北京鲁迅中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

北京市鲁迅中学 2024-2025学年第一学期期中测试 高三数学 2024.10 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共150分，考试时间120分钟. 第一部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，那么 A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 7 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 36 7. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 函数是 A. 奇函数，且最大值为2 B. 偶函数，且最大值为2 C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为 9. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ） A. B. C. D. 第二部分（共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为___________________ 12. 边长为1的正方形ABCD中，设，，，则______． 13. 设等比数列的公比为,其前n和为,且,则_________;_________． 14. 如图，某地一天从时至时的温度变化曲线近似满足函数，其中，且函数在与时分别取得最小值和最大值. 这段时间的最大温差为___；的一个取值为___________. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②当时，存在最小值； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求a的值，并求函数的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若，求函数的值域. （3）若函数在上有且仅有两个零点，则求m的取值范围. 19. 某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内） （1）求两点之间的距离； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上恒成立，求的取值范围； （3）试比较与的大小，并说明理由． 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 北京市鲁迅中学 2024-2025学年第一学期期中测试 高三数学 2024.10 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共150分，考试时间120分钟. 第一部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】B 第二部分（共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 ①. ②. ##15.5 【14题答案】 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【15题答案】 【答案】①③ 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1）或 （2）或 【17题答案】 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为 （2）最大值为，最小值为1. 【18题答案】 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，； （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）直线与直线不垂直，理由如下： 在三角形中，由余弦定理得， ， 在三角形中，由正弦定理得， ， 直线与直线不垂直，理由如下： , 所以直线与直线不垂直. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）不具有性质,具有性质, （2） “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $