精品解析：四川天府新区实外高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

四川天府新区实外高级中学 2024-2025学年度上期高一年级数学学科期中考试题 考试时间：120分钟试卷满分：150分 命题人：廖宇审题人：唐嘉仪 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 全称量词命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数，的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式对一切实数都成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值4 B. 有最大值5 C. 有最小值4 D. 有最大值4 8. 定义一种新的运算符号“”：，已知，，且的最小值是.则的所有取值是（ ） A. B. C. 1 D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的选项中，至少有一项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 已知集合，，若，则a的取值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 函数的最小值为2 D. 若正数x，y满足，则的最小值为3 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 12. 的定义域为_______． 13. 设，记，则函数的最小值为_______． 14. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设为全集，集合，集合. （1），求集合和集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围. 16. 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断函数在区间的单调性，并用定义法证明. 17. 已知函数是上的偶函数，当时，. （1）求函数的解析式，并画出具体函数图象； （2）若，求实数m的取值范围. 18. 某公司注重技术创新，今年加大了对产品研发的投入.通过市场分析，该公司生产的一款产品全年需投入固定成本100万元，每生产千件该产品，需另投入成本万元，且满足：，由市场调研知，每件产品售价0.6万元，且全年内该产品能全部销售完. （1）求出今年该产品的利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式（利润销售额-成本）； （2）今年产量为多少千件时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川天府新区实外高级中学 2024-2025学年度上期高一年级数学学科期中考试题 考试时间：120分钟试卷满分：150分 命题人：廖宇审题人：唐嘉仪 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 全称量词命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式可直接得出答案. 【详解】全称量词命题“”的否定是“”. 故选：B 2. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再进行交集运算即可. 【详解】结合题意可知， 因为，所以. 故选：D. 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用同一函数的定义逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，的定义域为， 的定义域为，两个函数定义域不一致，故A错误， 对于B，的定义域为， 的定义域为，两个函数定义域不一致，故B错误， 对于C，满足同一函数的所有条件，故C正确， 对于D，和的解析式不同，所以它们不是同一函数，故D错误. 故选：C 4. 函数，的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的单调性求值域即可. 【详解】因为函数是反比例函数，在上单调递减，所以， 所以值域为． 故选：D 5. 已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象上升下降的情况判断即可. 【详解】函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的， 故该函数的减区间为． 故选：C. 6. 若不等式对一切实数都成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为不等式对一切实数都成立， 所以，解得，故B正确. 故选：B 7. 已知，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值4 B. 有最大值5 C. 有最小值4 D. 有最大值4 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解的最值，直接利用基本不等式即可求解的最值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号，故有最小值4， ，故，进而可得，当且仅当，即时取等号， 故有最小值4， 故选：AC 8. 定义一种新的运算符号“”：，已知，，且的最小值是.则的所有取值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题中的定义得到，再结合一元二次函数的性质即可求解. 【详解】由定义知，， 结合二次函数的性质知，当时，取得最小值为， 又的最小值是， 则，解得， 故选：D. 【点睛】关键点睛： 本题的关键是读懂定义，求出. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的选项中，至少有一项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B： 由可知，即，所以由可得，故B正确； 对于C：因为，所以，即， 由不等式的性质可得，又，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，由不等式的性质可得，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知集合，，若，则a的取值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由可得，结合条件列方程求，结合元素互异性检验所得结果. 【详解】因为， 所以，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾， 故选：BC. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 函数的最小值为2 D. 若正数x，y满足，则的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式即可判断A；变形后利用基本不等式判断B；结合对勾函数的单调性可判断C；将化为，结合“1”的巧用，即可判断D. 【详解】对于A，由，则，当且仅当，即是等号成立， 则时，取得最小值为，因此A正确； 对于B，时，，则， 当且仅当，即时取等号， 则时，取得最小值为，因此B正确； 对于C，， 令，则在上单调递增， 故的最小值为，因此C错误； 对于D，正数满足，即， 则，当且仅当时取等号， 则当时，取得最小值为，因此D正确， 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 12. 的定义域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式分母不为可求结果. 【详解】因为中，所以， 所以定义域为， 故答案为：. 13. 设，记，则函数的最小值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，由所给的定义化简函数，再结合分段函数的性质，代入计算，即可求解. 【详解】当时，解得， 当时，解得， 则， 因为在上单调递减， 在上单调递增， 所以时，有最小值，且. 故答案为：0 14. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到在定义域上单调递减，再利用分段函数、一次函数、二次函数及反比例函数的性质，即可求解. 【详解】因为，且， 不妨设，则，， 所以在定义域上单调递减， 当时，在区间上单调递减， 当时，， 当时，在区间上单调递减， 又，所以满足题意， 当时，由题有，解得， 综上，实数a的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设为全集，集合，集合. （1），求集合和集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合B求解，利用集合的并集和补集、交集运算求解即可； （2）利用充分不必要条件的定义，根据真子集关系列不等式可求实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 又，所以或， 所以，； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 又， 所以，所以． 16. 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断函数在区间的单调性，并用定义法证明. 【答案】（1） 奇函数，证明如下， 易知，函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数的奇函数. （2） 函数在区间上单调递增，证明如下， 任取，且， 则， 因为，且，所以， 得到，即， 所以函数在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用奇偶函数的判断方法，即可求解； （2）根据条件，利用函数单调性的定义，通过作差，变形化简得到，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知函数是上的偶函数，当时，. （1）求函数的解析式，并画出具体函数图象； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1），图象如下： （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义，求出时，函数的解析式，结合二次函数及偶函数的性质画出图象即可； （2）根据函数的图象以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 由题意可得：， 因为函数是上的偶函数,所以， 所以， 所以函数的解析式为， 结合二次函数知识易画出图象如图所示： 【小问2详解】 结合该函数的图象可知：在上单调递减,在上单调递增. 又因为函数是上的偶函数，且， 所以， 整理可得: ，解得：. 故实数m的取值范围为. 18. 某公司注重技术创新，今年加大了对产品研发的投入.通过市场分析，该公司生产的一款产品全年需投入固定成本100万元，每生产千件该产品，需另投入成本万元，且满足：，由市场调研知，每件产品售价0.6万元，且全年内该产品能全部销售完. （1）求出今年该产品的利润（万元）关于年产量（千件）的函数关系式（利润销售额-成本）； （2）今年产量为多少千件时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）; （2）产量为50千件时，获得的利润最大，最大利润为2200万元. 【解析】 【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式； （2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为50千件时，所获利润最大为2200万元. 【小问1详解】 ， 当时， ， 当时， ， 所以. 【小问2详解】 当时， ， 当时，； 当时， ， 当且仅当时等号成立， 所以当时，， 所以该公司今年该产品的产量为50千件时，获得的利润最大，最大利润为2200万元. 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4； （2）（ⅰ）， 故， 故函数的图像关于点对称； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由对称性得到，故； （2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称； （ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的图像关于点对称， 故， 令得； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）， 故在上单调递增，其中， ， 故的值域为， 设在上的值域为，由题意得， 图象开口向上，对称轴为，且， 当时， 若，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以， 所以，由得，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可知，或， 因为，所以， ， 又， 所以， 所以当时，满足； 当，即时，在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减， 因为，所以， 所以，由得，解得， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法， 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $