利用表格发现数据的对应计算规律得出对称点，求得对称轴是解决问题的关键． 根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴，在对称轴的左边y随着x的增大而减小，在对称轴的右边y随着x的增大而增大，进一步得出时，，然后写出时，x的取值范围即可． 【详解】由表可知， ∵二次函数的两个对称点为，， ∴对称轴为直线， ∴当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∵当时，， ∴时，， ∴时，x的取值范围为或． 故答案为：或． 12. 在中，如果，，那么的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，是等腰三角形，可知等腰三角形的三线合一，如图所示，过点作于，在中，根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， 如图所示，过点作于，， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形，余弦的计算方法，掌握等腰三角形的性质，构造直角三角形，余弦的计算方法是解题的关键． 13. 在中，，，是边中线，交于，如果，那么线段的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．如图所示，过作角于点，由等腰三角形的性质得再证，得进而得同理证，得，从而即可得解。 【详解】解：如图所示，过作角于点， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴， ∴ ∵是边中线， ∴， ∴ 同理可得：， ∴ ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 14. 如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，根据比例的性质可得，再根据，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线截线段对应成比例，解题的关键是根据比例性质求得． 15. 如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点作，过点作．因为，所以，可得到三角形和三角形的高相等，从而可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点 ∵ ∴ ∵，，， ∴ ∵， ∴ 故填：． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两平行线之间的距离相等，和三角形的面积相结合，将面积的问题转化为线段的问题是解决此题的关键． 16. 如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案． 【详解】解：由题意可得： 同理： 故答案为： 【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键． 17. 二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是____________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质及其与一元二次方程的关系．由抛物线与轴有两个交点可判断①；由对称轴以及抛物线与轴的交点可判断②；关于的一元二次方程没有实数根，即关于的二次函数与直线没有交点，据此可判断③；由函数顶点坐标，得有最大值，进而得，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，则， ∴故①正确； 根据题意可得：，， ∵顶点坐标， ∴， ∴， ∴故②错误； 由关于的一元二次方程没有实数根，可知， ∴抛物线图象与的图象没有交点，则，故③正确； ∵顶点坐标， ∴当是，有最大值， ∵点是抛物线上任意一点， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 18. 如图，在中，，，若进行以下操作：在边上从左到右依次取点，，，，…，过点作，的平行线分别交，于点，；过点作，的平行线分别交，于点，；过点作，的平行线分别交，于点，……则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，探索规律．能够根据平行线的性质和等量代换得到是解题的关键．由，可得，因为，所以有；同理有如下规律，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ， ， ∴， 以此类推，， ∴ 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的化简、特殊角的三角函数值的运算．此题涉及二次根式的化简、特殊角的三角函数值的求法，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可． 【详解】解： ． 20. 已知二次函数 （1）用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）设该图象交轴于、两点，点在左侧，交轴于点，点为顶点，求四边形的面积． 【答案】（1），对称轴为直线，顶点坐标； （2） 【解析】 【分析】（）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标； （）令求出与轴交点坐标，令求出与轴交点坐标，然后求面积即可； 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握配方法和顶点式的相关性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴对称轴为直线，顶点坐标； 【小问2详解】 根据题意画图， 令，则， ∴点，则， 令，则，解得，， ∴，， ∴， 由（）得：， ∴， ， ． 21. 如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心． （1）设，____________（用向量表示）； （2）如果，，求边的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，以及向量的线性运算，综合运用各知识点是解答本题的关键． （1）连接并延长交于点，由，可得，由重心的性质可得，进而可求出； （2）利用（1）求出的长，再根据即可求出的长． 【小问1详解】 解：连接并延长交于点． ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵是的重心， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 国产比亚迪新能源汽车厂制造工艺全球领先，新能源电池技术也是世界领先，新能源电池造好后，可是生产线加工原材料后会产生一种工业废水，需要放入容器甲中储存，同时净化处理溶液放入容器乙中储存，当两种液体高度相同时，可以完全中和无毒排放，这样我们的环境才能受到保护。现在有两个净化容器，如图①，甲、乙都是高为米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，面积是，容器乙的底面是矩形，面积是． （1）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注入（注入前两个容器是空的），一开始注入流量均为立方米/小时，第个小时，甲、乙两个容器的高度差是____________． （2）小时后，把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水小时后，把容器甲的注水流量再一次增加立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图象②如图所示，其中平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图②中线段所在直线的解析式． 【答案】（1）米； （2）①②线段所在直线的解析式为． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用．根据题意画出图形求出两个容器的各边长和理解题意找出等量关系是解答本题的关键． （1）根据容积公式求出小时时，甲乙容器内液面的高度，从求得高度差． （2）①当时，根据题意即可求出此时的值，即得出点坐标．由平行于横轴，即得出点坐标，即小时后高度差仍为米，由此根据容积公式即可列出关于的等式，解出即可．②设注水小时后，，根据题意可列出关于的等式，解出即得到点坐标．设线段所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式． 【小问1详解】 解：∵注入流量均为立方米/小时，容器甲的底面是正方形，面积是，容器乙的底面是矩形，面积是． ∴第个小时，甲容器的高度的高度为（米），乙容器的高度的高度为（米）， ∴甲、乙两个容器的高度差是（米）， 故答案为：米； 【小问2详解】 解：①由（）得当时，． ∵平行于横轴， ∴，． 由上述结果，知小时后高度差仍为米， ∴． 解得． ②设注水小时后，，则有． 解得，即． 设线段所在直线的解析式为， ∵、在直线上， ∴， 解得：． ∴线段所在直线的解析式为． 23. 已知：如图，在等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，． （1）求证：； （2）如果点是边的中点，求证：． 【答案】（1） ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵等腰梯形中，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． （2） ∵等腰梯形中，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵点是边的中点， ∴． ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． (1)先证明，得到；再证明，得到，等量代换即可． (2)先，得到；再证明，得到，等量代换即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标； （3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）（2）或（3）为定值，定值为8． 【解析】 【分析】（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值． （2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标． （3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值． 【详解】（1）∵抛物线经过点，． ∴，解得：． ∴抛物线的函数表达式为． （2）①若点在轴下方，如图1， 延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点． ∵当，解得：， ∴ ∵，， ∴，，，， ∴中，，， ∵，为中点， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴中，，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴中，，，. ∴，， ∴，，即， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：. ∵，解得：（即点），， ∴. ②若点在轴上方，如图2， 在上截取，则与关于轴对称， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：. ∵，解得：（即点），， ∴. 综上所述，点的坐标为或． （3）为定值. ∵抛物线的对称轴为：直线， ∴，， 设， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：， 当时，， ∴， ∴，为定值． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算． 25. 如图，已知在中，，D是边上的一点（不与点A、C重合），E是边延长线上一点，，延长交边于点F． （1）求证：； （2）如果，且，求的余切值； （3）连接，当平分时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，，再根据，，即可证明； （2）先证明，再证明，即有，根据，，可得，进而可得， ，问题随之得解； （3）过点F作，交于点N，与交于点O，先证明，设，，，即有，证明，可得，则有，，进而可得，，再证明，可得，进而得方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点A作于点N，如图， ∵在中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵； 【小问3详解】 解：过点F作，交于点N，与交于点O，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ， ∵， ∴， 解得：（负值舍去），经检验，是原方程的根， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余切，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024上宝中学九年级上10月月考 时间：100分钟 满分：150分 一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分） 1. 已知在中，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 2. 如果向量 与向量 方向相反, 且 , 那么向量 用向量 表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. 2 B. C. D. 4. 抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列命题中, 说法正确的是（ ） A. 所有菱形都相似 B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似 C. 三角形的重心到一个顶点的距离, 等于它到这个顶点对边距离的两倍 D. 斜边和直角边对应成比例, 两个直角三角形相似 6. 如图, 点 是线段 的中点, , 下列结论中, 说法错误的是（ ） A. 与 相似 B. 与 相似 C. D. 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 _____． 8. 已知，那么的值是____________． 9. 抛物线与x轴的两个交点之间的距离为____________． 10. 如果两个等边三角形的周长的比是，那么他们的面积比是____________． 11. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表： 0 1 2 3 10 5 2 1 2 则当时，的取值范围是______． 12. 在中，如果，，那么的值是____________． 13. 在中，，，是边中线，交于，如果，那么线段的长是____________． 14. 如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是____________． 15. 如图，在梯形中，，与相交于点O，如果，那么的值为____________． 16. 如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________． 17. 二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是____________． 18. 如图，在中，，，若进行以下操作：在边上从左到右依次取点，，，，…，过点作，的平行线分别交，于点，；过点作，的平行线分别交，于点，；过点作，的平行线分别交，于点，……则____________． 三．解答题（共7小题，满分78分） 19. 计算：． 20. 已知二次函数 （1）用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）设该图象交轴于、两点，点在左侧，交轴于点，点为顶点，求四边形的面积． 21. 如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心． （1）设，____________（用向量表示）； （2）如果，，求边的长． 22. 国产比亚迪新能源汽车厂制造工艺全球领先，新能源电池技术也是世界领先，新能源电池造好后，可是生产线加工原材料后会产生一种工业废水，需要放入容器甲中储存，同时净化处理溶液放入容器乙中储存，当两种液体高度相同时，可以完全中和无毒排放，这样我们的环境才能受到保护。现在有两个净化容器，如图①，甲、乙都是高为米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，面积是，容器乙的底面是矩形，面积是． （1）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注入（注入前两个容器是空的），一开始注入流量均为立方米/小时，第个小时，甲、乙两个容器的高度差是____________． （2）小时后，把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水小时后，把容器甲的注水流量再一次增加立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图象②如图所示，其中平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图②中线段所在直线的解析式． 23. 已知：如图，在等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，． （1）求证：； （2）如果点是边的中点，求证：． 24. 如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标； （3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 25. 如图，已知在中，，D是边上的一点（不与点A、C重合），E是边延长线上一点，，延长交边于点F． （1）求证：； （2）如果，且，求的余切值； （3）连接，当平分时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $