精品解析：江西省南昌县莲塘第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷

莲塘一中2024-2025学年上学期高二11月期中考试 数学试卷 命题人：熊世明 审题人：杨波 一､单选题（本题共8小题，每小题6分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（ ） A. 6 B. 12 C. 8 D. 16 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交C于A、B两点，则的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 双曲线一支 8. 一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二､多选题本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距 10. 已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到l的距离为1 B. 若，则的面积为1 C. 若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 D. 若直线PA，PB的斜率分别为，则 11. 某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为C的左､右焦点且，A为C上一动点，直线.说法中正确的有（ ） A. 椭圆C的“蒙日圆”的面积为 B. 对直线l上任意点P，都有 C. 椭圆C的标准方程为 D. 椭圆C的“蒙日圆”的两条弦都与椭圆C相切，则面积的最大值为6 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则___________． 13. 经过点，且被圆：所截得的弦最短时的直线的方程为________． 14. 已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为__________． 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 求符合下列条件的方程： （1）直线过点，且横截距为纵截距的两倍． （2）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． 16. 已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长. 17. 已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． （1）求的方程和焦点坐标； （2）设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 18. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）. 19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（对应图1，对应图2）． （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”？若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）已知椭圆，椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莲塘一中2024-2025学年上学期高二11月期中考试 数学试卷 命题人：熊世明 审题人：杨波 一､单选题（本题共8小题，每小题6分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，分别求出，，然后利用乘法运算计算即可. 【详解】因为，故，，故. 故选：B. 2. 已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（ ） A. 6 B. 12 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】利用标准方程可求得，再根据长轴定义即可求出结果. 【详解】根据椭圆标准方程可知，解得； 所以该椭圆的长轴长为. 故选：D 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交C于A、B两点，则的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆定义可知，的周长为. 【详解】由，得，由椭圆定义可知，的周长为 故选：D 4. 已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得出，即可求出结果. 【详解】由双曲线方程，知渐近线方程为， 又因为，，所以，得到， 所以双曲线渐近线方程为， 故选：C. 5. 已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】讨论焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当抛物线焦点在轴上时： 直线与轴的交点为，此时抛物线为； 当抛物线焦点在轴上时： 直线与轴的交点为，此时抛物线为； 综上所述：抛物线的标准方程是或 故选： 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，漏解是容易发生的错误. 6. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断. 【详解】由,得,即或 所以,反之,则不然 所以“”是“直线与直线垂直”的 充分不必要条件. 故选:A 7. 已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 双曲线一支 【答案】D 【解析】 【分析】结合圆与圆的位置关系利用双曲线的定义即可求解. 【详解】设动圆C的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为2， 由题意可得，或，所以或， 又因为，所以， 由知不合题意， 所以， 根据双曲线的定义知，可得点C的轨迹为以为焦点的靠近的一支. 故选：D. 8. 一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】清洁钢球半径最大，则圆心必在抛物线的对称轴上，因此设圆心为设，圆能过抛物线底部（即顶点），只要到抛物线上点的距离的最小值是到顶点的距离，此距离的最大值即为所求结论． 【详解】设，是抛物线上任一点，显然， 抛物线内以为圆心的圆能过原点，则的最小值是， ， 所以时，取得最小值， 若，则点不可能是原点，即抛物线的顶点，不合题意， 若，即，则时，，此时圆半径为，最大值是2. 故选：C． 二､多选题本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距 【答案】ABD 【解析】 【分析】把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可得到选项A；再把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段中垂线，即可得到选项B；利用一个圆的圆心到直线的距离进而求出弦的长，验证选项C；两圆心的距离即可得到选项D. 【详解】①，②，用①减去②即得到公共弦所在直线的方程为，故A正确； 把圆化为标准方程得，圆心为，半径为 ，把圆化为标准方程为，圆心为，，线段中垂线即为圆心与圆心两点构成的直线为，故B正确； 圆心到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的长为，故C错误； 圆心到圆心的距离，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到l的距离为1 B. 若，则的面积为1 C. 若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 D. 若直线PA，PB的斜率分别为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入点到直线的距离公式，即可判断A；根据几何关系判断，再根据双曲线的定义和面积公式，即可判断B；根据渐近线的斜率求，即可判断C；根据坐标表示斜率，即可判断D. 【详解】A.设点，，其中，点到的距离，故A正确； B.若，则， 则，其中， 则，得， 所以的面积为，故B正确； C.若直线的倾斜角为，则，得， 则其实轴长为，故C错误； D.设，，， ，故D正确. 故选：ABD 11. 某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为C的左､右焦点且，A为C上一动点，直线.说法中正确的有（ ） A. 椭圆C的“蒙日圆”的面积为 B. 对直线l上任意点P，都有 C. 椭圆C的标准方程为 D. 椭圆C的“蒙日圆”的两条弦都与椭圆C相切，则面积的最大值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件，得出，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A，根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个点，得出蒙日圆方程的半径，即可判断出选项A的正误；对于选项B，根据直线与椭圆位置关系的判断方法，得出直与椭圆相切，从而得出切点不合条件，即可判断出选项B的正误；对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，设，，得到，再利用重要不等式及面积公式即可得出结果. 【详解】因为， 又 ，所以，故椭圆的方程为，所以选项C正确； 对于选项A，设蒙日圆的半径为，所以蒙日圆的方程为， 如图1，过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点, 易知点的坐标为，且点在蒙日圆上，所以，故“蒙日圆”的面积为，所以选项 A 正确； 对于选项B，因为直线的方程为，椭圆方程， 联立，消得，则， 所以直线与椭圆相切，由椭圆定义知，切点到两焦点的距离和为，所以选项B错误； 对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径， 如图2，连接，设，则，， 设， 所以，又 ( 当且仅当时取等号 )， 所以，即， 所以，故选项D错误； 故选：AC. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】求出点M的坐标，利用抛物线的焦半径公式可得关于p的方程，即可求得答案. 【详解】把代入抛物线方程（），得， 得，根据抛物线的定义有，解得， 故答案为：4 13. 经过点，且被圆：所截得的弦最短时的直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程. 【详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，直线被圆所截得的弦最短， 此时，则直线的斜率，则直线的方程为， 变形可得. 故答案为： 14. 已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的运算将转化为，利用几何性质求得点，代入双曲线方程得的等量关系，求解离心率即可. 【详解】因为 ， 所以，则， 过作轴，垂足为， 由题意知，则，故， 在中，， 故，又点在双曲线上， 则，将代入整理得， 则，解得，又，得到， 所以双曲线的离心率为， 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 求符合下列条件的方程： （1）直线过点，且横截距为纵截距的两倍． （2）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）分所求直线过原点和不过原点求解即可； （2）设所求圆的标准方程为：，代入，，求解即可. 【小问1详解】 解：当所直线过原点时， 则有，即； 当所求直线不过原点时，设直线方程为， 代入，得，解得， 此时直线方程为：； 综上，所求直线方程为或； 【小问2详解】 解：设所求圆的标准方程为：， 代入，， 得，即， 解得， 所以所求圆的方程为：. 16. 已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线，即可求出圆的半径，从而得到圆的标准方程； （2）首先判断两圆相交，两圆方程相减即可得到公共弦方程，再求出弦长. 【小问1详解】 因为圆心到直线的距离， 设圆的半径为， 又过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为， 所以，则圆的标准方程为. 【小问2详解】 圆：的圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交， 则相交弦：， 则圆心到 距离， 所以. 17. 已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． （1）求的方程和焦点坐标； （2）设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【答案】（1）方程为，左、右焦点坐标分别为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程； （2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得. 【小问1详解】 因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． 【小问2详解】 由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 18. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助抛物线的定义即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，再用韦达定理表示面积，借助基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，准线方程：， 由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到准线的距离， 所以 ， 解得. 所以. 【小问2详解】 由（1） 知， 抛物线，直线过， 可设直线的方程为，，不妨设， 联立消得， 所以，， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴面积最小值为. 19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（对应图1，对应图2）． （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”？若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）已知椭圆，椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）． 【答案】（1）是，相似比为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“相似椭圆”的定义判断即可； （2）由题意可求得的面积为，再根据的面积与的面积的比为，得到的面积为，再由两个椭圆是“相似椭圆”，得到，即可求解. 【小问1详解】 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， ， 椭圆中， ， 则， 所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 【小问2详解】 设椭圆的半焦距为，因为的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为，又与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为，即 所以的面积为， 又两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形”的三个对应角相等， 如图，有， 则，，所以， 又因为， ，所以， 故的面积为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“相似椭圆”的定义，第（2）问利用两个椭圆是“相似椭圆”，得到两椭圆的离心率相等，再结合条件得的面积为，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $