精品解析：吉林省长春市榆树市第二实验中学2024-2025学年九年级上学期10月期中考试数学试题

2024—2025学年度上学期九年级期中测试题•数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与简化，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可． 【详解】解：∵， ∴、、选项不符合题意，选项符合题意． 故选：B． 2. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键． 先根据二次根式的性质进行化简，再看看能否合并即可． 【详解】解：A、，与能合并，故本选项符合题意； B、，与不能合并，故本选项不符合题意； C、，与不能合并，故本选项不符合题意； D、，与不能合并，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式逐项判断即可，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：、， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； 、， ∴， ∴方程有无实数根，不符合题意； 、， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； 、， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：． 4. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法四则运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项正确； D、，所以D选项错误． 故选：C． 5. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 6. 如图，A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么在B，C，D三个出口中恰好从B出口出来的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：小明从A处进入公园，那么在B，C，D三个出口出来共有3种等可能的结果，其中从B出口出来是其中一种结果， ∴恰好从B出口出来的概率为： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了概率的公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，熟练掌握概率的公式是解题的关键． 7. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 8. 如图，在中，为对角线上的两点，连结并延长交于点E，连结并延长交于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，找出相似三角形得出比例线段是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据平行线判定可得，，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】， 设， 在中，， ，， ，， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围 【详解】解：由题意得，， 解得， 10. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值，解题的关键是根据，再代入进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据相似的性质进行解答即可． 【详解】解：∵如图是两个形状相同的红绿灯图案， ∴两个红绿灯图案相似， ∴， ∴， 经检验，是该方程的解． 即x的值为． 12. 如图，四边形木框在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形．若，则四边形的面积与四边形的面积比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，由，得，同理，然后证明即可，解题的关键是掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方． 【详解】∵， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积：四边形的面积为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，是边的中线，过点作，交延长线于点．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切的定义得，根据勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线的性质得，根据三角形中线的性质得，继而推出，最后在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中线， ∴，， ∵， 又∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积等知识点．根据正切值求边长是解题的关键． 14. 如图，在菱形中，，点M、N分别是边、上的点，连接，将菱形沿翻折，使点A的对称点E落在对角线上，给出下面四个结论： ①； ②若，则； ③若菱形边长为4，M是的中点，连接，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据一线三等角基本模型可得可知，可知①正确；根据相似三角形的性质可得，再利用三角形内角和定理可知②正确；作交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质得，再根据勾股定理可得的长，则③正确；设，，则，设，则，利用相似三角形的性质可得，，再根据可得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ∴是等边三角形， ， 由折叠性质可知，， ， ， ∵， ，故①正确； ， ，故②正确； 如图，作交的延长线于点 在中，，由①得：， ， 是的中点， ， ，故③错误； ∵， 设，则，设，则， ， ， ， 解得：，经检验符合题意； ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，根据相似三角形的性质是判断④的关键． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用特殊角的三角函数值计算即可． 【小问1详解】 解：原式， 【小问2详解】 解：原式． 16. 如图，三张扑克牌分别为红桃3、红桃5和红桃7．背面完全相同，将三张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，甲、乙两人进行摸牌游戏，甲先从中随机抽取一张，记下数字后再放回洗匀．乙再从中随机抽取一张． （1）甲抽到扑克牌上的数字是偶数．这一事件是________事件．（填“确定“或”随机”） （2）用函树状图或列表的方法，求甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字相同的概率． 【答案】（1）确定 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率． （1）确定事件指在一定条件下一定发生(或一定不发生)的事件，随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此判断即可； （2）列举出所有情况，让甲乙两人抽到同一张扑克牌的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【小问1详解】 解：甲抽到扑克牌上的数字是偶数，是一定不发生的事件，这一事件是确定事件； 故答案为：确定； 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字相同的有3种情况， ∴甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字相同的概率． 17. 如图，在和中，已知，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ∵． ∴， ∴． ∵， ∴； （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， （1）根据题意得即可判定相似； （2）根据面积比为边长比的平方即可得，可求的答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，且， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，要利用一面墙（墙长为）建羊圈（矩形，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设，则，再根据矩形面积计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴羊圈的边长的长度为． 19. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图中的内部画一个格点，连接，使． （2）在图中的边上画一个格点，连接，使． （3）在图中的外部画一个格点，连接，使． 【答案】（1） 如图， （2） 如图， （3） 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】（1）在上取格点，根据网格可知是等腰直角三角形，则点在上即可； （2）根据网格可知，等腰三角形的性质可得； （3）利用正切函数的定义找出格点即可． 【小问1详解】 解：在上取格点， 根据网格可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点（或或）即为所求； 【小问2详解】 解：根据网格可知：， ∴， ∴点即为所求； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴点即为所求（答案不唯一）． 20. 图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的应用—仰角俯角问题，过点作于点，连接、，证明四边形为矩形，得出，在中，在中，分别解直角三角形得出、的长，最后再由计算即可得解．解题的关键是掌握仰角俯角定义及解直角三角形． 【详解】解：如图，过点作于点，连接、， ∴， 由题意知：，，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：亚帆灯塔的高的值为米． 21. 一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度． 【答案】城楼的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出是解题的关键．过点作于点，交于点，由题意得：米，米，米，米，进而得到米，米，米，证明得到，求出米，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点， 由题意得：米，米，米，米， ， 四边形是矩形， 又， 米， （米），（米）， ， ， ，即， 米， 城楼的高度为：（米）． 22. 【定理证明】三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．小明在学习时给出了如下不完整的证明过程： 如图，在中，分别是两边中点． 求证：，． 证明：如图，延长到点F，使，连接． ∵，， ∴四边形是________． ∴，． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． 即，且． 【应用】（1）如图，是的中线，交于点，交于点，且． 求证：． 小明根据中位线定理的证明方法，作出了辅助线，如图，延长至点，使，连接．请你帮助小明完成证明过程． （2）如图，在中，，，，是的中位线．过点作，分别交于点，过点作，分别与的延长线交于点，则四边形周长的最小值是________． 【答案】 （）平行四边形， 如图，延长至点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）． 【解析】 【分析】（）延长至点，使，连接，证明，得出，再证明，即可得出结论； （）先证明四边形是平行四边形，则，要四边形周长的最小只有最小时，即当，四边形周长的最小，过点作于，由勾股定理求出，则，然后根据周长公式即可求解． 【详解】证明：（）略 （）∵是的中位线， ∵，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴要四边形周长的最小只有最小时， 即当，四边形周长的最小， ∴平行四边形是矩形， 如图，过点作于， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形周长的最小为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【感知】如图①，连结，，在纸片绕点A旋转过程中，求的值． 【探究】如图②，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的高线的延长线上时，则的长为________． 【拓展】如图③，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，则的周长为________． 【答案】感知：；探究：6；拓展：18 【解析】 【分析】感知：证明，求出，可得，故，又，可得，从而； 探究：由题意得：，同理“感知”可得：，则有，然后可得，进而问题可求解； 拓展：由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后根据可进行求解． 【详解】解：感知：∵，，， ∴，， ， ， 即， ， ∴， ， ，， ； 探究：由题意得：， 同理“感知”可得：， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为6； 拓展：∵，是的中线，， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， 由“感知”可知：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线定理、全等三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边中线定理、全等三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 24. 如图，是等边三角形，．点是射线上的一点，连接，以为边向其右侧作矩形，且，直线分别与射线、直线交于点． （1）点到边的距离为________； （2）当点与点重合，求证：； （3）当点是的中点时，求的长； （4）在点的运动过程中，当时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2） 证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）； （4）的值为或． 【解析】 【分析】（）过作于点，则，由等边三角形的性质得出，则，然后由勾股定理即可求解； （）由四边形是矩形，则有，，，再证明是等边三角形，得出，最后证明即可； （）过作于点，连接，则，证明为等腰直角三角形，同理也是等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理得，，然后求出， 则； （）分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于点，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴点到边的距离为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作于点，连接，则， ∵点是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形，同理也是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ∴， 在中，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得：， 在中，，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：分两种情况： 当点在线段上时，如图，过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴，说明与重合，即时，， 如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 同（）可得，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期九年级期中测试题•数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么在B，C，D三个出口中恰好从B出口出来的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 8. 如图，在中，为对角线上的两点，连结并延长交于点E，连结并延长交于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 函数的自变量的取值范围是____________． 10. 计算：________． 11. 如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 12. 如图，四边形木框在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形．若，则四边形的面积与四边形的面积比为______． 13. 如图，在中，，是边的中线，过点作，交延长线于点．若，，则的长为________． 14. 如图，在菱形中，，点M、N分别是边、上的点，连接，将菱形沿翻折，使点A的对称点E落在对角线上，给出下面四个结论： ①； ②若，则； ③若菱形边长为4，M是的中点，连接，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号是_________． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算： （1）． （2）． 16. 如图，三张扑克牌分别为红桃3、红桃5和红桃7．背面完全相同，将三张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，甲、乙两人进行摸牌游戏，甲先从中随机抽取一张，记下数字后再放回洗匀．乙再从中随机抽取一张． （1）甲抽到扑克牌上的数字是偶数．这一事件是________事件．（填“确定“或”随机”） （2）用函树状图或列表的方法，求甲，乙两人抽到的扑克牌上的数字相同的概率． 17. 如图，在和中，已知，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 18. 如图，要利用一面墙（墙长为）建羊圈（矩形，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长的长度． 19. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图中的内部画一个格点，连接，使． （2）在图中的边上画一个格点，连接，使． （3）在图中的外部画一个格点，连接，使． 20. 图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】 21. 一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度． 22. 【定理证明】三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．小明在学习时给出了如下不完整的证明过程： 如图，在中，分别是两边中点． 求证：，． 证明：如图，延长到点F，使，连接． ∵，， ∴四边形是________． ∴，． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． 即，且． 【应用】（1）如图，是的中线，交于点，交于点，且． 求证：． 小明根据中位线定理的证明方法，作出了辅助线，如图，延长至点，使，连接．请你帮助小明完成证明过程． （2）如图，在中，，，，是的中位线．过点作，分别交于点，过点作，分别与的延长线交于点，则四边形周长的最小值是________． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【感知】如图①，连结，，在纸片绕点A旋转过程中，求的值． 【探究】如图②，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的高线的延长线上时，则的长为________． 【拓展】如图③，在纸片绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，则的周长为________． 24. 如图，是等边三角形，．点是射线上的一点，连接，以为边向其右侧作矩形，且，直线分别与射线、直线交于点． （1）点到边的距离为________； （2）当点与点重合，求证：； （3）当点是的中点时，求的长； （4）在点的运动过程中，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $