精品解析：河北省秦皇岛市 青龙满族自治县私立阳光学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年第一学期期中演练九年级数学试题 一、选择题：（每题3分，共36分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，，则成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 3. 为了解我县4560名初三学生的体重情况，从中抽取了300名学生的体重，就这个问题来说，下面说法正确的是（ ） A. 4560名初三学生是总体 B. 4560名初三学生的体重是总体 C. 每个初三学生是个体 D. 300名初三学生是所抽取的一个样本 4. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 1 5. 若，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 若两个相似三角形的面积比是，则它们对应边的中线之比为（ ） A. B. C. D. 8. 点M为等边三角形ABC一边AB上的一点（与A、B不重合），过M作直线截等边三角形ABC，使截得的三角形与原三角形相似，符合条件的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 9. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 11. 在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ） A. 四边形 B. 四边形 C. 四边形 D. 四边形 12. 如下图左，在平面直角坐标系中，直线与x轴的夹角为，且点A坐标为，点B在x轴上方，设，那么点B的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题2分，共24分） 13. 计算＝_________． 14. 一元二次方程配方后可变形为______． 15. 已知数据2，3，2，3，5，x的众数是2，则x的值是______． 16. 若a、b、c的平均数为15，则、、的平均数为______． 17. 已知a是3、12的比例中项，则______； 18. 已知关于x的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1，则a的值是 ___． 19. 已知，则的值______． 20. 若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为______． 21. 设一元二次方程已的两个根为、，则______． 22. 如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为______． 23. 如图，，点C，D分别在上，如果，，，那么的长______． 24. 如图，两建筑物的水平距离为，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物的高为______． 三、解答题（共60分）： 25. 计算或解方程 （1） （2）解方程 26. 老师随机抽查了某校本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹掩盖了一部分． （1）求条形图中被掩盖的数，并写出册数的中位数； （2）求读5册课外书的扇形的圆心角度数； （3）若某校本学期总数为2000人，请根据图中信息，求出本学期读4册课外书的人数． 27. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地，怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ 28. 某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值） 29. 某商场今年初以每件40元的进价购进一品商品，当商品销售价为60元时，一月份销售64件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三月份这两个平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均销售增长率； （2）从四月起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店按原售价的几折出售，商场月获利2240元？ 30. 如图所示，已知在平面直角坐标系，点A的坐标为，点B在x轴上，且，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒． （1）求点B的坐标； （2）当t为何值时，与相似？ （3）求的面积S与t之间的函数关系式？并求当t为何值时S最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中演练九年级数学试题 一、选择题：（每题3分，共36分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意； B．不是整式方程，故不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，，则成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的意义：一般地设n个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义判断．方差越小，波动越小，越稳定． 【详解】解：∵， ∴成绩较为稳定的班级是乙班． 故选：B． 3. 为了解我县4560名初三学生的体重情况，从中抽取了300名学生的体重，就这个问题来说，下面说法正确的是（ ） A. 4560名初三学生是总体 B. 4560名初三学生的体重是总体 C. 每个初三学生是个体 D. 300名初三学生是所抽取的一个样本 【答案】B 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体． 【详解】解：A、4560名学生的体重是总体，故此选项不合题意； B、4560名学生的体重是总体，故此选项符合题意； C、每个学生的体重是个体，故此选项不合题意； D、300名学生的体重是所抽取的一个样本，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本，解题的关键是正确理解总体、个体、样本的概念． 4. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 将代入中， 得：， 故选C． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质． 5. 若，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据45度角的正切值为1得到，则． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：C． 6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式得到Δ=a2-4×1×1=0，然后解关于a的方程，即可求出a值． 【详解】解：根据题意得Δ=a2-4×1×1=0，解的a=2或a=-2． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7. 若两个相似三角形的面积比是，则它们对应边的中线之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为1：9， ∴它们的相似比为1：3， ∴它们对应的中线的比为1：3． 故选C． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，解题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 8. 点M为等边三角形ABC一边AB上的一点（与A、B不重合），过M作直线截等边三角形ABC，使截得的三角形与原三角形相似，符合条件的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得． 【详解】解：是等边三角形， ， 符合条件的直线是过点分别平行于的两条直线，如图所示： 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 9. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义求解，掌握相关知识是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，，， ， ， 则的值为． 故选：A． 10. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 【答案】A 【解析】 【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解． 【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 11. 在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ） A. 四边形 B. 四边形 C. 四边形 D. 四边形 【答案】A 【解析】 【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案． 【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形． 故选：A 【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形． 12. 如下图左，在平面直角坐标系中，直线与x轴的夹角为，且点A坐标为，点B在x轴上方，设，那么点B的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出，过点B作轴于C，则，进而可得，求出，据此可得答案． 【详解】解：∵点A坐标为， ∴， 如图所示，过点B作轴于C， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的横坐标为， 故选：D． 二、填空题：（每题2分，共24分） 13. 计算＝_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值来进行计算求解． 【详解】解：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 14. 一元二次方程配方后可变形为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故答案为：． 15. 已知数据2，3，2，3，5，x的众数是2，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了众数，“一组数据中，出现次数最多的数是众数”．根据众数的定义，即可求解． 【详解】解：∵数据2，3，2，3，5，x的众数是2， ∴， 故答案为：2． 16. 若a、b、c的平均数为15，则、、的平均数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一组数的平均数，先根据a、b、c的平均数为15，得出，再结合、、的平均数，据此即可作答． 【详解】解：∵a、b、c的平均数为15， ∴ ∴ 则 ∴则、、的平均数为， 故答案为：． 17. 已知a是3、12的比例中项，则______； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，对于实数a、b、c，若满足，那么b就叫做a、c的比例中项，据此求解即可． 【详解】解：∵a是3、12的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 已知关于x的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1，则a的值是 ___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义将x=-1代入即可求出a的值． 【详解】解：∵关于的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1 ∴ 解得：a=2 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是根据一元二次方程的解，求参数的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键． 19. 已知，则的值______． 【答案】为-1或3 【解析】 【分析】根据题设知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d≠0时，推出m-3=0，得到m=3． 【详解】∵， ∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0， ∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am， ∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)， ∴(a+b+c+d）(m-3)=0， 当a+b+c+d=0时， a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a， ∴m=-1； 当a+b+c+d≠0时， m-3=0，m=3， 综上，m=-1或m=3． 故答案为：为-1或3． 【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的基本性质，分式值的意义及满足条件． 20. 若关于x方程有两个相等实数根，则锐角度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，从而可求出α的余弦值，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21. 设一元二次方程已的两个根为、，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程已的两个根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 22. 如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，过点B作交延长线与D，由网格的特点可知，则由勾股定理可得，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线与D， 由网格的特点可知， ∴， ∴，即， 故答案为：． 23. 如图，，点C，D分别在上，如果，，，那么的长______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例的性质可以得到解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 24. 如图，两建筑物的水平距离为，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点C作于E，则四边形是矩形，，解得到 ，解得到，则． 【详解】解：如图所示，过点C作于E，则四边形是矩形， ∴， 由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共60分）： 25. 计算或解方程 （1） （2）解方程 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，因式分解法解一元二次方程； （1）根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，零次幂进行计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 移项得， 因式分解得， ∴，， ∴，． 26. 老师随机抽查了某校本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹掩盖了一部分． （1）求条形图中被掩盖的数，并写出册数的中位数； （2）求读5册课外书的扇形的圆心角度数； （3）若某校本学期总数为2000人，请根据图中信息，求出本学期读4册课外书的人数． 【答案】（1）条形图中被掩盖的数为9；被抽查的学生读书册数的中位数为5册 （2） （3）估计读课外书为4册的人数约为417人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数；根据中位数的定义求解即可； （2）用读5册课外书的人数与总人数之比，乘以，即可得出读5册课外书的扇形的圆心角度数； （3）用样本所占的百分比求出本学期读4册课外书的人数即可． 【小问1详解】 解：抽查的学生总数为（人）， 读书为5册的学生数为（人）， ∴条形图中被遮盖的数为9； ∵被抽查的学生读书册数的中位数是第12、13个数据的平均数，而第12、13个数据均为5册， ∴被抽查的学生读书册数的中位数为5册； 【小问2详解】 解：读5册课外书的扇形的圆心角度数为： ； 【小问3详解】 解： （人）， ∴估计读课外书为4册的人数约为417人． 27. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地，怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ 【答案】即矩形的平行于墙的一边长为30m，垂直于墙的一边长为25m时，矩形场地的面积为750m2． 【解析】 【分析】根据题意可以设平行于墙的一边长为xm，从而可以列出相应的方程解答本题． 【详解】解：设平行于墙的一边长为xm，则 x（）＝750， 解得x1＝30，x2＝50， ∵墙的长度不超过45m， ∴x＝50不符合题意，舍去， ∴x＝30， ∴＝25， 即矩形的平行于墙的一边长为30m，垂直于墙的一边长为25m时，矩形场地的面积为750m2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意墙的长度不超过45m． 28. 某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值） 【答案】（30+10）海里 【解析】 【分析】先作CH⊥AD，可得BD=×20，AH=DH，可求AH的长，从而求得AD的长． 【详解】解：作CH⊥AD于点H， 由题意可得：△ACD是等腰直角三角形，则CH=AD，设CH=x，则DH=x， 在Rt△CBH中，∠BCH=30°， 则=tan30°，故BH=x， ∴BD=x﹣x=×20， 解得：x=15+5， 故2x=30+10． 答：A、D两点间的距离为（30+10）海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 29. 某商场今年初以每件40元的进价购进一品商品，当商品销售价为60元时，一月份销售64件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三月份这两个平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均销售增长率； （2）从四月起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店按原售价的几折出售，商场月获利2240元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为 （2）该店按原售价的9折出售，商场月获利2240元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据一元二次方程的增长率模型可得方程，解方程后根据题意舍去不合题意的根即可得到答案； （2）设该商品每件降价y元，则每件盈利元，利用总利润等于单件的利润乘以销售量得到方程，解方程并根据尽可能让利于顾客即可得到答案． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该商品每件降价y元，则每件盈利元，月销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽可能让利于顾客， ∴， ∴ 答：该店按原售价的9折出售，商场月获利2240元． 30. 如图所示，已知在平面直角坐标系，点A的坐标为，点B在x轴上，且，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒． （1）求点B的坐标； （2）当t为何值时，与相似？ （3）求的面积S与t之间的函数关系式？并求当t为何值时S最大？ 【答案】（1） （2）或 （3），当时，S有最大值． 【解析】 【分析】（1）先求出，再解直角三角形得到，则； （2）利用勾股定理求出，当时，，利用其对应边成比例解．当时，，利用其对应边成比例解得． （3）过点作于，解直角三角形得到，则可求出，再根据得到，据此利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在直角三角形中，由勾股定理得， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： 当时，则，即，解得； 当时，，即，解得， 综上，当或时，和相似； 【小问3详解】 解：如图所示，过点Q作于H， 在中，， ∴在中，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $