精品解析：北京市延庆区2024-2025学年上学期九年级数学 期中试题

延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷 九年级数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，4，3 B. 0，4，3 C. 1，-4，3 D. 0，-4，3 3. 已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（ ） A B. C. D. 无法确定 4. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点分别在边上，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 10 C. 12 D. 16 6. 在中，，于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别位于，的中点，，，里，经过点，则的长为（ ） A. 0.95里 B. 1.05里 C. 2.05里 D. 2.15里 8. 如图，矩形中，对角线交于点，边的中点分别是点，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 抛物线的顶点坐标是__． 10. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____． 11. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为_____ 12. 如图，在中，，分别交，于点，．若，，则的面积与的面积的比等于________． 13. 已知，是边上的一点，连接，请你添加一个条件，使，这个条件可以是__．（写出一个即可） 14. 二次函数的最小值是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是______（只填写序号）． 三、解答题（共68分，第17-20题，每小题6分，第21-22题，每小题4分，第23-24题，每小题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分） 17. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 18. 已知二次函数的图象经过和两点． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出取值范围． 19. 已知：如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽； （2）若，，求的度数． 20. 已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 21. 如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 22. 某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为的栅栏围成．已知墙长为（如图），设矩形的边，面积为． （1）关于的函数表达式是______，自变量的取值范围是______； （2）当______m时，活动区的面积有最大值______． 23. 如图，四边形是平行四边形，于点于点． （1）求证： （2）当时，求的长． 24. 小明到操场测量旗杆的高度，他手拿一只铅笔，边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）．当小明移动到点处时，眼睛与铅笔顶端、旗杆的顶端三点共线，此时测得，小明的眼睛到铅笔的距离为，铅笔的长为，求旗杆的高度． 25. 乒乓球被誉为中国国球．年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．已知乒乓球台的长度为，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据： 水平距离 竖直高度 （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应点，并画出表示乒乓球运行路线形状的大致图象； （2）当乒乓球到达最高点时，与球台之间距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； （3）乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）已知和为抛物线上的两点，满足，求的取值范围． 27. 阅读思考，解决问题： 小华遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，，，求的长． 小华发现，过点作，交延长线于点，通过构造，经过推理和计算，能够使问题得到解决（如图2）． （1）①直接写出的度数；②求线段的长； （2）参考小华思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，，对角线与交于点，求的长． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“反称变点”．例如：点的“反称变点”为点，点的“反称变点”为点． （1）点的“反称变点”坐标为______； （2）若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标是，求“反称变点”的横坐标； （3）若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标的取值范围是，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷 九年级数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据每个选项的比例整理变形，看看是否与相同，若相同则正确，反之不正确，据此即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，与不相同，故该选项不符合题意； B、∵，∴，与相同，故该选项符合题意； C、∵，∴，与不相同，故该选项不符合题意； D、∵，∴，与不相同，故该选项不符合题意； 故选：B 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，4，3 B. 0，4，3 C. 1，-4，3 D. 0，-4，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数．其中x，y是变量，是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项作答． 【详解】解：解:二次函数的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是3． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 3. 已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得二次函数开口向上，对称轴为直线，图象上的点离对称轴的水平距离越近函数值越小，据此即可判断求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，图象上的点离对称轴的水平距离越近函数值越小， ∵， ∴， 故选：． 4. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，据此进行作答即可． 详解】解：依题意，把抛物线向左平移1个单位， ∴， ∵再向下平移5个单位， ∴， 故选：B 5. 如图，在中，点分别在边上，．若，则长为（ ） A. 4 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，得，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 在中，，于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质等知识点，在图中观察并找出相似三角形是解题的关键． 利用直角三角形的两个锐角互余可证得，，于是可得，进而可证得，根据相似三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 7. 《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别位于，的中点，，，里，经过点，则的长为（ ） A. 0.95里 B. 1.05里 C. 2.05里 D. 2.15里 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得到，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 如图，矩形中，对角线交于点，边的中点分别是点，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】从图2中可看出当时，此时的面积为0，说明点一定在上，选项中有点和在上，此时观察图2，发现时，接近3，所以点的位置是图1中的点．本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当时，此时的面积为0，说明点一定在上这一信息． 【详解】解：，，四边形是矩形， 当时，点到达点，此时的面积为0，说明点一定在上， ∵观察图2，发现时，接近3， 从选项中可得只有点最符合实际情况， ∴点的位置可能是图1中的点． 故选：D． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 抛物线的顶点坐标是__． 【答案】（1，4） 【解析】 【分析】根据抛物线解析式已经是顶点式即可得到答案． 【详解】解：为抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（1，4）． 故答案为：（1，4）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标为（h，k）是解题的关键． 10. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____． 【答案】，答案不唯一． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可． 【详解】解：抛物线的解析式为： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．． 11. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，由点P是线段的黄金分割点（），，可得，再计算可得答案． 【详解】∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 12. 如图，在中，，分别交，于点，．若，，则的面积与的面积的比等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵AD=1，DB=2， ∴AB=AD+DB=3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=()2=()2=1:9. 故答案为1:9. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 13. 已知，是边上的一点，连接，请你添加一个条件，使，这个条件可以是__．（写出一个即可） 【答案】，或或（写出一个即可） 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：， 当，或或时，． 故答案为：，或或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14. 二次函数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及将配成抛物线顶点式的方法，能正确配方是解决本题的关键．整理成顶点式即可求解． 【详解】解：将抛物线解析式配方成顶点式得：， ， 当时，取最小值为：， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：把代入得； 把代入得， ∴a的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是______（只填写序号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】观察到抛物线开口向下，则，因为抛物线对称轴是直线，所以当时，随的增大而减小，根据对称性得，所以，因为越靠近对称轴的所对应的函数值越大，所以．本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答． 详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确； 抛物线对称轴是直线，开口向下， 当时，随的增大而减小， 故②错误； ，对称轴是直线， ∴， ， 故③错误； 抛物线开口向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵点在函数的图象上， ， ， 故④正确． 故答案为：①④． 三、解答题（共68分，第17-20题，每小题6分，第21-22题，每小题4分，第23-24题，每小题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分） 17. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）用配方法把二次函数化为顶点式即可； （）根据画函数图象的步骤，画出图象即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 列表： 描点、连线， 如图， 18. 已知二次函数的图象经过和两点． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程、与一元二次不等式的关系，是解决问题的关键． （1）将和代入，求出b，c的值，即得函数表达式； （2）求出二次函数与x轴的另一外交点，根据二次函数图象开口向下，即得时的x取值范围． 【小问1详解】 解：∵的图象经过和两点， ∴， 解得：， 该二次函数的表达式为：； 小问2详解】 解：当时，， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，． 19. 已知：如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再运用三角形内角和定理求得∠B即可． 【小问1详解】 ∵， ， ∴∽． 【小问2详解】 解：∵∽， ∴． 在中，， ∵． ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 20. 已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数解析式，利用图象解不等式．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． （1）由顶点坐标可设二次函数顶点式，再将代入求解即可； （2）画出该二次函数大致图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵该二次函数图象顶点坐标为， ∴可设此二次函数的表达式为． ∵此二次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴求此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， ∴此二次函数与x轴的两个交点分别为，． 令，则， ∴此二次函数与y轴的交点为， ∴该二次函数图象如图， ∴当时，的取值范围为． 21. 如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角的和差关系得到，即可证明出． 【详解】证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 22. 某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为的栅栏围成．已知墙长为（如图），设矩形的边，面积为． （1）关于的函数表达式是______，自变量的取值范围是______； （2）当______m时，活动区的面积有最大值______． 【答案】（1）， （2）10，200 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解． （1）由总长度垂直于墙的两边的长度平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出的取值范围； （2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，米， 米， 墙长为22米， ， ， ， 即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 当时，有最大值200， 即当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米， 故答案为：10，200． 23. 如图，四边形是平行四边形，于点于点． （1）求证： （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）先由平行四边形的性质得到，，再由垂直的定义得到，据此可证明得到，即； （2）根据相似三角形的性质可得，据此代值计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴． 24. 小明到操场测量旗杆的高度，他手拿一只铅笔，边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）．当小明移动到点处时，眼睛与铅笔顶端、旗杆的顶端三点共线，此时测得，小明的眼睛到铅笔的距离为，铅笔的长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是发现相似三角形以及牢记它的性质，本题根据相似三角形对应边上的高的比等于对应边的比即可求解． 【详解】解：∵小明的眼睛到铅笔的距离为， ∴边上的高等于， ∵铅笔始终与地面垂直， ∴与平行， ∴， ∴，即， ∴，经检验，符合题意； 答：旗杆的高度为． 25. 乒乓球被誉为中国国球．年巴黎奥运会上，中国队展现了强大的竞技实力，包揽了乒乓球项目的五枚金牌，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．已知乒乓球台的长度为，一位运动员从球台边缘正上方击球高度为处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．从击打乒乓球到第一次落到球台的过程中，乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据： 水平距离 竖直高度 （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行路线形状的大致图象； （2）当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； （3）乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球台上，并说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2）， （3）乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意，根据描点法描出各点并画出函数图象即可； （2）依据题意，根据二次函数图象的对称性可求得对称轴以及顶点坐标，根据表格数据可得当时，于是得解； （3）先用待定系数法求出二次函数解析式，然后求抛物线与轴的交点坐标，即可求出乒乓球再次落下时的落点坐标，然后将其与乒乓球台的长度相比较，即可得出结论． 【小问1详解】 解：描出各点，并画出图象如下： 【小问2详解】 解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线开口向下， 当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， 当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：乒乓球再次落下时仍落在球台上，理由如下： 将代入函数关系式，得： ， 解得：或（因对称轴，故舍去）， 乒乓球第一次落到球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 令，则有： ， 解得：或（此为乒乓球第一次落到球桌时的落点坐标，故舍去）， ， 乒乓球再次落下时仍落在球台上． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数，用描点法画函数图象，从表格中获取信息，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，直接开平方法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，有理数大小比较等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及用待定系数法求二次函数解析式并运用数形结合思想是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）已知和为抛物线上的两点，满足，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或 【解析】 【分析】（）把代入函数解析式即可求解； （）由二次函数解析式得抛物线的对称轴为直线，可得点在对称轴的右侧，又由二次函数的开口方向知二次函数图象上的点离对称轴水平距离越远函数值越大，根据分点在对称轴的右侧和点在对称轴的左侧两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点， ∴点在对称轴的右侧， ∵， ∴抛物线开口向上，二次函数图象上的点离对称轴水平距离越远函数值越大， 又∵， ∴有以下两种情况： ①点在对称轴的右侧，且， 解得； ②点在对称轴的左侧，且， 解得； 综上，的取值范围为或． 27. 阅读思考，解决问题： 小华遇到这样一个问题：如图1，在中，点在边上，，，求的长． 小华发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算，能够使问题得到解决（如图2）． （1）①直接写出的度数；②求线段的长； （2）参考小华思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形中，，对角线与交于点，求的长． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可；根据平行线分线段成比例定理计算线段的长； （2）过点作于点，证明，根据相似三角形的性质求出、，根据正切的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：①， ， ； ②， ， ， ，， ， ， ， ； ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． ， ， ， ， ，， ， ， 在中，，， ，， ，． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“反称变点”．例如：点的“反称变点”为点，点的“反称变点”为点． （1）点的“反称变点”坐标为______； （2）若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标是，求“反称变点”的横坐标； （3）若点在函数的图象上，其“反称变点”的纵坐标的取值范围是，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“反称变点”的定义，由，即可推出，于是得解； （2）根据题意，分两种情况讨论：当时，；当时，；分别解一元二次方程，求出的值即可； （3）根据题意，分两种情况讨论：当时，可推出；当时，可推出；分别解不等式组，即可得出的取值范围，然后画出函数图象，通过观察图象即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：， ， 点的“反称变点”坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， 即：， 解得：， ， ； 当时，， ， 即：， 解得：， ， ； “反称变点”的横坐标是或； 【小问3详解】 解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 即：， 解得：； 当时，， ， 即：， 解得：， 当时，， 当时，， 综上所述，的取值范围是，如图所示： 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，化简多重符号，直接开平方法解一元二次方程，解一元二次不等式，画二次函数图象等知识点，理解题意，弄清新定义并懂得利用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$