2025届高三数学阶段性测试02

2025届高三数学阶段性测试02 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知命题p：，的否定（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．已知集合，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．在下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．等差数列与的前项和分别为，且，则（    ） A．2 B． C． D． 6．已知曲线C：在点A处的切线与直线平行，则该切线方程是（   ） A． B． C． D． 7．设是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各组中的两个向量，互相平行的有（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．的值域为 11．若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（    ） A． B．（，） C． D． 三、填空题 12．在等差数列中，若，则的值为 . 13．若不等式的解集是，则的解集为 ． 14．已知，直线和垂直，则的最小值为 . 四、解答题 15．记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．已知函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)已知，求的最值，并写出取得最值时x的值． 17．如图所示，已知是正方体，E，F分别是棱AB，的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 18．已知函数. (1)当时，判断的单调性； (2)若只有在处取得极小值，且无极大值，求实数的取值范围. 19．已知函数其中为常数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使成立，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D C D C B BD ABD 题号 11 答案 AC 1．A 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求出结果． 【详解】命题，， 则，． 故选：A． 2．A 【知识点】求复数的模、复数的乘方 【分析】利用复数的乘方运算求出，再利用复模的运算即可得解. 【详解】复数，所以. 故选：A. 3．A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、公式法解绝对值不等式 【分析】解不等式，可得，再根据集合交集运算可得，共有2个元素，即可得答案. 【详解】，解得，， 又，， 的非空真子集的个数为个. 故选：A. 4．D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得. 【详解】对A：在上单调递增，故A错误； 对B：在上单调递增，故B错误； 对C：在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对D：在上单调递减，故D正确. 故选：D. 5．C 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列求和公式和等差数列的性质得到，从而得到. 【详解】因为数列与均为等差数列， 则， 所以. 故选：C. 6．D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】先设切点坐标，再根据导数的几何意义得切点坐标，最后用点斜式求出直线方程即可. 【详解】根据题意可得，设，则，解得， 所以，所以， 故所求切线方程为，即. 故选：D. 7．C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案. 【详解】因为且， 所以， 故，结合， 解得. 故选：C. 8．B 【知识点】利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用计算即可. 【详解】令， 则， 显然时，时， 所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以（时取得等号）， （时取得等号）， 故，即. 故选：B 9．BD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据共线向量定理直接判断即可. 【详解】在A中，，因为，故A中两个向量不平行，故A错误； 在B中，由，可得，故B中两个向量平行，故B正确； 在C中，，因为，故C中两个向量不平行，故C错误； 在D中，由，可得，故D中两个向量平行，故D正确. 故选：BD. 10．ABD 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】求得最小正周期判断A；求得对称轴判断B；求得对称中心判断C；求得值域判断D. 【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确； 由，可得， 所以图象的对称轴为， 当时，图象的关于对称，故B正确； 由，可得， 所以图象的对称中心为， 当时，图象的关于点对称，故C不正确； 由，故的值域为，故D正确. 故选：ABD. 11．AC 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可. 【详解】对于A，由题可得，，，，，故A正确； 对于B，因为，又， 所以，即，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AC. 12．27 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差数列通项公式结合题目信息可得答案. 【详解】设等差数列公差为d，注意到， 则. 故答案为：27 13． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由一元二次不等式的解集与方程根的关系可求出，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式的解集是， 则是方程的两根， 所以，所以， 由，得， 即，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 14．8. 【知识点】已知直线垂直求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据两直线垂直的关系可得到关于和的关系式，再根据关系式结合基本不等式求出的最小值即可. 【详解】由题意得，因为直线和垂直， 则，即， 所以， 因为，所以，， 所以根据基本不等式，， 所以， 所以的最小值为8，当且仅当时等号成立， 故答案为8. 15．(1) (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 16．(1)，严格增区间为，严格减区间 (2)时取得最小值，时取得最大值1 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、辅助角公式 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简整理函数的表达式为，然后即可求出周期和单调区间； （2）由（1）知，当时，，结合余弦函数的图象与性质，即可求得的最值，及取得最值时x的值． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间为. （2）当时，， 当，即时， ， 当，即时，， 即时取得最小值，时取得最大值1. 17．(1) (2) (3) 【知识点】线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，结合空间向量夹角公式计算即可得解； （2）建立适当空间直角坐标系，求出平面法向量，再结合空间向量夹角公式计算即可得解； （3）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）由题意可建立如图所示空间直角坐标系，设为单位长度， 则有、、、、、， 则，， 有， 故直线与所成角的余弦值为； （2）设平面的法向量为， 由，， 则， 令，则有，，即， 则， 即与平面所成角的正弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 18．(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）根据题意，求导可得，由函数在上单调递增，，即可判断的单调性； （2）由题可知，在上单调递增, 令，则恒成立，讨论即可. 【详解】（1）由题意，， 因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由题意，， 可得， 由题可知，在上单调递增. 令，则恒成立， 所以时，，符合题意. 当时，令，解得. 当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 19．(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即， 令，进而利用导数分析单调性求解即可. 【详解】（1）由，得， 则， 故所求切线方程为，即. （2），使成立， 即，使成立， 则在有解，即. 令，， 令得；令得， 故在单调递增，在单调递减， 所以， 则，故的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$